§8-3全微分一、全微分我們以二元函數(shù)為主，進(jìn)行講解，所得結(jié)論可容易推廣至三元和三元以上的函數(shù)中。回憶一元函數(shù)的微分若存在僅與有關(guān)的實(shí)數(shù)A，使則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，且可微可導(dǎo)運(yùn)用多元函數(shù)的全增量概念，將一元函數(shù)的微分概念推廣到多元函數(shù)中。應(yīng)用的某一個(gè)線性函數(shù)表示二元函數(shù)的全增量按一元函數(shù)的微分，形式上有這里應(yīng)是一個(gè)無窮小量。二元函數(shù)全微分的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)獲得增量時(shí)，若函數(shù)在點(diǎn)X0

處的全增量可表示為則稱函數(shù)在點(diǎn)X0

處可微。稱為函數(shù)在點(diǎn)X0處的全微分。其中，常數(shù)a，b與無關(guān)，僅與X0

有關(guān)。全微分概念的描述可表示為極限形式如果函數(shù)在區(qū)域中的每一點(diǎn)均可微，則稱函數(shù)在區(qū)域上可微?？晌⑦B續(xù)可導(dǎo)???在多元函數(shù)中，三者的關(guān)系如何？可微：連續(xù)：可微連續(xù)可導(dǎo)?在多元函數(shù)中，可微連續(xù)可微的必要條件函數(shù)在點(diǎn)X0

處可微，則必在點(diǎn)X0

處連續(xù)?？晌⑴c可導(dǎo)的關(guān)系

(可微的必要條件)定理若在點(diǎn)處可微，則其兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在，且可微：可微連續(xù)可導(dǎo)在多役元函通數(shù)中蘆，可駛微可偏館導(dǎo)定理效的證載明：若函估數(shù)可寒微，比則由的任者意性春，取，則即同理從而份，定梢理獲商證。？？？例函數(shù)在點(diǎn)(0悶,久0)處連窯續(xù)，穴且有駕有界渴的偏分導(dǎo)數(shù)袍，但不打可微污。該例蠢留給確學(xué)生獎(jiǎng)?wù)n后鬼研討回頭堆看定秤理定理若在點(diǎn)處可微胸，則文其兩理個(gè)偏限導(dǎo)數(shù)均存在，且稱為礎(chǔ)函數(shù)冤關(guān)于x的偏暴微分杯。稱為鍛函數(shù)武關(guān)于y的偏忠微分塘。函數(shù)暑的全腔微分味等于繼各偏偵微分賺之和爽：這與悄物理廈中的丙疊加杜原理航相符撒。可微連續(xù)可導(dǎo)？連癢續(xù)可悼導(dǎo)連續(xù)扶可導(dǎo)Ok定理（可柔微的木充分叢條件裕）設(shè)在內(nèi)有襪定義繞,傳且可偏煎導(dǎo)。若，在點(diǎn)連續(xù)索，則函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0處可征微。證要證瓜明函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0處可澆微，即要占證利用豬微分皆中值俯定理由偏伯導(dǎo)數(shù)鄉(xiāng)豐的連關(guān)續(xù)性故同理其中為該設(shè)極限塊過程意中的默無窮館小量累。從而勢(shì)，函支數(shù)的扎全增揉量又由夾而逼定駝理這一陰步是鑒怎么媽得來獅的鉗？故即函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0處可燈微。二、鐵全微傷分的靈計(jì)算全微分的計(jì)算全微分的計(jì)算設(shè)函塔數(shù)，在點(diǎn)X處可弓微，動(dòng)則例設(shè)，求。解將y，轎z看成打常數(shù)將x，睬z看成正常數(shù)將x，樂y看成槳常數(shù)故函數(shù)是否窯可微獻(xiàn)？若可把微，狐求其昏全微晉分。解易知宮這兩柳個(gè)偏注導(dǎo)數(shù)村在中連宰續(xù)，故在中可乎微。例如果瓦函數(shù)在區(qū)域中具有裂連續(xù)卡偏導(dǎo)跡數(shù)和,多則稱值函數(shù)為區(qū)域中的類函毅數(shù)全,從記為當(dāng)不挑強(qiáng)調(diào)鴉區(qū)域翼時(shí)，墾記為§8汗-7、方止向?qū)罃?shù)與亂梯度偏導(dǎo)灑數(shù)是職方向舊導(dǎo)數(shù)打嗎？偏導(dǎo)峰數(shù)是剩方向獎(jiǎng)導(dǎo)數(shù)萬嗎？偏導(dǎo)予數(shù)是尺方向明導(dǎo)數(shù)室嗎？偏導(dǎo)女?dāng)?shù)是鼓方向既導(dǎo)數(shù)讀嗎？ABC中xOyz.P0Pl沿方向安的方押向?qū)Р?shù).方向楚導(dǎo)數(shù)頓的定僚義設(shè)函填數(shù)在內(nèi)有遙定義磁。若點(diǎn)沿射車線l趨于時(shí),料極限存在辨，則受稱該腰極限伶值為倘函數(shù)在點(diǎn)處沿l方向史的方孩向?qū)w數(shù)。員記為或利用絹直線烤方程士可將春方向最導(dǎo)數(shù)糞的定搜義表示為為:射線l的方皺程為則故比較搬方向局導(dǎo)數(shù)奸與偏堤導(dǎo)數(shù)分的概建念在方?jīng)_向?qū)с^數(shù)中填，分趙母；在偏維導(dǎo)數(shù)蠢中，矩分母、可正燥、可戒負(fù)。即使l的方牌向與x軸,y軸的丘正方盈向一調(diào)致時(shí)痕，方向早導(dǎo)數(shù)露與偏摧導(dǎo)數(shù)疼的概陣念也爭(zhēng)是不株同的戶。方向狡導(dǎo)數(shù)錫與偏傻導(dǎo)數(shù)籍是兩趕個(gè)不扶同的斃概念想一懶想，傭?yàn)槭彩诿?？怎么?huì)計(jì)算帥方向車導(dǎo)數(shù)鄰？看看餓三維纖空間群的情商形定理(方然向?qū)ф?zhèn)數(shù)導(dǎo)美計(jì)算柜公式恐)若函數(shù)在點(diǎn)處可美微，則函上數(shù)在點(diǎn)處沿任一帽方向的方向?qū)Х聰?shù)存碼在，亂且其中獲,蝴各導(dǎo)痕數(shù)均凝為在婚點(diǎn)處的秘值。運(yùn)用覆向量辣的數(shù)貸量積晴，可買將方其向?qū)?shù)急計(jì)算詳公式蠟表示霸為：其中煮，稱為宇梯度在中在中可統(tǒng)稅一表陡示為設(shè),辣求函爺數(shù)在至點(diǎn)沿方冰向的方向位導(dǎo)數(shù)促。解例由點(diǎn)到坐看標(biāo)原斜點(diǎn)的策距離笑定義的但函數(shù)在坐材標(biāo)原醒點(diǎn)處的兩望個(gè)偏致導(dǎo)數(shù)戴均不雜存在跪，但個(gè)它在惹該點(diǎn)沿任滴何方笨向的皮方向慣導(dǎo)數(shù)唐均存呢在，毅且方向?qū)Ы?shù)值篩都等灣于1僅：想一脂想，必該例林給你御什么尋啟示函數(shù)賭可微擔(dān)是方奸向?qū)Ц?shù)存問在的浩充分吐條件架，而汪不是仇必要笛條件擾。方向抽導(dǎo)數(shù)茅存在直時(shí)，細(xì)偏導(dǎo)觀數(shù)不年一定企存在風(fēng)。例四、梯度一個(gè)鐮問題任：在給定富點(diǎn)沿什紫么方汗向增睡加得胖最快燭？該問迷題僅研在不同嫁時(shí)為浸零才喪有意旺義。可微俘函數(shù)由前振面的嫌推導(dǎo)原，有現(xiàn)在郵正式羊給出的定寶義gr嗎adu由此銜可得賽出什靜么結(jié)凱論？方向瓣導(dǎo)數(shù)下等于烈梯度匪在此淺方向堤上的獸投影定義設(shè)則稱平向量為函遙數(shù)在點(diǎn)處的雞梯度挺，記祖為或梯度勾的方挪向與規(guī)取得距最大灶方向蒼導(dǎo)數(shù)富導(dǎo)方株向一析致，泰而它圖的模革就是購(gòu)函數(shù)怪在該餓點(diǎn)的冠方向村導(dǎo)數(shù)攪的最央大值甩。以上騙結(jié)論變可以巴推廣被到二寺元和浪三元腰以上卵的函久數(shù)中養(yǎng)。梯度誰的方鼠向與拜取得霉最大猜方向舅導(dǎo)數(shù)火導(dǎo)方弟向一像致，記而它求的模胃就是薄函數(shù)套在該胳點(diǎn)的聽方向禁導(dǎo)數(shù)忘的最央大值脊。以上恭結(jié)論僻可以裂推廣螺到二嚼元和牌三元愉以上稀的函碑?dāng)?shù)中擴(kuò)。設(shè)求并求鑼在點(diǎn)處方雷向?qū)а讛?shù)的負(fù)最大鑄(小鳳)值靠。解∵∴從而例例設(shè)點(diǎn)發(fā)電荷q位于貞坐標(biāo)缺原點(diǎn)揉，在守點(diǎn)處的晝電位近為其中順，為介云電系猛數(shù)，求電扒