高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。2.1.1合情推理明目標(biāo)、知重點(diǎn)1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．1．歸納推理和類比推理定義特征歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理類比推理是由特殊到特殊的推理2．合情推理(1)含義歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．(2)合情推理的過程eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想)情境導(dǎo)學(xué)]佛教《百喻經(jīng)》中有這樣一則故事．從前有一位富翁想吃芒果，打發(fā)他的仆人到果園去買，并告訴他：“要甜的，好吃的，你才買．”仆人拿好錢就去了．到了果園，園主說：“我這里樹上的芒果個個都是甜的，你嘗一個看．”仆人說：“我嘗一個怎能知道全體呢？我應(yīng)當(dāng)個個都嘗過，嘗一個買一個，這樣最可靠．”仆人于是自己動手摘芒果，摘一個嘗一口，甜的就都買回去．帶回家去，富翁見了，覺得非常惡心，一齊都扔了．想一想：故事中仆人的做法實(shí)際嗎？換作你，你會怎么做？學(xué)習(xí)了下面的知識，你將清楚是何道理．探究點(diǎn)一歸納推理思考1在日常生活中我們常常遇到這樣一些問題：看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時，我們會得出一個判斷——天要下雨了；張三今天沒來上課，我們會推斷——張三一定生病了；諺語說：“八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈”等，像上面的思維方式就是推理，請問你認(rèn)為什么是推理？答根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫做推理．思考2觀察下面兩個推理，回答后面的兩個問題：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋38＝3＋510＝5＋512＝5＋714＝7＋716＝5＋11……1000＝29＋9711002＝139＋863……猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和．(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電．問題：①以上兩個推理在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？②其結(jié)論一定正確嗎？答①共同特點(diǎn)：部分推出整體，個別推出一般．(這種推理稱為歸納推理)②其結(jié)論不一定正確．反思與感悟歸納推理定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．例1已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1,2,3，…)，試歸納出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．解當(dāng)n＝1時，a1＝1；當(dāng)n＝2時，a2＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝3時，a3＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)；當(dāng)n＝4時，a4＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4).通過觀察可得：數(shù)列的前四項(xiàng)都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)，由此歸納出an＝eq\f(1,n).反思與感悟歸納推理的一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)．歸納推理在數(shù)列中應(yīng)用廣泛，我們可以從數(shù)列的前幾項(xiàng)找出數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式或探求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.解(1)當(dāng)n＝1時，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可歸納猜想出an＝2n－1(n∈N*)．例2在法國巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球；第2,3,4，…堆最底層(第一層)分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代數(shù)式表示)．答案10eq\f(nn＋1n＋2,6)解析觀察圖形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的個數(shù)是上一堆個數(shù)加上下一堆第一層的個數(shù)，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1,2).將以上(n－1)個式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝eq\f(1,2)eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)＋eq\f(nn＋1,2)]＝eq\f(nn＋1n＋2,6).反思與感悟解本例的關(guān)鍵在于尋找遞推關(guān)系式：f(n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1,2)，然后用“疊加法”求通項(xiàng)，而第一層的變化規(guī)律，結(jié)合圖利用不完全歸納法可得，即為正整數(shù)前n項(xiàng)和的變化規(guī)律．跟蹤訓(xùn)練2在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)邊形有幾條對角線？解凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條，……于是猜想凸n邊形比凸(n－1)邊形多(n－2)條對角線．因此凸n邊形的對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4且n∈N*)．探究點(diǎn)二類比推理閱讀下面的推理，回答后面提出的問題：1．科學(xué)家對火星進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)變更；(3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存等等．科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在．2．根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)．等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＝b?a＋c＝b＋c;(1)a>b?a＋c>b＋c；(2)a＝b?ac＝bc;(2)a>b?ac>bc；(3)a＝b?a2＝b2等等.(3)a>b?a2>b2等等．思考1這兩個推理實(shí)例在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？答類比推理的定義：這種由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．思考2猜想正確嗎？答不一定正確．思考3類比圓的特征，填寫下表中球的有關(guān)特征圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓的周長球的表面積圓的面積球的體積圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不經(jīng)過球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩個截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個截面圓面積不等，距球心較近的截面圓面積較大以點(diǎn)P(x0，y0)為圓心，r為半徑的圓的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2以點(diǎn)P(x0，y0，z0)為球心，r為半徑的球的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2小結(jié)在進(jìn)行類比推理時要注意對應(yīng)關(guān)系：平面圖形中的“線”對應(yīng)空間圖形的“面”；平面圖形中的“面”對應(yīng)空間圖形的“體”；平面圖形中的“邊長”對應(yīng)空間圖形的“面積”；平面圖形中的“面積”對應(yīng)空間圖形的“體積”；例3在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是__________________．答案設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)＝Seq\o\al(2,△BCD)解析類比條件：兩邊AB、AC互相垂直側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直．結(jié)論：AB2＋AC2＝BC2Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)＝Seq\o\al(2,△BCD).反思與感悟類比推理的一般步驟：①找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；②用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，從而得出一個明確的命題(猜想)．跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．解如圖所示，在四面體P－ABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小．我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為：S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.(2)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)成立．那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，說明猜想是否正確及并給出理由．解類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).猜想正確．如圖所示，連接BE，并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正確．1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤答案B解析根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論．2．下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大答案A解析由圖知：三白二黑周而復(fù)始相繼排列，36÷5＝7余1.∴第36顆珠子的顏色為白色．3．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________．答案eq\f(n2－n＋6,2)解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)個，即eq\f(n2－n,2)個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2)＋3個，即為eq\f(n2－n＋6,2).4．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù) N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形數(shù) N(n,4)＝n2，五邊形數(shù) N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n………可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝____________.答案1000解析由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時，N(n，k)＝eq\f(k－2,2)n2＋eq\f(4－k,2)n，∴N(10,24)＝eq\f(24－2,2)×100＋eq\f(4－24,2)×10＝1100－100＝1000.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向．2．合情推理的過程概括為eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想)一、基礎(chǔ)過關(guān)1．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47B．65C．63D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，歸納可得：x＝26＋1＝65.2．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B解析由數(shù)塔猜測應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1111111.3．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．4．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點(diǎn)，但不是中心B．一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C．一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D．中心答案D解析由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個側(cè)面的中心．5．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為V四面體A－BCD＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).6．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此規(guī)律，第n個等式為__________________________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．在△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1，用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜想．解由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐P－ABC中，三個側(cè)面PAB，PBC，PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．證明：設(shè)P在平面ABC的射影為O，延長CO交AB于M，記PO＝h，由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，從而PC⊥PM，又∠PMC＝α，cosα＝sin∠PCO＝eq\f(h,PC)，cosβ＝eq\f(h,PA)，cosγ＝eq\f(h,PB).∵VP－ABC＝eq\f(1,6)PA·PB·PC＝eq\f(1,3)(eq\f(1,2)PA·PBcosα＋eq\f(1,2)PB·PCcosβ＋eq\f(1,2)PC·PAcosγ)·h，∴(eq\f(cosα,PC)＋eq\f(cosβ,PA)＋eq\f(cosγ,PB))h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.二、能力提升8．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，結(jié)論仍然正確的是()A．如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交B．如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直C．如果兩條直線同時與第三條直線相交，則這兩條直線相交或平行D．如果兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行答案B解析推廣到空間以后，對于A、C、D均有可能異面，故選B.9．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則成立的等式是()A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b18－n(n<18，n∈N*)C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b17－n(n<17，n∈N*)D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b18－n(n<18，n∈N*)答案A解析在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.相應(yīng)地，等比數(shù)列{bn}中有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．10．觀察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個等式可為________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2)解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(－1)n＋1n2.等式右邊的值的符號也是正、負(fù)相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，….設(shè)此數(shù)列為{an}，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).所以第n個等式為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).11．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式．(1)a1＝a，an＋1＝eq\f(1,2－an)；(2)對一切的n∈N*，an>0，且2eq\r(Sn)＝an＋1.解(1)由已知可得a1＝a，a2＝eq\f(1,2－a1)＝eq\f(1,2－a)，a3＝eq\f(1,2－a2)＝eq\f(2－a,3－2a)，a4＝eq\f(1,2－a3)＝eq\f(3－2a,4－3a).猜想an＝eq\f(n－1－n－2a,n－n－1a)(n∈N*)．(2)∵2eq\r(Sn)＝an＋1，∴2eq\r(S1)＝a1＋1，即2eq\r(a1)＝a1＋1，∴a1＝1.又2eq\r(S2)＝a2＋1，∴2eq\r(a1＋a2)＝a2＋1，∴aeq\o\al(2,2)－2a2－3＝0，∵對一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*)．12．(1)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,