第二章：一元二次函數(shù)、方程與不等式重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一不等式的性質(zhì)應(yīng)用【例1】若，則下列命題為假命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【解析】對(duì)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)可得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：B.【變式1-1】已知，則下列不等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：因?yàn)?，可知，所以，所以，，所以，，，所以A正確，B，C錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：A方法二；因?yàn)椋O(shè)，，所以，，，所以，,,,所以A正確，B，C，D錯(cuò)誤,故選：A【變式1-2】（多選）若，則下列正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，，故A正確；選項(xiàng)B，由均值不等式，當(dāng)，，由于，故等號(hào)不成立，即，故B正確；選項(xiàng)C，由于，故，故，故C正確；選項(xiàng)D，取，而，故D錯(cuò)誤故選：ABC【變式1-3】（多選）若，且，則在四個(gè)數(shù)中正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由于，則，又，所以，又，即.故選：ABD題型二利用不等式求代數(shù)式的取值范圍【例2】已知，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故，，得故選：C【變式2-1】若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，則，解得，故，又因，所以，所以.故選：A.【變式2-2】已知，，求的取值范圍.【答案】【解析】設(shè)，則有：，解得：，所以.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以的取值范圍?【變式2-3】已知，，求，的取值范圍．【答案】的取值范圍是，的取值范圍是．【解析】因?yàn)?，所以．又，所以，即．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．所以的取值范圍是，的取值范圍是．題型三解一元二次不等式【例3】已知集合，，則A∩B=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D【變式3-1】不等式的解集為（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】可化為，即，即或．所以不等式的解集為或.故選：A【變式3-2】解下列不等式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）或；（2）；（3）或或【解析】（1）原不等式等價(jià)于，即，即，所以，所以或，所以原不等式的解集或；（2）由，可得，所以，解得，所以原不等式的解集為；（3）原不等式等價(jià)于或，分別解這兩個(gè)不等式組，得或或或，故原不等式的解集為或或.【變式3-3】解下列關(guān)于的不等式：（為實(shí)數(shù)）（1）；（2）.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）原不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程為：，，當(dāng)時(shí)，，原不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)解為：，所以的解為：，綜上所述，時(shí)，原不等式無(wú)解，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；（2）原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，因?yàn)椋越饧癁?；?dāng)時(shí)，，解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，所以，解集為；當(dāng)時(shí)，，解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.題型四三個(gè)“二次”之間的關(guān)系【例4】已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，則，解得，，所以不等式化為，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故選：A．【變式4-1】不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)榈慕饧癁?，則，且對(duì)應(yīng)方程的根為-2和4，所以，，且，不等式可化為，則，即，解得或．故答案為．【變式4-2】已知不等式的解集是，，則不等式的解集是____________.【答案】【解析】由不等式的解集是，可知：，是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，且；由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，所以不等式化為，即：；化為；又，；不等式的解集為：|}，故答案為：【變式4-3】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是（）A．B．或C．D．或【答案】A【解析】由二次函數(shù)圖象知：有.故選：A【變式4-4】已知二次函數(shù)圖象如圖所示.則不等式的解集為_(kāi)________.【答案】【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，為方程的兩根，故，即，則即，也即，，解得或.故不等式解集為.故答案為：.題型五一元二次不等式恒成立與有解問(wèn)題【例5】“關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”，可得，解得：.故選：B．【變式5-1】已知對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)任意，不等式恒成立，即對(duì)任意，恒成立，所以對(duì)任意，恒成立，所以對(duì)任意，，所以，解得，故實(shí)數(shù)x的取值范圍是．故選：D．【變式5-2】若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．(0，1]B．[0，1)C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為，有實(shí)數(shù)解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開(kāi)口向下，所以不等式有實(shí)數(shù)解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使不等式有實(shí)數(shù)解，則需滿足，解得，綜上，a的取值范圍是.故選：D.【變式5-3】已知命題：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意不等式在上有解，所以或，解得或，所以．故選：A．題型六利用基本不等式求最值【例6】已知，，則的最小值為_(kāi)__________.（人教B版）【答案】18【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為18，故答案為：18.【變式6-1】已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，若的最小值為4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，=，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有，又因?yàn)?，所以，由基本不等式可知（時(shí)等號(hào)成立），所以.故選：B.【變式6-2】已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，令，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值是.故選：A.【變式6-3】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A．2B．4C．8D．12【答案】C【解析】解：由，且，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故選：C【變式6-4】下列命題中不正確的為（）①.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為②.已知，，，則的最大值為③.存在實(shí)數(shù)，滿足，使得的最小值是6④.若，則的最小值為A．④B．②④C．③④D．①②【答案】A【解析】①正實(shí)數(shù)，滿足，故，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故①正確；②因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，所以的最大值為，②正確；③因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故存在實(shí)數(shù)，滿足，使得的最小值是6，③正確；④當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故的最小值不是；④錯(cuò)誤故選：A題型七基本不等式恒成立問(wèn)題【例7】已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．}C．D．【答案】D【解析】∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，由恒成立可得，解得：，故選：D.【變式7-1】已知實(shí)數(shù)x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．【變式7-2】若對(duì)任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，的最大值為，所以，解得的取值范圍為．故選：B【變式7-3】對(duì)任意及，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，對(duì)任意及，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意及，恒成立.設(shè)，則.因?yàn)?，，所以，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴.故選：D.【變式7-4】若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為（）A．（－1，4]B．（0，4