課作

解角的用第次業(yè)

基鞏練一、選擇題1．如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的離等，燈塔A在觀察站南偏西，燈塔B在觀察站南偏東60°，燈塔A在燈的D)A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°解析由件及題圖可知，＝∠＝40°又＝60°所以CBD＝30°所以∠＝10°，此燈塔A在燈塔B南偏80°.2．一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊直行走，某時(shí)刻測得河對岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進(jìn)方向成0°角，前進(jìn)200m，測得該參照物與前進(jìn)方向成75°，則河的寬度為(A)A．3＋mC．502

B．100(3＋mD．1002m解析：圖所示，在△ABC中，∠＝30°，∠＝75°－30°＝45°，＝200m，由正弦定理，得

BC＝

200×sin30°sin45°

＝1002(m)，以河的寬度為

sin75°＝1002×

2＋64

＝50(3＋1)(m)．3．為測出所住小區(qū)的面積，某進(jìn)行了一些測量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積是D)A.

3＋64

km

B.

3－64

km

C.

6＋34

km

D.

6－34

km

解析接AC據(jù)弦定理可得＝3km△ABC為直角三形＝90°∠＝0°故△為等腰三角形AD＝＝根據(jù)余弦定理得x＋＋3

＝，即x＝

32＋3

111＝3×(2－3)，所以所求的面為×1×3×3×(2－3)×＝2221

eq\o\ac(△,S)2·sineq\o\ac(△,S)2·sin23＋6－36－3＝(km)．444．已知△的角，，的邊分別為a，，若＝bcos＋sin，ABC的面積為1＋2，則b的最小值(A)A．2B．3C.2D.3解析由＝C＋sinB及弦定理得A＝BcosC＋Csin即sin(B＋)＝sincos＋CB，得sinC＝sinsin，sin≠0所以tan＝1.因?yàn)椤?0，π1π)，所以B.由＝sin＝＋2，ac22＋4.＝＋－accosac42－2＝－2)(4＋2)＝4當(dāng)且僅當(dāng)＝等號成立，所以b≥2，的小值為故選5．(2019·鄭州質(zhì)量預(yù))在△ABC中角AB，的對分別為a，，，2cos＝a＋，若△ABC的積S3，則ab的最值為C)A．28B．C．48D．解析在△中2cosB＝a＋，正弦定理，得2sincos＝2sin＋B.又A＝π－B＋)，所以sin＝sin[π－＋C)]＝B＋)，所以2sincos＝2sin(＋)＋sinB＝2sinBcosC＋sin＋，得2sincos＋sin＝，為sinB≠0，以cos12π11＝－又Cπ所＝.由＝3＝sin＝ab×得c.由弦定理得，23224c＝b－2cosC＝a＋b＋abab＋＝3ab當(dāng)僅當(dāng)＝b時(shí)取等號)，以ab()≥3，得ab≥48所以ab的最小值為48，故選C.46.(2019·東日照二)如圖示，在平面四邊形ABCD中，AB，BC2△為正三角形，則△BCD面積的最大值為D)A．23＋B.

3＋12C.

32

＋D.3＋1解析ABC中＝α＝弦理得＝1＋－2×1×2cos，∵△為正三角形，∴＝

1＝5－4cosα，S＝·2·CD·sinBCD

＋β

＝＋β

31CD·cosβ＋·sin中正定理得：＝，22sinsinα∴·sin＝sinαCD·sin＝sinα(·cos)＝(1－sinβ)＝

－sin2

6，可得＝.①6，可得＝.①＝－4cosα－sinα＝－cosα)，∵β<，∴為角·cos＝－cosα，∴＝eq\o\ac(△,S)BCD

3131πCD·cosβ＋·sinβ＝·(2α)＋α＝3sin－22235＝時(shí)()＝3＋1.eq\o\ac(△,S)BCD二、填空題7．如圖所示，測量河對岸的塔AB時(shí)以選與塔底在同一平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)與，測得BCD＝15°，BDC＝30°CD＝，并在點(diǎn)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高AB等于156.解析：△中，∠＝180°－15°－30°＝135°.BC由正弦定理得＝，sin30°sin135°所以BC152.在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，AB＝BCtan＝152×3156.π8.如圖所示在ABC中C＝BC＝點(diǎn)在上AD＝DB⊥AB為足，3若DE＝2，則＝

64

.＝

BC解析∵＝∴∠＝∠∠＝∠設(shè)ADBD＝∴中，sin∠CDBBD4xsinsin2Asin60°ED22x在△AED中，＝，得＝.sinsinAEDsinA1224sinA6∴聯(lián)立①②可得＝，得cosA.2sincosA342→→9．在△中，已知＝，AB·＝，則△ABC面積的最大值是3.→→→→→→→→解析由＝－AB，B＝－，AB|＝，|＝b，則b＋，又因?yàn)椤?4·＝·cos＝，以cosA＝，以sinA＝－bc

，eq\o\ac(△,設(shè))ABC的面積為S，則11b＋S＝()sin＝－4)因?yàn)閎c＝4，所以S≤3，所以≤3.所eq\o\ac(△,以)ABC面442積的最大值是3.10．(2019·武漢市調(diào)研測試)在角中內(nèi)角A，，的邊分別為，，，3

sin45°sin∠ADBsin45°sin∠ADB若＝，＝，則的值范圍是17)(5,7)．解析：角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可得c<7①a＋－25－若∠C為鈍角，則cos＝＝<0，得>5，224b＋－c－若∠A為鈍角，則cos＝＝<0，得0<<7，26c結(jié)合①②③可得c的取范圍是17)(5,7)．三、解答題11．(2018·全國卷Ⅰ)在平面四形ABCD，∠ADC＝90°＝45°，＝，＝(1)求cos∠ADB(2)若DC22，BCBDAB解：(1)在△中，由正弦定理得＝.sinAsin∠52由題設(shè)知，＝，所以∠＝所以∠＝

25

.由設(shè)知，ADB<90°，2231－＝.255(2)由題設(shè)及(1)知，cos∠BDC＝sinADB＝

25

.在△BCD中，由余弦定理得＝＋－2···cos∠BDC258－2×5×22×

25

＝25.所以BC5.acos＋cosA12潮二)在銳角△ABC中A對的邊分別為ac23＝sin.3(1)求的；a(2)若＝，△的面積S的最值．sinacos＋cosA23解：(1)∵＝sin，c323由正弦定理可得sincos＋sincos＝sin3

C，2323∴sin(＋B＝sinC，∴sin＝sinC.334

∵sin>0，C＝

3，∵為角，∴＝60°.2c(2)由＝60°及＝＝，sinCsinA可得＝3.由余弦定理得3＝＋－ab(當(dāng)且僅當(dāng)＝取等)，11333∴＝absin≤×3×＝，222433∴△ABC的面積S的最值為.4第次業(yè)高·擬答體11．(2018·北京卷在中，a＝，＝，cos＝7(1)求∠；(2)求AC邊上的高．1解：(1)在△中，因?yàn)锽＝－，7所以＝1

＝

437

.aB由正弦定理得sin＝＝b

32

.πππ由題設(shè)知<∠B<，所以0<∠A<.所以∠＝.223(2)在△中，因?yàn)椋絪in(A＋)33＝sincos＋cosAsin＝，143333所以AC邊的高為asin＝7×＝.1422．(2019·益陽·湘潭調(diào)研考)知銳角△ABC中，內(nèi)角A的對邊分別為，2－cosc，且＝.ccosC(1)求角C的大??；(2)求函數(shù)ysin＋sin的域．2－cosB解：(1)由＝，用正弦定理可得2sincossincos＝cos，ccosC可化為2sincossin(＋)＝sin，1ππ∵sin≠0∴cos＝，C∈(0，)，∴＝.2235

(2)＝sinA＋sinB＝sin＋sin(π－

π31－A)＝sinA＋cosA＋sinA＝＋322π6

)，2ππ∵＋＝，0<<，0<B<，322πππ2∴<<，∴<A＋<，62363π33∴sin(＋)(，，∴y∈，3]．6223．已知銳角三角形ABC的角A，，的邊分別為，，c，且滿足B－cos－sin

＝－sinsin，sin(－)＝cos(＋)．(1)求角AB，；(2)若＝2，求三角形ABC的長b的及三角形ABC的積．解：(1)∵cos－－sinA＝－sinAsin，∴sin

＋sinB＝sin＋sin，∴由正弦定理得c＋＝＋，a＋－ab1∴cos＝＝＝，222π∵0<C<，C＝.3∵sin(－B＝cos(＋，∴sincos－cosAsincoscosB－sinsin，∴sin＋cos＝A(sin＋cos)，∴sin＝cosA，π5π∴由為角，可得A＝，π－－C＝.412π5π(2)∵＝2，＝，＝，412a·sin6＋2∴由正弦定理可得＝＝，sinA2116＋2333∴三角形的面積＝ab＝×××＝.222244．(2019·武漢市調(diào)研測)在角ABC中，內(nèi)角A的邊分別是a，滿ππ足cos2－cos2＋2cos(－B)cos(＋)＝0.66(1)求角A的值；(2)若＝3且a，求的值范圍．ππ解：(1)由－B2cos(－)cos(＋)＝0，66313得B－2sin＋2(cosB－sin＝0簡得A＝△為銳角三角形，4426

＝sin∠CADsinACD4＝sin∠CADsinACD4π故＝.3(2)∵＝3≤，∴≥a，ππππ13∴≤<，<B≤，<sin≤.3263223a32由正弦定理＝，＝，∴＝，sinsinB3sinBsin213由B∈(，]a∈3，3)．22→→π5.如圖所示，在△中，＝，·＝48，點(diǎn)在邊上，且AD52，cos∠43＝5(1)求AC的長；(2)求cos∠BAD的值．34解：(1)在△中，∠ADB，∴sin＝55∴sin∠CAD＝sin(ADB∠ACD)ππ＝sin∠ADBcos－∠sin4442322＝×－×＝.525210在△中由正弦定理得

ACsin∠ADC

CDADAC52＝，即＝＝225102

，解得＝，CD2.→→2(2)∵·＝48，∴8·CB·＝48，2解得CB62∴－＝2.在△ABC中，AB＝8＋

2

－2×8×62×

22

＝10.在△ABD中，cos∠BAD

10

＋2－22×2102

＝

55

.6．在△中，內(nèi)角A，，的邊分別為a，，，b＋－＝.7

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