復(fù)變函數(shù)的積分第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五參考用書《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,高等教育出版社,2003.6

《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》,華中科大,高等教育出版社

《復(fù)變函數(shù)》,西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室,高等教育出版社,1996.5

2023/5/262第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2023/5/263第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第三章復(fù)變函數(shù)的積分內(nèi)容提要：在微積分中，當(dāng)引入實(shí)變量函數(shù)的積分后，可以解決很多的重要的問(wèn)題，在復(fù)變函數(shù)中也一樣，當(dāng)引入復(fù)變函數(shù)的積分后，也可以解決很多理論及實(shí)際問(wèn)題．如有了積分可以證明一個(gè)區(qū)域上有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)就有無(wú)窮多階導(dǎo)數(shù)，可以將一般的解析函數(shù)分解成一些最簡(jiǎn)單的函數(shù)的迭加，這就給研究解析函數(shù)的性質(zhì)提供了強(qiáng)有力的工具，今后還可以看出用復(fù)變函數(shù)的積分給計(jì)算某些定積分帶來(lái)很大的方便．本章內(nèi)容與實(shí)變量二元函數(shù)有緊密關(guān)系，特別是二元函數(shù)的第二類曲線積分的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法，全微分及積分與的問(wèn)題，格林公式等．

2023/5/264第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第三章復(fù)變函數(shù)的積分3.1復(fù)積分的概念3.2柯西積分定理3.3柯西積分公式3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)本章小結(jié)思考題2023/5/265第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一節(jié)解析函數(shù)的概念一、積分的定義

有向曲線：設(shè)C為平面給定的一條光滑（或按段光滑）的曲線，如果選定C的兩個(gè)可能方向的一個(gè)作為正方向（或正向），則我們就把C稱為有向曲線．與曲線C反方向的曲線記為

定義1：

簡(jiǎn)單閉曲線正向：當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí)，鄰近P點(diǎn)的曲線內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方，這時(shí)曲線方向稱為正方向．

C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條有向光滑的簡(jiǎn)單曲線．

分2023/5/266第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2023/5/267第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、積分存在條件及其計(jì)算方法定理1：2023/5/268第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明：注意：2023/5/269第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五法一計(jì)算這種計(jì)算復(fù)積分方法在已知曲線C方程的條件下適合2023/5/2610第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1．解：注意：沿不同的路徑積分的結(jié)果是相同的，即積分與路徑無(wú)關(guān)，

2023/5/2611第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2．解：綜上所述：這個(gè)積分結(jié)果以后常用，它的特點(diǎn)是與積分路線圓周的中心和半徑無(wú)關(guān)．

2023/5/2612第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3．解：由此題可以看出，盡管起點(diǎn)、終點(diǎn)都一樣，但由于沿不同的曲線積分，所以積分值也是不同的．2023/5/2613第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、復(fù)積分的性質(zhì)因?yàn)閺?fù)積分的實(shí)部和虛部都是曲線積分，因此，曲線積分的一些基本性質(zhì)對(duì)復(fù)積分也成立．2023/5/2614第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明性質(zhì)（5）：

（估計(jì)不等式）

2023/5/2615第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4．解：2023/5/2616第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5．證明：2023/5/2617第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二節(jié)柯西積分定理

從上一節(jié)所舉的例子來(lái)看:的任何路線積分值都相同，換句話說(shuō)，積分是與路徑無(wú)關(guān)的．由此可猜想：積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉曲線積分值為零的條件與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān)．究竟關(guān)系如何，下面我們討論此問(wèn)題．2023/5/2618第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、柯西積分定理定理2：（柯西—古薩基本積分定理）柯西積分定理表明，函數(shù)滿足一定的條件，則積分與路徑無(wú)關(guān)．

2023/5/2619第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明：2023/5/2620第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五說(shuō)明：2023/5/2621第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理3：證明：依柯西-古薩基本定理2023/5/2622第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例6．解：2023/5/2623第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、復(fù)合閉路定理定理4：（閉路變形定理）證明：一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不會(huì)因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)的變形而改變它值這事實(shí)稱閉路變形定理．

2023/5/2624第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五推論：（復(fù)合閉路定理）2023/5/2625第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1．解：2023/5/2626第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、原函數(shù)與不定積分定理5：1．積分上限函數(shù)

2023/5/2627第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理6：證明：2023/5/2628第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2023/5/2629第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2．原函數(shù)的概念結(jié)論：2023/5/2630第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理7：證明：類似于微積分學(xué)中的基本定理和牛頓——萊布尼茲公式

有了定理7，復(fù)變函數(shù)的積分就可用跟實(shí)變量函數(shù)微積分學(xué)中類似的方法計(jì)算，分部積分法，換元積分法均可用在復(fù)變函數(shù)積分中．

2023/5/2631第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2．解：例3．解：2023/5/2632第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第三節(jié)柯西積分公式一、柯西積分公式2023/5/2633第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2023/5/2634第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理8：(柯西積分公式）證明：2023/5/2635第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五說(shuō)明：推論1：（平均值公式）

推論2：2023/5/2636第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1．計(jì)算下列積分解：例2．2023/5/2637第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明：2023/5/2638第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3．計(jì)算下列積分

解：2023/5/2639第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、最大模原理定理9：（最大模原理）

這個(gè)定理表明一個(gè)解析函數(shù)的模，在區(qū)域內(nèi)部的任何一點(diǎn)都達(dá)不到最大值，除非這個(gè)函數(shù)恒等于常數(shù)．這是解析函數(shù)一個(gè)非常重要的原理．

推論1：推論2：說(shuō)明：最大模原理不僅是復(fù)變函數(shù)論一個(gè)很重要的原理，而且在實(shí)際上也是很有用的原理，它在流體力學(xué)上反映了平面穩(wěn)定流動(dòng)在無(wú)源無(wú)旋的區(qū)域內(nèi)流體的最大值不能在區(qū)域內(nèi)達(dá)到，而只能在邊界上達(dá)到，除非它是等速流體．2023/5/2640第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3．證明：2023/5/2641第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四節(jié)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一、解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各高階導(dǎo)數(shù)，它的值也可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示．這一點(diǎn)跟實(shí)變函數(shù)完全不同，一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo)，它的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是否連續(xù)也不一定，更不要說(shuō)有高階導(dǎo)數(shù)存在了．下面我們討論解析函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的解析問(wèn)題．再繼續(xù)又可得：

這是求導(dǎo)與積分兩種運(yùn)算允許交換的條件下推出的，這樣作是否可行呢？我們對(duì)此加以討論．2023/5/2642第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理10：證明：2023/5/2643第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2023/5/2644第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五說(shuō)明：（1）此公式可理解為把柯西公式（2）高階導(dǎo)數(shù)公式的作用不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo)，而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)積分，即