一元二次方程的實根分布（一）

——二次項系數(shù)不含參什么是實根分布？通過對一元二次方程的含參變量的討論，來確定其根在實軸上的位置關系。一元二次方程的實根分布預備知識方程無實根一元二次方程的根的判別式：

其判別式，則有方程有兩個相等實根方程有兩個不等實根對于一元二次方程

，

預備知識根與系數(shù)關系（韋達定理）：是一元二次方程的兩根，則有若預備知識充要條件：推出命題

,而且也能從命題推出命題,則稱是的充分必要條件,且也是的充分必要條件。如果能從命題預備知識

零點存在性定理（勘根定理）：在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號（即），那么在開區(qū)間內至少有函數(shù)的一個零點,即至少存在一個,使得。設函數(shù)例題釋疑類型Ⅰ兩根和同一個實數(shù)比較【例1】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，在下面情形下求實數(shù)的取值范圍：①兩根都大于0；②兩根都小于0；③一根大于0，另一根小于0。例題釋疑①②

③例題釋疑【例2】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，在下面情形下求實數(shù)的取值范圍：①兩根都大于1；②兩根都小于1；③一根大于1，另一根小于1。例題釋疑①②③例題釋疑①②③函數(shù)角度，是否也能求解呢？例題釋疑①②③例題釋疑根的判別式二次函數(shù)的對稱軸特殊點函數(shù)值根的判別式韋達定理函數(shù)角度方程角度例題釋疑類型Ⅱ：方程的根在某一給定區(qū)間內或外（1）方程的兩個實根均在給定區(qū)間內【例3】已知方程的兩根在區(qū)間內，求實數(shù)的取值范圍。例題釋疑例題釋疑【例4】已知方程的兩根在區(qū)間外，求實數(shù)的取值范圍。（2）方程的兩個實根均在給定區(qū)間外例題釋疑①②③例題釋疑【變式】方程的一個根不大于，而另一個根不小于，試求參數(shù)的取值范圍。（第9屆江蘇省初中數(shù)學競賽試題）例題釋疑【例5】已知方程中，有且只有一個實根在區(qū)間

內，另一的兩根根不等于，求實數(shù)的取值范圍?！咀兪健恳阎匠痰膬筛校挥幸粋€根在區(qū)間上，求實數(shù)的取值范圍。例題釋疑需要運用零點存在性定理時，一定要“驗證”！例題釋疑類型Ⅲ：方程的兩根分別位于兩個不同的給定區(qū)間【例6】方程有兩個實根，且求實數(shù)的取值范圍。例題釋疑（1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）拓展提高【例】已知方程

的兩根在區(qū)間上，求實數(shù)的取值范圍。【變式1】已知方程中，至少有一個根在區(qū)間上，求實數(shù)【解析】根據題意分以下兩種情況討論：①方程有兩個不等實根，且其中只有一個根在區(qū)間②方程有兩個實根，且均在區(qū)間上。拓展提高

的兩根的取值范圍。上，另一根不在區(qū)間端點；【變式2】已知方程【解析】根據題意分以下兩種情況討論：①方程有兩個實根，且在區(qū)間上無根；，且在區(qū)間上只有1個實根。拓展提高

的兩根中，至多有一個根在區(qū)間上，求實數(shù)的取值范圍。②方程有兩個不等實根【變式3】已知方程在區(qū)間上有實根，求實數(shù)【解析】根據題意分以下兩種情況討論：①方程在區(qū)間上有兩個實根；上有且只有一個實根。拓展提高的取值范圍。②方程在區(qū)間【變式4】已知拋物線與軸相交，且只有一個公共點在區(qū)間內，求實數(shù)【解析】根據題意分以下兩種情況討論：①拋物線與軸有兩個交點，有且只有一個交點在區(qū)間內，另一交點不在區(qū)間端點；軸只有一個交點，判斷其是否在區(qū)間內。拓展提高的取值范圍。②拋物線與歸納與總結一元二次方程的實根分布一般有三種類型：：（1）與一個實數(shù)比較；（2）與兩個實數(shù)比較；（3）與多個實數(shù)比較。歸納與總結解決一元二次方程的實根分布的一般方法：（1）方程法：利用根的判別式和韋達定理；（2）函數(shù)圖象法：利用根的判別式、對稱軸方程和特殊點的函數(shù)值。歸納與總結解決一元二次方程