第五章靜電場內(nèi)容提要：庫侖定律靜電場、電場強(qiáng)度的疊加原理電場強(qiáng)度的定義；點(diǎn)電荷系的電場強(qiáng)度疊加原理；連續(xù)帶電體的電場強(qiáng)度疊加原理；連續(xù)帶電體的電場強(qiáng)度疊加原理。電場的圖示法一電場線；通量；曲面的法線；電通量的定義;高斯定理的意義；高斯定理的應(yīng)用靜電場的保守性和環(huán)流定理電勢差和電勢靜電場中的導(dǎo)體電容、電容器十、電介質(zhì)及其極化目的要求：了解電荷的基本性質(zhì)，理解庫侖定律。掌握描述電場的參量：電場強(qiáng)度、電勢及它們間的關(guān)系，掌握場強(qiáng)疊加原理。理解電場的高斯定理，掌握用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度的條件和方法。理解電場的環(huán)流定理，掌握用兩種方法計(jì)算電勢和由電勢計(jì)算電場強(qiáng)度的條件和方法。了解導(dǎo)體的靜電平衡條件及由于導(dǎo)體的存在對電場分布的影響。理解電容器的電容，了解電容器儲存電能的表達(dá)式。理解電容器儲存的靜電場能量；會計(jì)算電場的能量和能量密度。了解電介質(zhì)的極化現(xiàn)象，了解各向同性電介質(zhì)中D和E間的關(guān)系和區(qū)別，了解電介質(zhì)中的高斯定理，了解電介質(zhì)對電容器電容的影響。重點(diǎn)與難點(diǎn)：庫侖定律的意義及應(yīng)用。電場強(qiáng)度矢量是從力的角度描述電場的物理量；用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度的條件和方法；高斯定理反映的電場性質(zhì)，庫侖定律和高斯定理是用不同形式表示電場與場源電荷關(guān)系的同一規(guī)律。L^￡E-出=0說明靜電場是保守力場，可引入電勢的概念。用兩種方法計(jì)算電勢和由電勢計(jì)算電場強(qiáng)度的條件和方法導(dǎo)體的靜電感應(yīng)平衡條件及性質(zhì)；

求電容的一般方法電位移矢量D的意義，電場線和電位移線的區(qū)別。教學(xué)思路及實(shí)施方案：本課應(yīng)強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)庫侖定律是靜電學(xué)的基本實(shí)驗(yàn)規(guī)律。說明庫侖定律只適用于點(diǎn)電荷，當(dāng)r—0時(shí)，任何帶電體已不能看作點(diǎn)電荷了；兩點(diǎn)電荷之間的作用力在它們的連線上，所以電場力是有心力，可引入電勢和電勢能的概念。電場力是通過一種特殊的物質(zhì)一電場來傳遞的。場強(qiáng)疊加原理是計(jì)算電場強(qiáng)度的第一種方法的理論基礎(chǔ)，應(yīng)重點(diǎn)講解。高斯定理是麥克斯韋電磁場理論的重要組成部分，高斯定理來源于庫侖力與距離的嚴(yán)格平方反比。庫侖定律和高斯定理是用不同形式表示電場與場源電荷關(guān)系的同一規(guī)律。用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度的條件是電場分布具有某種對稱性，這就要求電荷分布具有某種對稱性。用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度實(shí)際上是對某些對稱分布的場強(qiáng)已知場強(qiáng)的方向，求場強(qiáng)的大小。由于靜電場是保守力場，才能引入電勢能和電勢的概念求解靜電平衡的導(dǎo)體問題的基本出發(fā)點(diǎn)是電荷守恒定律和導(dǎo)體內(nèi)部的合場強(qiáng)處處為零。對于線性電介質(zhì)，只要將真空中的公式的&0—￡，即可得到電介質(zhì)中的相應(yīng)公式。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)第一節(jié)電荷庫侖定律一、 電荷守恒定律正負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變。r2實(shí)驗(yàn)原理庫侖的扭秤是由一根懸掛在細(xì)長線上二、 庫侖定律r2實(shí)驗(yàn)原理庫侖的扭秤是由一根懸掛在細(xì)長線上的輕棒和在輕棒兩端附著的兩只平衡球構(gòu)成的。當(dāng)球上沒有力作用時(shí)，棒取一定的平衡位置。如果兩球中有一個帶電，同時(shí)把另一個帶同種電荷的小球放在它附近，則會有電力作用在這個球上，球可以移動，使棒繞著懸掛點(diǎn)轉(zhuǎn)動，直到懸線的扭力與電的作用力達(dá)到平衡時(shí)為止。因?yàn)閼揖€很細(xì)，很小的力作用在球上就能使棒顯著地偏離其原來位置，轉(zhuǎn)動的角度與力的大小成正比。庫侖讓這個可移動球和固定的球帶上不同量的電荷，并改變它們之間的距離：第一次，兩球相距36個刻度，測得銀線的旋轉(zhuǎn)角度為36度。第二次，兩球相距18個刻度，測得銀線的旋轉(zhuǎn)角度為144度。第三次，兩球相距8.5個刻度，測得銀線的旋轉(zhuǎn)角度為575.5度。上述實(shí)驗(yàn)表明，兩個電荷之間的距離為4：2：1時(shí)，扭轉(zhuǎn)角為1：4：16。由于扭轉(zhuǎn)角的大小與扭力成反比，所以得到：兩電荷間的斥力的大小與距離的平方成反比。庫侖認(rèn)為第三次的偏差是由漏電所致。經(jīng)過了這們巧妙的安排，仔細(xì)實(shí)驗(yàn)，反復(fù)的測量，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出誤差產(chǎn)生的原因，進(jìn)行修正，庫侖終于測定了帶等量同種電荷的小球之間的斥力。但是對于異種電荷之間的引力，用扭稱來測量就遇到了麻煩。因?yàn)榻饘俳z的扭轉(zhuǎn)的回復(fù)力矩僅與角度的一次方成比例，這就不能保證扭稱的穩(wěn)定。經(jīng)過反復(fù)的思考，庫侖發(fā)明了電擺。他利用與單擺相類似的方法測定了異種電荷之間的引力也與它們的距離的平方成反比。最后庫侖終于找出了在真空中兩個點(diǎn)電荷之間的相互作用力與兩點(diǎn)電荷所帶的電量及它們之間的距離的定量關(guān)系，這就是靜電學(xué)中的庫侖定律，即兩電荷間的力與兩電荷的乘積成正比，與兩者的距離平方成反比。庫侖定律是電學(xué)發(fā)展史上的第一個定量規(guī)律，它使電學(xué)的研究從定性進(jìn)入定量階段，是電學(xué)史中的一塊重要的里程碑。電荷的單位庫侖就是以他的姓氏命名的。庫侖定律的意義由庫侖定律知：當(dāng)r—0時(shí)，F(xiàn)—8，說明庫侖定律只適用于點(diǎn)電荷，當(dāng)r—0時(shí)，任何帶電體已不能看作點(diǎn)電荷了。兩點(diǎn)電荷之間的作用力在它們的連線上，所以電場力是有心力，可引入電勢和電勢能的概念。由于庫侖力是嚴(yán)格平方反比的，因此才有高斯定理。三、電荷的量子化對于上式我們在定量研究時(shí)會發(fā)現(xiàn)，r是可測量，而q的大小如何來量度呢？對于測量電量19世紀(jì)上半葉的共識是從I=Q/t來定量Q，可見電流是主體，20世紀(jì)初葉定義相距1米的無限長且橫切面積無限小的兩平行導(dǎo)線通同向電流，如果引力=2*10-7N/m，則電流I=1A，Q=1庫侖=1A*1s，1948年國際會議決定的第四個基礎(chǔ)單位中電流以安培計(jì)。在1834年法拉第發(fā)現(xiàn)電解定律時(shí)，在研究電解中認(rèn)識到正負(fù)離子是帶電實(shí)體，所帶電量是一基本量的整數(shù)倍。1886年湯姆孫對氣體放電陰極射線進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)研究，認(rèn)為陰極射線是從陰極發(fā)出的質(zhì)量非常小的帶有負(fù)電的粒子流，并測得了這種粒子的荷質(zhì)比，同時(shí)對比光電效應(yīng)、熾熱金屬發(fā)出的帶電粒子的荷質(zhì)比，發(fā)現(xiàn)很近似，經(jīng)過幾十年的實(shí)驗(yàn)工作，1899年湯姆孫得出原子并不是不可分割的最小微粒，所有原子內(nèi)部都有帶負(fù)電的微粒，電量都相同，質(zhì)量也相同，但質(zhì)量很小，只有氫原子質(zhì)量的千分之一，并可通過不同的方式把它們從原子中扯出來，這種微粒就是電子，電子是構(gòu)成原子的最小構(gòu)件，是最早發(fā)現(xiàn)的“基本”粒子，湯姆孫由于證實(shí)電子的存在和測得電子的荷質(zhì)比而于1906年榮獲諾貝爾物理學(xué)獎。1909年，密立根做了著名的油滴實(shí)驗(yàn)得出油滴所帶電荷總是某一基本電荷的整數(shù)倍結(jié)論，這個基本電荷就是電子的電荷，1917年密立根正式宣布電子的電荷值是SI下(1.591+-0.002)*10-19C，榮獲1923年諾貝爾獎。今天1.602*10-1￡。到此我們可以得出，k為常數(shù)，在SI中k=8.988*109N*m2*C-2,單位制有理化，令人4雙0，于是咨1qq-F= ro4兀8r2e。稱為真空電容率或真空介電常量1e0=菽=8.85*10-12C2*N-1*m-2第二節(jié)電場電場強(qiáng)度一、電場由上一節(jié)學(xué)習(xí)可以知道，兩個相距一段距離的帶電體之間存在作用的電力，在第四章中還會看到兩個相距一段距離的電流之間存在著相互作用的磁力，兩個相距一段距離的物體之間存在著萬有引力.兩個不相接觸的物體間怎么會發(fā)生相互作用呢？這種帶電體電荷間的電相互作用模式可表示為電荷——電場——電荷31正點(diǎn)電荷的場強(qiáng)分布Cb)頓點(diǎn)電荷的場疆分布帶電體上的電荷分布如果是不隨時(shí)間變化的靜止電荷，其周圍空間中的電場分布也是不隨時(shí)間變化的電場，這種電場稱為靜電軌本章和下一章就先來討論這種靜電場。二、電場強(qiáng)度任何帶電體上的電荷都會在其周圍空間產(chǎn)生電場，電場的最基本特征是對進(jìn)人其存在空間的其他電荷產(chǎn)生電作用力為定量地研究電場，我們引人一個這樣的電荷：其電量q0很小，以便它引人電場后不會導(dǎo)致產(chǎn)生電場的電荷分布發(fā)生變化；同時(shí)，這個電荷的幾何線度很小，以致于可將其視為點(diǎn)電荷，從而通過它能研究電場空間各點(diǎn)的電場性質(zhì)這種電荷稱為試探點(diǎn)電荷.將試探點(diǎn)電荷且于所研究的電場，設(shè)試探點(diǎn)電荷在電場r處受的電場力為F，則F。應(yīng)與q和反映r處電場性質(zhì)的一個矢量E(r)有關(guān)，設(shè)F0=q0E(r)，則。 °0° E(r)=*q是一個與試探點(diǎn)電荷無關(guān)、完全反映r處電場本身性質(zhì)的物理量.反映電場本身性質(zhì)的物理量E稱為電場的電場強(qiáng)度，簡稱場強(qiáng).單位牛頓每庫侖,N*C-i,IS中常用伏特*米-1，V*m-i。三、 點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度E(r)=世 町 四、 場強(qiáng)疊加原理與任意帶電體電場的電場強(qiáng)度由前面一節(jié)中關(guān)于靜電力的疊加原理的討論可知，N個點(diǎn)電荷q1,q2~,qN組成的點(diǎn)電荷組對位于r處的一個試探電荷q0的靜電力為F(r)=.")其中，fi0為點(diǎn)電荷組中第I個點(diǎn)電荷qi對試探電荷q0的作用力。根據(jù)電場強(qiáng)度的定義，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電場在空間r處的電場強(qiáng)度為E(r)=衛(wèi)空以jr)這里，Ei(r)為點(diǎn)電荷組中第I個點(diǎn)電荷單1獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電場在r處的電場強(qiáng)度。式子表明：若干點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電揚(yáng)的電場強(qiáng)度，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電場的電場強(qiáng)度的朱量和，這稱為電場的場強(qiáng)疊加原理.由于任何帶電系統(tǒng)都可以分割成許多可視為點(diǎn)電荷的電荷元的集合，根據(jù)點(diǎn)電荷電場的電場強(qiáng)度公式和場強(qiáng)疊加原理，原則上我們可以求出任何帶電系統(tǒng)的電場的電場強(qiáng)度。1、 點(diǎn)電荷組的電場強(qiáng)度2、 線電荷帶電體的電場強(qiáng)度3、 面電荷帶電體的電場強(qiáng)度4、 體電荷帶電體的電場強(qiáng)度第三節(jié)第三節(jié)電力線高斯定理電場的圖示法一電場線為了形象地描述電場在空間的分布，按下述規(guī)定在電場中畫出的假想曲線族：曲線上每一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)場強(qiáng)的方向；曲線的疏密程度表示場強(qiáng)的大小，具體地說即該點(diǎn)附近垂直于電場方向

的單位面積上穿過的電場線數(shù)目等于該點(diǎn)的場強(qiáng)大小。靜電場的電場線具有如下性質(zhì)：在無電荷分布處，任何兩條電場線不會相交；不形成閉合曲線，也不中斷；而是起自正電荷，結(jié)束于負(fù)電荷。電通量曲面的法線：電通量的定義：如圖所示，以dS表示電場中某一設(shè)想的面元，該面元所在處的場強(qiáng)為E，定義該面元的電通量為通過此面元的電場線數(shù)目。、d①=E-ds其中，E--面元dS上的場強(qiáng)，d的方向就是該點(diǎn)的法線方向。①e E?ds均勻電場，S是平面，且與電力線垂直電通量①=ES均勻電場，S是平面，與電力線不垂直，①=ES±=EScosa，a是S的法線和電力線的夾角高斯定理德國數(shù)學(xué)家高斯(1777-1855)，1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才。1795?1798年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)1798年轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。高斯定理是由德國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家K.F.高斯導(dǎo)出的，是電磁學(xué)的一條重要定理。高斯定理的推導(dǎo)先討論最簡單的情況。設(shè)電場由點(diǎn)電荷q產(chǎn)生，以q為球心作半徑為r的球面，其電通量為中=月E-ds』Eds=U4~|—ds=日—月ds=4~|—4兀r2=q結(jié)果說明通過球面的電通量與半徑無關(guān)，而與0點(diǎn)電荷的電量有關(guān)。L 以上結(jié)論說明：電通量中與所取球面V" 的半徑無關(guān)。這表示從點(diǎn)電荷q發(fā)出的電一s/場線連續(xù)地延伸到無窮遠(yuǎn)處；如果球面不J '包含電荷，則由于q二。，所以中二。。這實(shí)際上是由于電場線由源正電荷發(fā)出(或終止于負(fù)電荷)，所以穿入此曲面的電通量(負(fù)通量)和穿出此曲面的電通量(正通量)剛好相消。電通量與封閉曲面的形狀無關(guān)我們在s和s'閉合曲面上取小片，證明s面上的小片的電通量和s'面上的小片的電通量相等。設(shè)內(nèi)小片的面積為』，外小片的面積為A。—?通過內(nèi)小片的電通量=E(r)/=E(r)a通過外小片的電通量=E-A=EAcos0=[E(—)2][a(竺2—]cos0=Ea(R) (R) (r)Rrcos0 (r)所以電通量與封閉曲面的形狀無關(guān)。若封閉曲面S包圍由若干點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)｛q,｝，由場強(qiáng)疊加原理不難得出，通過任一封閉曲面的電通量氣也有上述結(jié)論。高斯定理：對于電場中的任一封閉曲面S，它的電通量氣為中=月E-ds=A0式中的q是閉合曲面內(nèi)的凈電荷。上式是高斯定理的數(shù)學(xué)表示式，它表明：在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意封閉曲面的電通量等于該封閉曲面所包圍的凈電荷量的1/e。倍。高斯定理的意義：(1)高斯定理表明靜電場是有源場，這個結(jié)論對普遍的電磁場也成立。高斯定理的本質(zhì)是因?yàn)殡姷淖饔昧κ桥c距離的嚴(yán)格平方成反比，因此庫倫定律和高斯定理不是兩條獨(dú)立的定理?？梢哉f庫侖定律和高斯定理是用不同形式表示電場與場源電荷關(guān)系的同一規(guī)律。庫倫定律：已知電荷求場。高斯定理：已知場，確定任一區(qū)域有多少電荷。但必須指出的是：對于靜止電荷的電場，它們是等價(jià)的；對于運(yùn)動電荷的電場，庫侖定律不再成立，而由于電荷的相對論不變性，高斯定理仍成立。對高斯定理的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：場強(qiáng)E是封閉曲面S上各點(diǎn)的場強(qiáng)，它是由封閉曲面內(nèi)、外的所有電荷共同產(chǎn)生的合場強(qiáng)。通過任一封閉曲面的總通量氣僅與面內(nèi)包圍的凈電荷量有關(guān)，與面外的電荷無關(guān)。當(dāng)氣〉0時(shí)，有凈電場線穿出曲面；當(dāng)氣V0時(shí)，有凈電場線穿入曲面。3、用高斯定理證明電場線的三個性質(zhì)、電場線起于正電荷(或無窮遠(yuǎn)處)止于負(fù)電荷(或無窮遠(yuǎn)處)，在無電荷處電場線不中斷。、電場線不形成閉合曲線。、任何兩條電場線在無電荷處不相交。思考題：若勻強(qiáng)電場的電場線斜穿過口袋形的閉合曲面，求除袋口外其余部分的電通量(設(shè)袋口是半徑為r的圓面，E與圓面的法線相交為a角)—>解：因?yàn)椋?E.亦=0所以：除袋口外其余部分的電通量：中=—[Enr2cosa]高斯定理的應(yīng)用中』E-ds=A求電荷分布。在式e e0中，高斯面具有任意性。因此，若在某區(qū)域內(nèi)場強(qiáng)分布已知，利用高斯定理可求出此區(qū)域內(nèi)的電荷及分布。求電場分布。jjE.亦=仝由高斯定理：s80，若知道等式的右端（即知道電荷在空間的分布），即知道積分的結(jié)果。若要求出定積分的被積函數(shù)，在一般的情況下不能做到。但是，由前述我們已經(jīng)知道，當(dāng)場源電荷分布具有某種對稱性，相應(yīng)地，它產(chǎn)生的電場也將具有某種對稱性。在這種情況下，可以運(yùn)用高斯定理求出場強(qiáng)分布。這種求解場強(qiáng)的方法一般包含兩步:首先，根據(jù)電荷分布的對稱性分析電場分布的對稱性，選取高斯面，計(jì)算①/然后，再應(yīng)用高斯定理計(jì)算場強(qiáng)數(shù)值。在第一步驟中的關(guān)鍵技巧是根據(jù)場的對稱性特點(diǎn)選取（或設(shè)想）合適的高斯面，以便能使場強(qiáng)E以常量的形式從積分中提出來。例如：點(diǎn)電荷，均勻帶電球（體、面），高斯面選球面；無限長均勻帶電（直線、拄面、拄體），高斯面選拄面；無限大均勻帶電平面及幾個無限大均勻帶電平行平面，高斯面選拄面。下面通過實(shí)例說明該求解過程和方法。例題例1.求均勻帶電球的電場分布，已知球面半徑為R，所帶總電量為q（設(shè)q>0）。解：因?yàn)殡姾煞植季哂星驅(qū)ΨQ，所以高斯面可以選球面。球外任意一點(diǎn)（半徑為,）：由高斯定理：中=jjE-ds=Ejjds=E4兀r2=—S s 0E=———所以： 4雙or2 （r〉R）球內(nèi)任意一點(diǎn)（半徑為r）：由高斯定理:由高斯定理:E=衣所以： 4脫oR3 （r<R）E=—墮—特例：1.均勻帶電球面：球面外任意一點(diǎn)（半徑為r）： 4雙or2球面內(nèi)任意一點(diǎn)（半徑為r）：E=0E=———2?點(diǎn)電荷： 4雙or2結(jié)論：均勻帶電球體外、均勻帶電球面外任意一點(diǎn)的場強(qiáng)等于把這些電荷全部集中在球心點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。例2.求半徑為R的無限長均勻帶電柱體的電場分布。已知帶電

柱體的線電荷密度為入（設(shè)入〉0）。解：因?yàn)殡姾煞植季哂兄鎸ΨQ，所以高斯面選柱面。柱面外任意一點(diǎn)（半徑為Q：由高斯定理：二L二L二一二一一，Xl中=JJE-ds=JJE-ds+JJE-ds+JJE-ds=E2兀rl=一es 上底 下底 側(cè)面XE= 所以： 2雙0r （r〉R）柱面內(nèi)任意一點(diǎn)（半徑為r）：由高斯定理：中=JJE-ds=JJE-ds+JJE-ds+JJE-ds=E2兀rl=——Xes 上底 下底 側(cè)面 8兀R210E=—r—X所以： 2氣R2 (*R)特例：1.半徑為R的無限長均勻帶電柱面：XE= 柱面外： 2雙0rXE= 2兀8XE= 2兀8r02.無限長均勻帶電直線：結(jié)論：無限長均勻帶電圓柱體外、無限長均勻帶電圓柱面外任意一點(diǎn)的場強(qiáng)等于把這些電荷全部集中在軸線點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。例3.求無限大均勻帶電平面的電場分布。已知帶電平面上面電荷密度為。（設(shè)。＞0）。解：高斯面選柱面。由高斯定理：二一二一二一二一—一兀r2b中=JJE-ds=JJE-ds+JJE-d+JJE-ds=E2e=es 上底 下底 側(cè)面b28280所以：第四節(jié)第四節(jié)靜電場的環(huán)流定理、電勢教學(xué)內(nèi)容：在本節(jié)中，將從功能的角度研究靜電場的性質(zhì)，出發(fā)點(diǎn)仍是庫侖定律。

靜電場的保守性和環(huán)流定理首先考慮一個特例：考慮在靜止點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場中，移動另一點(diǎn)電荷q0由P1點(diǎn)沿任一路徑I到P2點(diǎn)時(shí)，靜電場力所做的功（如圖所示）。qqdA=qEcosudl= o—cosBdl0 4ksr2dA=qqodr4兀g dA=qqodr4兀g r2o由此得:,/cos0dl=dr即在點(diǎn)電荷的電場中，沿任意一路徑靜電場力移動點(diǎn)電荷所作的功，與做功路徑無關(guān)，僅與始末位置有關(guān)。靜電場的這一特性叫靜電場的保守性，或者說靜電場是保守場，靜電力是保守力。靜電場的這一特性與引力場非常相似，這是因?yàn)槿f有引力和庫侖力都是遵從平方反比律。所以，萬有引力做功的結(jié)論對于靜電力做功也是適用的。因?yàn)槿魏戊o止帶電體系都可以看作是靜止點(diǎn)電荷系的某種集合，由疊加原理知，對于帶電體系也有相同的結(jié)論。也就是說，上述對點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場所得的結(jié)論，對場源電荷為任一分布時(shí)的電場也適用。靜電場的環(huán)流定理設(shè)想若沿任何一條閉合路徑，即始末位置重合，靜電力移動電荷做功又為多少呢?用靜電場的特性可以馬上判斷，其結(jié)果一定為零。若用場強(qiáng)E的閉合路徑線積分表達(dá)，其數(shù)學(xué)表示為：_L—^[E?dl=0在靜電場中，場強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分等于零。這又稱作靜電場

的環(huán)流定理，它反映了靜電場的保守性，即靜電力是保守力。在電磁場理論中又說為靜電場是無旋場。電勢能能和電勢1.電勢能由第三章中保守力與勢已經(jīng)知道，對應(yīng)一個保守力，相應(yīng)地存在著一個由位置決定的標(biāo)量函數(shù)，兩個不同位置間的標(biāo)量函數(shù)之差反映了該保守力所做的功，這個標(biāo)量函數(shù)稱為此保守力的勢能。=q=qo\e-dl若規(guī)定：W8=0則有電勢能為：2.電勢由上式，可以看出它反映的靜電場力做功是與被移動電荷無關(guān)的，僅由場本身決定，故可用關(guān)于場強(qiáng)E的線積分來定義與靜電場力相對應(yīng)的這個標(biāo)量函數(shù)，稱為靜電場的電勢，常用U表示，它是描述靜電場的另一個基本物理量。w電勢?零點(diǎn)一U=i=jE-dl. . 0 r因此在一靜電場中任易一點(diǎn)P的電勢等于場強(qiáng)沿任一路徑由P點(diǎn)到電勢零點(diǎn)的線積分，即等于靜電場力移動單位正點(diǎn)電荷經(jīng)任意路徑由P點(diǎn)到電勢零點(diǎn)所做的功。電勢零點(diǎn)的選擇具有任意性，如何選擇視方便而定。一般地，當(dāng)電荷分布在有限范圍內(nèi)，常選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)。在工程技術(shù)中，常把電勢零點(diǎn)選在“地上”，需要提起注意的是這個“地”的確切含義，它可能是指大地，也可能是指電路中某一公共導(dǎo)線等，它們是不相同的，需要區(qū)分。當(dāng)激發(fā)電場的電荷分布可視為無窮范圍時(shí)，若選無窮遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)，上式可能出現(xiàn)不收斂，是沒有物理意義的，在這種情況下可任選一確定位置為電勢零點(diǎn)。在(SI)單位制中，電勢的單位為焦耳/庫侖(J/C)，也叫伏特(V)。3.電勢差由于位置是有相對性的，故由位置決定的一給定電場的電勢也是具有相對意義的。但是，對于兩給定位置的電勢差卻具有完全確定的值，這個值代表了在兩點(diǎn)間移動單位正電荷時(shí)靜電力所做的功，用下述公式表示：電勢?零點(diǎn)一電勢零點(diǎn)一 ^b一一jE-dl—jE-dl=jE-dlrha

由上式可知，電勢U實(shí)質(zhì)上就等于與參考點(diǎn)（電勢零點(diǎn)）的電勢差值。電勢的計(jì)算電勢疊加原理一個電荷系統(tǒng)的電場中任一點(diǎn)的電勢等于每一個帶電體單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。這就是電勢疊加原理。電勢疊加原理對于求解電場的電勢分布是非常有用的，該疊加過程是求標(biāo)量代數(shù)和，相對于E的矢量疊加運(yùn)算要簡單一些。2?點(diǎn)電荷的電場中的電勢分布因?yàn)椋狐c(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度：'4雙0r3'U="E-dr="一q_dr=1q所以：Pr r4雙0r2點(diǎn)電荷系的電場中的電勢Up"Hr帶電體的電場中的電勢方法一：；""標(biāo)量積分，已選8為電勢零點(diǎn)，積分范圍遍及整個帶電體）8一一U=jE-dl、 、方法二：Pp;（應(yīng)已知E=E偵）；這是標(biāo)量積分并注意若E不連續(xù)或有尖點(diǎn)則要分段積分）例1.求均勻帶電細(xì)圓環(huán)在軸線上任一點(diǎn)X處的電勢。解：在圓環(huán)上任取一小段dl，它在軸線上任一點(diǎn)X處的電勢為dUMdldU4雙（X2+R2q4雙 v'X2+R20U=-^i2血q4雙 v'X2+R20則 4雙 0 4雙v'x2+R20 0

特例：圓心處：x=0。由上面的計(jì)算知道:U=-^4兀8R0入U(xiǎn)= 兀R若為半圓，則有 4雙。1U=±竺若為4圓周， 4雙02例2.求均勻帶電圓盤在圓心處的電勢（設(shè)電荷線密度為b）。解：由例題1的結(jié)論，我們可以選半徑為r，寬度為dl的細(xì)圓環(huán)。它的電勢為：dq=o2兀dq=o2兀rdr4兀8r0b——Rb2b——RU=jR 所以：04雙0r 280應(yīng)注意：例題2是以例題1的結(jié)論為基礎(chǔ)計(jì)算的。例3.求均勻帶電球面的電勢分布。設(shè)球面半徑為R，總電量為q。解：由高斯定理：均勻帶電球面的球面外任意一點(diǎn)（半徑為r）：E=-^4兀8r2均勻帶電球面內(nèi)任意一點(diǎn)°（半徑為r）：E=0U="E-dl=—^-所以：球面外任一點(diǎn)（r>R）：r 4兀80rU=』8E-dl=』8一q一dr= q球面內(nèi)任意一點(diǎn)（半徑為r）： r R4兀80r2 4兀80R第五節(jié)第五節(jié)靜電場中的導(dǎo)體和電容_ _F_ _F=qE靜電場對引入靜電場的電荷要產(chǎn)生力的作用： 求E的三種方法：E=』1dq r 求E的三種方法：E=』—Mq=jjE-ds= dU80dU80；日8UEydy2.靜電場對引入靜電場的電荷要做功。入廣氣dUdz。=-q(Ub-U)U-fdqU=『E-dl求U的兩種方法：P4雙or； Pp；靜電場中的導(dǎo)體在電場中引入導(dǎo)體，由于電場與組成導(dǎo)體的帶電微粒的相互作用，導(dǎo)體將發(fā)生感應(yīng)現(xiàn)象，原電場分布也將發(fā)生變化，這些改變與導(dǎo)體的電結(jié)構(gòu)有關(guān)。導(dǎo)體的靜電感應(yīng)平衡條件在電場作用下，導(dǎo)體內(nèi)的自由電子將發(fā)生定向遷移，打破原導(dǎo)體上處處電中性，出現(xiàn)電荷的重新分布，這些電荷叫感應(yīng)電荷，這種現(xiàn)象叫靜電感應(yīng)現(xiàn)象。感應(yīng)過程僅持續(xù)很短暫的時(shí)間(對于銅約為10-19S)就迅速達(dá)到新的靜電平衡，稱為“靜電感應(yīng)平衡”。此時(shí)導(dǎo)體內(nèi)自由電子定向遷移停止，導(dǎo)體上新的電荷分布恒定，導(dǎo)體內(nèi)外的電場 E應(yīng)是原外加電場Eo與感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場E'疊加而成，即_ _ _E-E+E'o對于導(dǎo)體內(nèi)，平衡時(shí)自由電子停止定向遷移，必有感應(yīng)電場完全抵消外加電場，即導(dǎo)體內(nèi)的電場必為零；對于導(dǎo)體表面的電場必定要垂直于該表面，因?yàn)槿绻袌鰪?qiáng)的平行分量存在，電荷將沿表面運(yùn)動。處于靜電平衡的導(dǎo)體，有許多重要性質(zhì)：由場強(qiáng)與電勢梯度間的關(guān)系，導(dǎo)體靜電平衡條件還可等價(jià)地表述為：處于靜電平衡的導(dǎo)體是一個等勢體，導(dǎo)體表面即為等勢面。導(dǎo)體內(nèi)凈電荷處處為零；電荷只能分布在導(dǎo)體表面。導(dǎo)體表面上任一處的電荷面密度與該點(diǎn)緊鄰處的場強(qiáng)大小成正比。(4)對于孤立的導(dǎo)體，當(dāng)其處于靜電平衡時(shí)，表面電荷面密度與該位置處導(dǎo)體表面的曲率半徑有關(guān)。一般而言，曲率半徑越大，電荷面密度越??；反之，電荷面密度越大。例1.A為導(dǎo)體球，B為與A同心的導(dǎo)體球殼，如圖所示。R=—mR=—mR= m _一已知：求：（1）（2）氣523R32.5QA=4X10-6C,QB=-2x10-已知：求：（1）（2）各表面的電量％，q2,q3;ub=?（3）解：（1）U=（3）解：（1）因?yàn)閷?dǎo)體帶電只能帶在表面上，所以qi=Qa=4X10-6C。又因?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，由高斯定理得到：q2=-4x10-6C。再由電荷守恒定律：q3=2x10-6c。U="E-dl="Edr= 一=4.5x104V（2） BR3 R3 4雙0R3U=J%E-dl=jR2Edr=-Q^（——土）=7.2x104V（3） ABR1 R1 霍0R1R2例2.對于如圖所示的無限大帶電平板，證明，相對的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同。解：方法1：設(shè)兩塊平板分別帶電Qa，Qb，由電荷守恒定律:

(1)

b3s+b4s=Qb （2）由于導(dǎo)體內(nèi)部的合場強(qiáng)為零，且每層面電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為a%0，方向垂直帶電面指向兩側(cè)。1（3） （b-b-b-b）=0（3）01 ， 、八（4）b=-a2 3 （b+b+b-（4）b=-a2 3聯(lián)立求解得到：b]=氣方法2：由高斯定理和導(dǎo)體平衡條件可得：—>jf.E-ds=（b+b）As&nb=-b再由電荷守恒定律即可得到相同的結(jié)論。情況又如何？忽略金屬板的邊緣效應(yīng)。兩板間距為h。解：（1）例3.有一塊大金屬平板A,面積為S,總電量為q,今在其近旁平行放置第二塊大金屬平板B（如圖所示），此板原來不帶電。求靜電平衡時(shí)，金屬板上的電荷分布及周圍空間的電場分布。若把第二塊金屬板接地情況又如何？忽略金屬板的邊緣效應(yīng)。兩板間距為h。解：（1）由電荷守恒定律：（1）（2）且每層面電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)bs+（1）（2）且每層面電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)bs+bs=0由于導(dǎo)體內(nèi)部的合場強(qiáng)為零為6%0，方向垂直帶電面指向兩側(cè)。（3）-^（b-b-b-b）=0（3）0（4）=—q2sa=0-^（b+b（4）=—q2sa=00聯(lián)立求解得到：b1=b2=b4，b3（2）若把第二塊金屬板接地，則有:由電荷守恒定律：bs+bs=q

由于導(dǎo)體內(nèi)部的合場強(qiáng)為零，且每層面電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為62￡0，方向垂直帶電面指向兩側(cè)。1 - —、C（3）（4）—qs （6-6（3）（4）—qs0-^（6+6+6）=00聯(lián)立求解得到：61=0，62=qs6第六節(jié)第六節(jié)電容和靜電場能量一、電容、電容器電容器的電容兩個靠得很近的導(dǎo)體所組成的電容器。常見的電容器有平行板電容器、圓柱電容器、可變電容器等。電容器的電容：—q—qUU—U在國際單位：制（/『）中，電容的單位是法拉（F）,l法位=1庫侖/伏特平行板電容器首先以平行板電容器為例給出由兩個導(dǎo)體組成的電容器的電容定義。一對平行平面導(dǎo)體A、B的面積很大，且靠得很近，若A、B兩板帶等量異號電荷，電場線將集中在兩表面之間的狹窄空間內(nèi)，這時(shí)外界的其它帶電體和導(dǎo)體所引起的干擾，對二板間的電勢差的影響實(shí)際上可以忽略，我們可把這種裝置看成是電容器（平行板電容器），兩導(dǎo)體板叫電容器的極板。若增加或減少極板的電量q，不難分析得出兩極板間的電勢差也隨之成正比的增加或減少。因此，UabUab=Ua-UbE=—8 .0.q8sC= =—0-Ud球形電容器E=—竺drC= =4兀8 A~B—nU 。C= =4兀8 A~B—nU 。R-RC=4兀8R???abRb 糧0RaR特例：孤立導(dǎo)體球的電容：RbT3，

求電容的一般方法：(1)根據(jù)電荷的分布求電容器的丘;R一一(2)"一華由dnUb=—iAE(2)"一華由dnR

BC―由C―由UAB(3)電容器的聯(lián)結(jié)(1)串聯(lián)且C一定與q無關(guān)。1(U-U)+(U-U)+—UUA-UB+UBUC+...qq1TOC\o"1-5"\h\z1 1——+一+...q C2C=qi+q2+…+qn=C+C+...+C(2)并聯(lián)U-U1 2n例3.求圓柱形電容器的電容，如圖所示。電容器由兩個同軸柱例3.求圓柱形電容器的電容，如圖所示。電容器由兩個同軸柱i,形導(dǎo)體A、B組成，設(shè)其半徑分別為ra、rb(raVrb)，長度為且i>>R廣RA，兩端的邊緣效應(yīng)可忽略。解：因?yàn)??rb-ra，所以可把兩個同軸柱形導(dǎo)體A、B視為無限長。由電場的高斯定理可以得到：入E= 2K8r， (R<r<R)兩板之間的電勢差： 人bU=jrbE-dr=jrb——_r=———ln^BAB ra ra2雙r 2雙 RC—=加oL圓柱形電容器的電容： UabIn氣RJ帶電系統(tǒng)的能量考慮一帶電體的電量Q是一份、一份地從無限遠(yuǎn)處搬到這個帶電體上的。當(dāng)帶電體具有電量q，相應(yīng)的電勢為U時(shí)，如果再把另一份dq從無限遠(yuǎn)處搬到這個帶電體上時(shí)，需做功靜電場是保守力場，外力做的功應(yīng)該等于帶電體所具有的電勢能。dA=dA=UdqnA=jdA=jUdqw=A=QUdq所以，0電容器儲存的靜電場能量電容器的充、放電過程分別是電容器建立電場、儲存電能和釋放電能的過程。現(xiàn)在我們首先計(jì)算電容器所儲存的電能.以充電過程為例,設(shè)充電后電容器極板所具有的電量為Q,電壓為U,電容為C。求解思路是：若計(jì)算了在充電過程中電場力做的功就可算得該電能。設(shè)充電過程中任一時(shí)刻t，電容器的電壓為u，極板電量為q，則有u=q/C若經(jīng)過dt又充入微小電量dq，則外力做功dA為dqqnA=Q也=空dA=udq=qC 0C 2C外力做功即為電容器儲存的電能Q2 1 1w=a=Q-=三uBq=2cu?b也就是電容器內(nèi)電場能量的表達(dá)式。電場的能量電場的能量從場的觀點(diǎn)看，電容器儲存的電能即為電容器內(nèi)電場的能量。下邊以平行板電容器(勻強(qiáng)電場)為例，導(dǎo)出以場量給出的電場能量形式。w=2CUBb 對于平行板電容器：UAB=Ed， C=7代入得w=1竺E2d2=1&E2V=1DE2d2 2上式雖然是由平行板電容器這個特例推出的，但可以證明它對于任何電場均成立。上式從場的觀點(diǎn)表達(dá)了電場能量在電場存在的空間內(nèi)的分布，它表明電能是儲存于電場中的，電場是電能的攜帶者，特別是對于時(shí)變電磁場，更證實(shí)了此觀點(diǎn)的正確性。一般地，任一帶電系統(tǒng)的電場是非均勻的，電場能量為W=j(—DE)dVV電場能量密度第七節(jié)第七節(jié)電介質(zhì)一.電介質(zhì)及其極化電介質(zhì)是幾乎沒有自由電荷的一類物質(zhì)。當(dāng)把電介質(zhì)引入電場時(shí)，雖然電介質(zhì)中的電子仍不能遠(yuǎn)離它所屬的原子，但電介質(zhì)上的電荷分布要發(fā)生變化，同時(shí)也要引起外電場的改變。電介質(zhì)的分類：無極分子；有極分子電介質(zhì)的極化：（1） 無極分子的位移極化；但無極分子電介質(zhì)處在靜電場中時(shí)，在電場力的作用下，分子的正負(fù)電荷中心將發(fā)生相對位移，形成電偶極子，它們的等效電偶極矩萬的方向都將沿著電場的方向。對于整塊均勻的電介質(zhì)，在它內(nèi)部處處仍然保持電中性，但是在電介質(zhì)的兩個和外電場相垂直的表面上，將分別出現(xiàn)正電荷和負(fù)電荷，這些電荷不能脫離電介質(zhì)，也不能在電介質(zhì)中移動，我們稱為極化電荷（束縛電荷）。電介質(zhì)的極化：我們把這種在外電場作用下，在電介質(zhì)中出現(xiàn)極化電荷的現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。這類分子可以