第十講歸納推理的文化及內(nèi)涵演示文稿當(dāng)前第1頁\共有83頁\編于星期三\11點（優(yōu)選）第十講歸納推理的文化及內(nèi)涵當(dāng)前第2頁\共有83頁\編于星期三\11點一、人們對歸納的認(rèn)識

甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比．

——拉普拉斯分析與自然哲學(xué)中最重大的發(fā)現(xiàn)都應(yīng)歸功于這種豐富多產(chǎn)的方法，也就是所謂“歸納”方法，牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納法的成果。

拉普拉斯《概率的分析理論》當(dāng)前第3頁\共有83頁\編于星期三\11點拉格朗日五次獲法國科學(xué)院大獎。他是最早意識到一般五次或更高次的代數(shù)方程不存在根式解的數(shù)學(xué)家之一。他的《關(guān)于方程的代數(shù)解的研究》，開辟了代數(shù)發(fā)展的新時期。他證明了威爾遜定理，證明了每個自然數(shù)可以表為最多四個平方數(shù)的和。證明了費爾馬方程xn+yn=zn對于n=4無解，證明了佩爾(pell)方程解的存在性。

1793年法國資產(chǎn)階級革命政府頒布一項法令：將工切在敵國境內(nèi)出生的人驅(qū)逐出境并沒收其財產(chǎn)，但特別申明尊貴的拉格朗日先生除外。1796年法國吞沒了皮埃蒙特，塔萊朗奉明鄭重其事地去拜訪仍在都靈的拉格朗日父親，說：“你的兒子，由于他的天才，給人類帶來了榮譽，皮埃蒙特為產(chǎn)生了他感到驕傲，法國為他自豪?！崩窭嗜帐且蛔呗栐跀?shù)學(xué)世界的金字塔。（拿破侖）當(dāng)前第4頁\共有83頁\編于星期三\11點

只由觀察得到而未證明的知識應(yīng)當(dāng)跟真實的結(jié)論仔細(xì)分開。我們通常說，這種知識來自歸納法，但我們已經(jīng)看到，只靠歸納法會導(dǎo)向錯誤的結(jié)論，所以我們就不要把那些通過觀察或者只靠歸納法發(fā)現(xiàn)的數(shù)的性質(zhì)當(dāng)作真實的結(jié)論。實際上，我們應(yīng)該利用這種發(fā)觀的機(jī)會對己發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)作更周密的研究。要么證明它成立，要么推翻它，不管結(jié)果怎樣，我們都可學(xué)到一點有益的東西。

—————歐拉

當(dāng)前第5頁\共有83頁\編于星期三\11點

一個真想把數(shù)學(xué)作為終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證推理；這是他的專業(yè)也是他那門學(xué)科的特殊標(biāo)志。然而為了取得真正的成就他還必須學(xué)習(xí)合情推理；這是他的創(chuàng)造性工作賴以進(jìn)行的那種推理．要成為一個好的數(shù)學(xué)家，…,你必須首先是一個好的猜想家．沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．

————牛頓當(dāng)前第6頁\共有83頁\編于星期三\11點觀察所得的知識，通常用歸納所獲得的．然而我們已經(jīng)看到過單純的歸納曾導(dǎo)致過錯誤．因此，我們不要輕易地把觀察所發(fā)現(xiàn)的和僅以歸納為旁證的關(guān)于數(shù)的那樣一些性質(zhì)信以為真．誠然，我們應(yīng)該把這樣一種發(fā)現(xiàn)當(dāng)作一種機(jī)會，去更精確地研究所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，以便證明它或推翻它；在這兩種情況之中我們都會學(xué)到一些有用的東西．

————歐拉

（美）G.波利亞著；數(shù)學(xué)與猜想第1卷數(shù)學(xué)中的歸納和類比李心燦等譯；北京市：科學(xué)出版社，2001，P1當(dāng)前第7頁\共有83頁\編于星期三\11點二、數(shù)學(xué)家對歸納法的運用“復(fù)雜的多面體有許多面、角和棱”。F，V，E代表多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)，并提出一個明確的問題：“面數(shù)總是隨頂點數(shù)的增加而增加嗎？即F必定隨V增加嗎？”檢驗一些特殊的多面體：

對于立方體，有

F=6，V=8，E=12

對于三棱柱，有

F=5，V=6，E=9當(dāng)前第8頁\共有83頁\編于星期三\11點歐拉通過對棱錐、棱柱的面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)進(jìn)行歸納研究，發(fā)現(xiàn)多面體的歐拉公式。P21當(dāng)前第9頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第10頁\共有83頁\編于星期三\11點

正二十面體有20個全都是三角形的面，也就是F=20。20個三角形有3x20=60條邊，這里正二十面體的每一條棱都是兩個三角形的邊，所以棱數(shù)是且＝60／2＝30。類似地，可以求出V。正二十面體的每一個頂點周圍有它的5個面。20個三角形有320＝60個角，其中5個角有一個公共的頂點，故頂點數(shù)V＝12。當(dāng)前第11頁\共有83頁\編于星期三\11點多面體FVEn個側(cè)面的棱錐n+1n+12nn個側(cè)面的棱柱n+22n3n當(dāng)前第12頁\共有83頁\編于星期三\11點在數(shù)論中由于意外的幸運頗為經(jīng)常，所以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理．

——高斯當(dāng)前第13頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第14頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第15頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第16頁\共有83頁\編于星期三\11點孿生素數(shù)只有有限對？當(dāng)前第17頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第18頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第19頁\共有83頁\編于星期三\11點整數(shù)三角形的研究運用了歸納法。當(dāng)前第20頁\共有83頁\編于星期三\11點整數(shù)三角形的研究是借用不等式、方程，最后運用歸納法得到結(jié)論。當(dāng)前第21頁\共有83頁\編于星期三\11點整數(shù)三角形的研究是借用不等式、方程，最后運用歸納法得到結(jié)論。觀點當(dāng)前第22頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第23頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第24頁\共有83頁\編于星期三\11點巴策內(nèi)由歸納法得到的：

任何正整數(shù)，或是平方數(shù)，或是不超過四個平方數(shù)的和。需要多少個平方數(shù)才能展示出所有整數(shù)?當(dāng)前第25頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第26頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第27頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第28頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第29頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第30頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第31頁\共有83頁\編于星期三\11點，利用高精度的計算機(jī)計算歸納發(fā)現(xiàn)，直到前26位數(shù)，a與b都是

三、歸納法不可思義當(dāng)前第32頁\共有83頁\編于星期三\11點對此，有兩種不同的認(rèn)識：其一，直覺告訴我們a,b不等，前26位數(shù)相同真是一種不可思議的巧合；

其二，計算的直覺昭示a=b。

但如此不同的a,b相等難以置信。演繹推理與證明能告訴我們些什么？當(dāng)前第33頁\共有83頁\編于星期三\11點對于任意正數(shù)x,y有

對任意正數(shù)x,y都有A=B。在此等式中，取立即就有A=B。當(dāng)前第34頁\共有83頁\編于星期三\11點四、歸納法的分類1.完全歸納法2.不完全歸納法不完全歸納法在運用上可分為⑴枚舉歸納法⑵因果歸納法當(dāng)前第35頁\共有83頁\編于星期三\11點根據(jù)歸納推理的前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同,歸納推理可以分為1.完全歸納法2.不完全歸納法當(dāng)前第36頁\共有83頁\編于星期三\11點1.完全歸納法如果歸納推理前提的判斷范圍的總和等于結(jié)論判斷的范圍,則這種歸納推理叫做完全歸納法.M蘊涵M1,M2,…,Mn,M1,M2,…,Mn,都有性質(zhì)p;則M也有性質(zhì)p.當(dāng)前第37頁\共有83頁\編于星期三\11點設(shè)Mi是前提判斷(i=1,2,…n)的各個判斷范圍,M是結(jié)論判斷的范圍.若Mi(i=1,2,…n)具有性質(zhì)p,則由此推出M具有性質(zhì)p.即當(dāng)前第38頁\共有83頁\編于星期三\11點過去，一家長讓小孩買火柴，并一再囑咐：要買根根劃得著的。結(jié)果，小孩買回后，很興奮地告訴家長，這火柴特好，每根都能點得著。這真是讓家長啼笑皆非。完全歸納法用錯了?。。?！當(dāng)前第39頁\共有83頁\編于星期三\11點2.不完全歸納法如果歸納推理前提的判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍,則這種歸納推理叫做不完全歸納法.M蘊涵M1,M2,…,MnM,且M1∪M2∪…∪Mn…

MM1,M2,…,Mn…都有性質(zhì)p;則M也有性質(zhì)p.當(dāng)前第40頁\共有83頁\編于星期三\11點設(shè)Mi是前提判斷(i=1,2,…,n)的各個判斷范圍,M是結(jié)論判斷的范圍.若Mi(i=1,2,…,n)具有性質(zhì)p,則由此推出M具有性質(zhì)p.即不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理當(dāng)前第41頁\共有83頁\編于星期三\11點列寧在《哲學(xué)筆記》中指出：

“以最簡單的歸納方法所得到的最簡單的真理，問題總是不完全的，因為經(jīng)驗總是未完成的。”當(dāng)前第42頁\共有83頁\編于星期三\11點不完全歸納法在運用上可分為⑴枚舉歸納法⑵因果歸納法當(dāng)前第43頁\共有83頁\編于星期三\11點⑴枚舉歸納法枚舉歸納法是根據(jù)某類被研究對象中的部分對象具有(或不具有)某一屬性p,而推斷出該類全部對象具有(或不具有)某一屬性p的歸納方法.當(dāng)前第44頁\共有83頁\編于星期三\11點面積為1的圖形的周長周長為1的圖形的面積圖形周長圖形面積圓3.55圓0．0793正方形4正方形0．0625900的扇形4.03900的扇形0．0616矩形(3:2)4.08矩形(3:2)0．0601半圓4.10半圓0．0595等邊扇形4.21等邊扇形0．0564矩形（2：1）4.24矩形（2：1）0．556等邊三角形4.56等邊三角形0．0481矩形（3：1）4.64矩形（3：1）0．0464等腰直角三角形4.84等腰直角三角形0．0427歷史上的等周問題當(dāng)前第45頁\共有83頁\編于星期三\11點

17世紀(jì)，笛卡爾也對等周問題，通過對面積為1的一些圖形的周長和周長為1的一些圖形的面積的研究，并作比較得到了結(jié)論：

在所有等周的平面封閉圖形中，以圓的面積為最大；或在所有等面積的封閉圖形中，以圓的周長為最小。當(dāng)前第46頁\共有83頁\編于星期三\11點相傳在公元前180年左右，芝諾多羅斯寫過一本有關(guān)等周圖形的論著，惜已失傳，但慶幸的是有若干命題被公元4世紀(jì)亞歷山大里亞的學(xué)者帕波斯記載，才得以保存。其中有以下定理：（1）周長相等的邊形的面積最大；（2）周長相等的正多邊形中，邊數(shù)愈多的正多邊形面積愈大；（3）圓的面積比同樣周長的正多邊形的面積大；（4）表面積相等所有立體中，以球的面積為最大。

另外，帕波斯還增加了一個定理：在周長相等的所有弓形中，半圓的面積最大。這些等周問題的主題就是今天所謂極值問題。

邊形中，正當(dāng)前第47頁\共有83頁\編于星期三\11點

伯努利兄弟，歐拉，拉格朗日等相繼對等周問題進(jìn)行了研究。

1838年，雅各?史坦納以幾何方法證明：若答案存在，答案必是圓。但他的證明過程中出了一點小錯誤，正是這個錯誤，引發(fā)了后人的興趣，不斷地去研究、完善，從而推動了對等周問題的研究，讓其得到了很大的發(fā)展。當(dāng)前第48頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第49頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第50頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第51頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第52頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第53頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第54頁\共有83頁\編于星期三\11點

羅素肯定歸納法在發(fā)現(xiàn)新知識時的重要作用。他說:

“歸納法不像演繹法那樣確切可信，它只提供了或然性而沒有確切性;

但另一方面，它卻給我們以演繹法所不能給我們的新知識?！ぁぁぁぁ?/p>

一切重要的推論全都是歸納的而非演繹的。”當(dāng)前第55頁\共有83頁\編于星期三\11點邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家與工程師：

“看這個數(shù)學(xué)家”，邏輯學(xué)家說，“他發(fā)現(xiàn)最初99個數(shù)少于100，因此，依其所謂的歸納法推定，所有的整數(shù)均小于100”?！拔锢韺W(xué)相信”，數(shù)學(xué)家說，“他發(fā)現(xiàn)60可以用1，2，3，4，5及6除盡，他再試驗了若干個案例，如10，20，30也能整除60，故認(rèn)為其實驗證據(jù)已充分，60可以被所有的整數(shù)整除?！薄安诲e，但是你看工程師”，物理學(xué)家說，“工程師懷疑所有的奇數(shù)是否皆質(zhì)數(shù)，無論如何，他辯稱1總是質(zhì)數(shù)，無疑的3，5，7都是質(zhì)數(shù)，然而9是可怕的案例，看來并非質(zhì)數(shù)，雖然11及13不可否認(rèn)是質(zhì)數(shù)，再說9，這個數(shù)，他說，‘我斷定9一定是實驗上的錯誤。’當(dāng)前第56頁\共有83頁\編于星期三\11點亞里士多德也研究了歸納推理，但他僅僅粗略地研究了簡單枚舉法?！澳欠N根據(jù)簡單枚舉來進(jìn)行的歸納是非常幼稚的，其結(jié)論很不確定，極易為反例所動搖，其論斷往往只是根據(jù)了少量唾手可得的事例?！碑?dāng)前第57頁\共有83頁\編于星期三\11點⑵因果歸納法因果歸納法是依據(jù)某類對象的某一屬性p,因條件A在一系列變化中對p的出現(xiàn)和變化有關(guān)鍵性的影響,從而推斷A條件是該對象具有屬性p的原因所使用的推理方法.當(dāng)前第58頁\共有83頁\編于星期三\11點確定因果關(guān)系的歸納方法有五種:①求同法②求異法③求同求異法④共變法⑤剩余法當(dāng)前第59頁\共有83頁\編于星期三\11點達(dá)·芬奇對歸納法有自己獨到的一些見解，并將歸納方法運用于實際的研究。

“所有的推理，所有的證明，以及所有非自明真理的發(fā)現(xiàn)都包含有歸納及歸納的解釋，我們所有非直覺的知識無一例外都是通過歸納得來的?！碑?dāng)前第60頁\共有83頁\編于星期三\11點①求同法依據(jù)某類對象的某一屬性中,在幾種不同的情形下都出現(xiàn),而在各種條件中,只有一個條件A是共同的,從而推斷條件A是被研究對象具有屬性p的原因.當(dāng)前第61頁\共有83頁\編于星期三\11點情形條件對象具有的屬性ⅠA、B、CPⅡA、D、EPⅢ…A、F、G………P…結(jié)論:A可能是屬性p產(chǎn)生的原因當(dāng)前第62頁\共有83頁\編于星期三\11點案例:abc2－432－2－1/2221/2結(jié)論:a決定拋物線的形狀.xy當(dāng)前第63頁\共有83頁\編于星期三\11點案例:

伽利略在教堂里發(fā)現(xiàn):擺長相等、振幅不相等時,擺動一個周期的時間不變.于是,猜測:

擺長是周期的決定因素.當(dāng)前第64頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第65頁\共有83頁\編于星期三\11點

案例：

某人在一個晚上看了兩小時的書，又喝了幾杯茶，結(jié)果整夜失眠．第二天晚上．他又讀了兩小時的書，吸了許多煙，結(jié)果又整夜失眠．第三天晚上．他又讀了兩小時的書，喝了大量咖啡，結(jié)果又整夜失眠．三個晚上只有一個共同情況：讀了兩小時書，應(yīng)用歸納法得出：

讀兩小時書是整夜失眠的原因．當(dāng)前第66頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第67頁\共有83頁\編于星期三\11點②求異法依據(jù)某類對象的某一屬性p,只在其中一種情形出現(xiàn),而在其它情形不出現(xiàn).在這二種情形中,除了其中一種情形中有A條件外,其它的條件都相同,從而推斷A條件是被研究對象具有屬性p的原因或部分原因.當(dāng)前第68頁\共有83頁\編于星期三\11點情形ⅠⅡ各種條件A,B,CB,C被研究的現(xiàn)象A－結(jié)論:

A是a產(chǎn)生的原因或部分原因.當(dāng)前第69頁\共有83頁\編于星期三\11點案例:

兩個邊長相等的正方形,其中一個正方形的頂點重合于另一個正方形的中心,并繞O點旋轉(zhuǎn),無論旋到任何位置,兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值.

正方形改為四邊形,重疊部分的面積不是定值.

可見,正方形是重疊部分面積不變的原因.當(dāng)前第70頁\共有83頁\編于星期三\11點③求同求異法依據(jù)某類對象的某一屬性p,在一系列情形中,凡是有A條件的都有屬性p,凡是沒有A條件的都沒有屬性p,從而推斷條件A是被研究對象具有屬性p的原因.當(dāng)前第71頁\共有83頁\編于星期三\11點當(dāng)前第72頁\共有83頁\編于星期三\11點情形條件對象具有的屬性ⅠA,B,CPⅡA,D,EpⅢA,F,GpⅣ－,H,I－Ⅴ－,J,K－結(jié)論:A是屬性p產(chǎn)生的原因.當(dāng)前第73頁\共有83頁\編于星期三\11點案例:

兩個邊長相等的正方形,其中一個正方形的頂點重合于另一個正方形的中心,并繞O點旋轉(zhuǎn),無論旋到任何位置,兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值.

兩個邊長相等的正六邊形也具有同樣的性質(zhì).猜測:

產(chǎn)生這個現(xiàn)象的原因只在于兩個多邊形全等而且是正多邊形,它與邊數(shù)的多少無關(guān).當(dāng)前第74頁\共有83頁\編于星期三\11點abc2－432－2－1/2221/2021結(jié)論:a決定圖像的形狀.xy當(dāng)前第75頁\共有83頁\編于星期三\11點④共變法情形條件對象具有的屬性ⅠA1,B,Cp1ⅡA2,B,Cp2ⅢA3,B,Cp3結(jié)論:A是屬性p產(chǎn)生的原因.當(dāng)前第76頁\共有83頁\編于星期三\11點abcy=ax2+bx+c形狀2－431－434－43結(jié)論:

條件a決定圖形形狀的主要原因.xy當(dāng)前第77頁\共有83頁\編于星期三\11點案例:

求等差數(shù)列{an}的通項公式觀察:a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=