文檔來源網(wǎng)絡侵權刪除5.1函數(shù)的概念和圖象【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識點詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應關系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2、構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域①構成函數(shù)的三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）；②兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關．知識點二：函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件．②當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義．③當函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關鍵是注意對應法則．在同一對應法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區(qū)間來表示．知識點三：函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結合法等．總之，求函數(shù)的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：抽象函數(shù)求定義域題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍題型五：同一函數(shù)的判斷題型六：給出自變量求函數(shù)值題型七：求函數(shù)的值域題型八：函數(shù)的圖象【典型例題】題型一：函數(shù)的概念例1．（2022·安徽淮南·高一階段練習）下列四個式子中，是的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例2．（2022·四川·成都外國語學校高一期中）若函數(shù)的定義域為，值域為，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．例3．（2022·四川省德陽市第三中學高一階段練習）設集合，那么下面的4個圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)圖象的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式1．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高一階段練習）給定的下列四個式子中，能確定是的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）下列對應中：（1），其中，；（2），其中，，；（3），其中y為不大于x的最大整數(shù)，，；（4），其中，，.其中，是函數(shù)的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）變式3．（多選題）（2022·江蘇·高一期中）存在函數(shù)f(x)滿足：對任意的實數(shù)x都有（

）A． B．C． D．變式4．（2022·全國·高一課時練習）直線x＝a與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是______．【方法技巧與總結】函數(shù)的定義（特別是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解決某些問題的關鍵．題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域例4．（2022·四川·重慶第二外國語學校高一期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．例5．（2022·福建省福州教育學院附屬中學高一階段練習）函數(shù)的定義域為（

）A． B．或C． D．或例6．（2022·江蘇淮安·高一期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．變式5．（2022·江蘇·礦大附中高一階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式6．（2022·河南·高一階段練習）已知函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．變式7．（2022·全國·高一課時練習）等腰三角形的周長為20cm，底邊長ycm是腰長xcm的函數(shù)，則此函數(shù)的定義域為（

）A．(0，10) B．(0，5)C．(5，10) D．[5，10)【方法技巧與總結】小結幾類函數(shù)的定義域：（1）如果是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；（2）如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；（3）如果是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合；（4）如果是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；（即求各集合的交集）（5）滿足實際問題有意義．當函數(shù)解析式是由多個式子構成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解．題型三：抽象函數(shù)求定義域例7．（2022·四川·成都市金牛區(qū)實外高級中學有限公司高一期中）若已知函數(shù)的定義域為，則可求得函數(shù)的定義域為；問實數(shù)m的值為______．例8．（2022·安徽·蕪湖一中高一階段練習）已知的定義域是，則函數(shù)的定義域是___________.例9．（2022·安徽·定遠縣育才學校高一階段練習）已知的定義域為，則的定義域為__________.變式8．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域是________．變式9．（2022·江蘇·海安高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為______.【方法技巧與總結】求抽象函數(shù)的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運用整體思想，也就是在同一對應關系下括號內(nèi)的范圍是一樣的．題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍例10．（2022·浙江·玉環(huán)中學高一階段練習）已知函數(shù)分別由下表給出：下列能滿足的的值是（

）A． B． C． D．例11．（2022·重慶八中高三開學考試）已知，若，則_____.例12．（2022·四川省南充高級中學高一期中）若（其中a，b，c為常數(shù)），若，則______.【方法技巧與總結】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想．題型五：同一函數(shù)的判斷例13．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；②與③與；④與A．①② B．②④ C．①③ D．③④例14．（2022·山西·太原市小店區(qū)第一中學校高一階段練習）下列四個函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例15．（2022·重慶八中高一階段練習）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，變式10．（2022·天津南開·高一期末）在下列函數(shù)中，函數(shù)表示同一函數(shù)的（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應法則，其中核心是對應法則，它是函數(shù)關系的本質(zhì)特征．只有當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；（2）對應法則不同，兩個函數(shù)也是不同的．（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應法則．題型六：給出自變量求函數(shù)值例16．（2022·吉林油田高級中學高一開學考試）已知函數(shù)對任意x，，總有，若，則（

）A．－3 B．－2 C．－1 D．0例17．（2022·全國·高一課時練習）已知，．（1）計算：____________；（2）計算：____________．例18．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，，則______，______．變式11．（2022·上?！じ咭唬┖瘮?shù)對任意實數(shù)、，均滿足，且，則__________變式12．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．變式13．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習）設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，則的值為__________.變式14．（2022·江蘇·常州市第一中學高一期中）設，，則_______．變式15．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高一期中）已知函數(shù)，，則______；變式16．（2022·江蘇·金湖中學高一期中）若函數(shù)，則___________.【方法技巧與總結】求函數(shù)值時，遇到復合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f（g（x）），里層函數(shù)就是g（x），外層函數(shù)就是f（x），其對應關系可以理解為，類似的g（f（x））為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結果．題型七：求函數(shù)的值域例19．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8例20．（2022·廣東·興寧市葉塘中學高一階段練習）函數(shù)的值域為_______．例21．（2022·四川·成都市金牛區(qū)實外高級中學有限公司高一期中）的值域是__________.變式17．（2022·云南師大附中高一期中）函數(shù)的值域為___________.變式18．（2022·浙江·玉環(huán)市玉城中學高一階段練習）函數(shù)的值域為________變式19．（2022·湖北·襄陽五中高一階段練習）函數(shù)的值域是___________.變式20．（2022·全國·高一單元測試）求函數(shù)的值域______．變式21．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的值域為__________．變式22．（2022·全國·高一）已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，值域為[－2，2]，則函數(shù)y＝f(x＋1)的值域是________.變式23．（2022·江蘇·高一期中）函數(shù)的定義域為，值域為[2,5]，則的值域為___________．變式24．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域為R，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)值域為，求a的取值范圍.變式25．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的值域變式26．（2022·全國·高一課時練習）求函數(shù)的值域．變式27．（2022·安徽·合肥市第六中學高一階段練習）已知，且，則的取值范圍是___________.變式28．（2022·浙江省杭州學軍中學高一期中）設非零實數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則_________.變式29．（2022·全國·高一課時練習）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)(3)；(4)．變式30．（2022·全國·高一專題練習）求的最小值.變式31．（2022·全國·高三專題練習）求函數(shù)的值域.變式32．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知函數(shù)的值域為[1，3]，求的值變式33．（2022·全國·高一課時練習）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)．(4)．【方法技巧與總結】求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．題型八：函數(shù)的圖象例22．（2022·全國·高一專題練習）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發(fā)后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（

）A． B．C． D．例23．（2022·重慶市實驗中學高一階段練習）給定函數(shù)，(1)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像；(2)用表示中的較大者，記為.請分別用圖像法和解析式法表示函數(shù)，(3)根據(jù)函數(shù)圖像寫出函數(shù)的值域例24．（2022·湖南·高一課時練習）畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題.(1)比較，，的大小；(2)若，比較與的大?。?3)求函數(shù)的值域.變式34．（2022·江蘇·高一課時練習）作出函數(shù)f(x)＝(x－1)2－1的圖象，并分別畫出以下函數(shù)的圖象，（1）y＝f(x－1);（2）y＝f(x)＋1;（3）y＝－f(x);（4）y＝|f(x)|.變式35．（2022·全國·高一課時練習）作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)．【方法技巧與總結】先把要畫的函數(shù)圖象進行變形，依據(jù)所學習過的基本函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象．【同步練習】一、單選題1．（2022·遼寧·沈陽市遼中區(qū)第二高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學高一階段練習）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．3．（2022·廣東·卓雅外國語學校高一階段練習）設函數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東·卓雅外國語學校高一階段練習）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B．C． D．5．（2022·安徽淮南·高一階段練習）設集合，其中，下列說法正確的是（

）A．對任意a，是的子集 B．對任意a，是的子集C．存在a，使得是的子集 D．存在a，使得不是的真子集6．（2022·浙江·高一階段練習）函數(shù)與的圖像如下圖，則函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．7．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高一階段練習）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．和8．（2022·福建省龍巖第一中學高一階段練習）已知函數(shù)．若，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．二、多選題9．（2022·四川·瀘縣五中高一階段練習）對于函數(shù)，若，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．有且只有一個10．（2022·江蘇淮安·高一期中）下列對應中是函數(shù)的是（

）.A．，其中，，B．，其中，，C．，其中y為不大于x的最大整數(shù)，，D．，其中，，11．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高一階段練習）若函數(shù)定義域為，且，，則下列結