三角形知識大歸納(n-2)×180°三角形與三角形有關(guān)的線段a-b＜c＜a+b（a-b＞0）高三角形的邊三角形的判定定理中線角平分線的定義位置、交點(diǎn)三角形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和三角形的外角和多邊形外角和為360°鑲嵌的原理本章知識結(jié)構(gòu)三角形的角一、三角形的分類(1)按角分銳角三角形三角形鈍角三角形直角三角形斜三角形(2)按邊分腰和底不等的等腰三角形三角形等腰三角形等邊三角形三邊都不相等的三角形二、復(fù)習(xí)與三角形有關(guān)的線段：三角形的邊1.三角形的三邊關(guān)系:(1)三角形兩邊的和大于第三邊2.判斷三條已知線段a、b、c能否組成三角形.當(dāng)a最長,且有b+c>a時,就可構(gòu)成三角形.3.確定三角形第三邊的取值范圍:兩邊之差<第三邊<兩邊之和.(2)三角形兩邊的差小于第三邊與三角形有關(guān)的線段1．下列長度的各組線段中，能組成三角形的是（）

A.1，1，2 B.3，7，11 C.6，8，9 D.3，3，6C2．若一個三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊長可能是（）

A．6B．3C．2D．11A3.等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和8cm，則它的周長是__________．19cm易錯提示：別忘了用三邊關(guān)系檢驗(yàn)?zāi)芊窠M成三角形這一重要解題環(huán)節(jié).分類討論思想三角形的主要線段從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，_______________

的線段叫做三角形的高1、三角形的高的定義：頂點(diǎn)和垂足之間2、三角形角平分線的定義：3、三角形的中線的定義連結(jié)三角形一個

的線段叫做三角形的中線。頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)三角形一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的

之間的線段叫做三角形的角平分線。4.三角形的三條高(或高所在直線)交于一點(diǎn).銳角三角形三條高線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

直角三角形三條高線交于直角頂點(diǎn)；

鈍角三角形三條高線所在直線交于三角形外部一點(diǎn).5.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).6.三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).ACBDFEADBCEDFCBA與三角形有關(guān)的線段1．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A．B．C．D．B過點(diǎn)A垂直于BC2、在△ABC中，∠C=90°，D、E為AC上的兩點(diǎn)，且AE=DE，BD平分∠EBC，則下列說法不正確的是()A.BC是△ABE的高B.BE是△ABD的中線C.BD是△EBC的角平分線D.∠ABE=∠EBD=∠DBC講練結(jié)合與三角形有關(guān)的線段講練結(jié)合與三角形有關(guān)的線段

如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，E、F分別是線段AD、CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積為24，求△BEF的面積．歸納：三角形的中線分該三角形為面積相等的兩部分.解：∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ADC，∴S△BDE+S△CDE=S△ABC=×24=12，∴S△BCE=12∵點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴S△BEF=S△BCE=×12=6．三、三角形的穩(wěn)定性三角形木架的形狀不會改變,而四邊形木架的形狀會改變.這就是說,三角形具有穩(wěn)定性,而四邊形沒有穩(wěn)定性。王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖，要使這個木架不變形，他至少還要再釘上木條的根數(shù)為()A.0根B.1根C.2根D.3根B1.三角形內(nèi)角和定理①三角形內(nèi)角和等于180°②直角三角形的兩個銳角互余。ABCACB四、復(fù)習(xí)三角形的角：③直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形為直角三角形。2.三角形外角和定理三角形的外角和等于36003.三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.ABCABC

如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù)．解：設(shè)∠1=∠2=x，則∠4=∠3=2x．因?yàn)椤螧AC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.歸納：若題中沒有給出任意角的度數(shù)，僅給出數(shù)量關(guān)系，常用方程思想設(shè)未知數(shù)列方程求解.練習(xí)：已知△ABC的∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)O。

求證：∠BOC=90°+∠A解:∵BO、CO是∠B、∠C的平分線∴∠1=∠2∠3=∠4

在△BOC中∠BOC+∠2+∠3=180°∴∠2+∠3=180°-∠BOC

在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A+2(∠2+∠3)=180°∴∠A+2(180°-∠BOC

)=180°

∠BOC=90°+∠A23140ABC21變式：△ABC中，∠ABC的平分線BD和△ABC的外角平分線CD交于D，

求證：∠A=2∠DDABCE1234解:∵BD、CD是角平分線∴∠1=∠2∠3=∠4

在△BDC中∠4=∠2+∠D∴∠3=∠2+∠D

在△ABC中∠ACE=∠A+∠ABC∴2∠3=∠A+2∠2∴2(∠2+∠D

)=∠A+2∠2∴∠A=2∠D變式：已知：BP、CP是△ABC的外角的平分線，交于點(diǎn)P。

求證：∠P=90°—∠APABC3412解:∵BP、CP是外角平分線∴∠1=∠2∠3=∠4∵∠EBC是△ABC的外角

△PBC中∠P+∠1+∠3=180°∴∠EBC=∠A+∠ACB

∴∠1+∠3=180°

—∠P=∠A+(180°-∠3-∠4)

∴∠A+180°=2(180°

—∠P)∴∠EBC=∠1+∠22∠1=∠A+(180°

—2∠3)

∴∠P=90°

—∠A2∠1+2∠3=∠A+180°

EF解三角形有關(guān)角的“兩種思想”1.轉(zhuǎn)化思想：解決與三角形內(nèi)角和有關(guān)的證明或計(jì)算時，應(yīng)注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將已知條件轉(zhuǎn)化到三角形的內(nèi)部或轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角與其不相鄰?fù)饨堑年P(guān)系.2.方程思想：三角形內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，本身就是一種等量關(guān)系，因此在求三角形有關(guān)角的度數(shù)時要注意方程思想的運(yùn)用.【提煉方法】

n-3n-23×18004×1800(n-2)18003600360036003600五、n邊形內(nèi)角和、外角和、對角線1．正多邊形的一個內(nèi)角是150°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．10B．11C．12D．13C2.一個正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個正多邊形的每一個外角等于（）

A．108°B．90°C．72°D．60°C二十二

3600209練習(xí)：已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，依題意，得（n-2）×180°=3×360°-180°，解得n=7．∴這個多邊形的邊數(shù)是7．

如圖，△AOC與△BOD是有一組對頂角的三角形，其形狀像數(shù)字“8”，我們不難發(fā)現(xiàn)有一重要結(jié)論：∠A+∠C=∠B+∠D.這一圖形也是常見的基本圖形模型，我們稱它為“8字型”圖.ABCDO化歸思想

如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù).ABCFGDE解析：所求問題不是常見的求多邊形的內(nèi)角和問題，我們發(fā)現(xiàn)，只要連接CD便轉(zhuǎn)化為求五邊形的內(nèi)角和問題.解：連接CD，由“8字型”模型圖可知∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2）×180°=540°.三角形外角性質(zhì)與多邊形內(nèi)角和綜合應(yīng)用如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度數(shù)。分析數(shù)據(jù)正n邊形拼圖每個內(nèi)角的度數(shù)與360°的關(guān)系結(jié)論n=3n=4n=5n=6能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌能鑲嵌6×60°=360°4×90°=360°

4×108°＞360°

3×120°=360°

3×108°＜360°能鑲嵌商店出售下列形狀的地磚：①正方形；②長方形；③正五邊形；④正六邊形。若只選擇其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選擇的地磚共有（）A.1種B.2種C.3種D.4種