第1頁/共1頁2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)押題卷(一)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.本試卷共22題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解絕對(duì)值的不等式，再由交集運(yùn)算得答案．【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D2.已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可設(shè)，代入原式，然后計(jì)算即可得結(jié)果【詳解】設(shè)，，故，解得，故選：C3.蹴鞠（如圖所示），2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，且球心在上，，，，則該鞠（球）的表面積為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)P作，在中，根據(jù)，，求得，在中，根據(jù)，求得，再根據(jù)球心在上，得到PC為球O的直徑，再由求得半徑即可.【詳解】如圖所示：在中，因?yàn)?，，所以，即，在中，，所以，即是等腰三角形，過點(diǎn)P作，則BD=AD=,因?yàn)?，所以，，又球心在上，故PC為球O的直徑，所以，，即，解得，所以該球的表面積是.故選：C．4.若向量滿足，，，則與的夾角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，求得，由即可求夾角.【詳解】由題可知，，∴，∴向量與的夾角為.故選：C5.為躲過了新冠，躲過了甲流，沒躲過呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才過去不久，呼吸道感染的老人又多起來.“最近，呼吸道合胞病毒感染處于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大兒院占據(jù)首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一種什么病毒？RSV為副黏病毒科肺炎病毒屬的單股負(fù)鏈RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常見病原，RSV通常于上呼吸道中開始感染，引發(fā)的癥狀易與普通感冒相混淆，出現(xiàn)呼吸系統(tǒng)后遺癥.5月3日，葛蘭素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群體預(yù)防RSV感染導(dǎo)致的下呼吸道疾?。≧SV-LRTD）.該產(chǎn)品也是全球首款獲批上市的RSV疫苗.為研究的臨床試驗(yàn)，旨在評(píng)估單劑量和接種Arexvy對(duì)比安慰劑對(duì)RSV-LRTD的預(yù)防效果.該實(shí)驗(yàn)有3接種組，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3接種組安排接種工作，每個(gè)接種組至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.2940種 B.3000種 C.3600種 D.5880種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意派往3個(gè)醫(yī)院的人數(shù)分配有2種情況：2、2、4，3、3、2．以此可解決此題．【詳解】根據(jù)題意派往3個(gè)醫(yī)院的人數(shù)分配有2種情況：2、2、4；3、3、2.不同的安排方法共有（種）．故選：A．6.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)重要不等式去求解的最大值【詳解】∵，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故選：A.7.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與的左支交于、兩點(diǎn)，且，，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義，可得，，在直角三角形中利用勾股定理可得，再在直角三角形中使用勾股定理可得，再結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，得，；根據(jù)雙曲線的定義，,所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的漸近線方程為.故選:C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在解答過程中使用雙曲線的定義得到，，在直角三角形中利用勾股定理可得，是解決本題的關(guān)鍵和突破點(diǎn).8.定義：設(shè)不等式F(x)<0的解集為M，若M中只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解.若關(guān)于x的不等式有最優(yōu)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C.∪ D.∪【答案】D【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖象求得的取值范圍.【詳解】可轉(zhuǎn)化為，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的圖象，如圖所示.易知m＝0時(shí)不滿足題意.當(dāng)m>0時(shí)，要存在唯一的整數(shù)x0，滿足f(x0)<g(x0)，則，即，解得.當(dāng)m<0時(shí)，要存在唯一的整數(shù)x0，滿足f(x0)<g(x0)，則，即，解得.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分9.數(shù)列的前項(xiàng)為，已知，下列說法中正確的是（）A.為等差數(shù)列 B.可能為等比數(shù)列C.為等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.可能既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】利用來對(duì)進(jìn)行判斷，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，當(dāng)，交替成立時(shí)，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.故選：BD10.已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量（單位：g）X～N（500，16）．，，，則下面結(jié)論正確的是（）A.B.C.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間（492，504]的約8186袋D.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于488g的不多于14袋【答案】AC【解析】【分析】按照概率的意義，正態(tài)分布的對(duì)稱性以及參考數(shù)據(jù)依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)題意，，∴，故A正確．又，故B錯(cuò)誤．由于，所以隨機(jī)抽取袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約袋，故C正確．根據(jù)概率的意義，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、B選項(xiàng)畫出和的圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行比較，C選項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)作減法，借助對(duì)數(shù)運(yùn)算及基本不等式進(jìn)行比較.【詳解】作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，故A，B正確.令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤.，所以，故D正確.故選：ABD.（2022?大連模擬）12.已知拋物線，C的準(zhǔn)線與x軸交于K，過焦點(diǎn)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，連接AK、BK，設(shè)的中點(diǎn)為P，過P作的垂線交x軸于Q，下列結(jié)論正確的是()A. B.C.的面積最小值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設(shè)，，.可根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷A；過A作AD⊥x軸，垂足為D，表示出，即可判斷B；，數(shù)形結(jié)合即可判斷C；求出PQ方程，令y＝0求出Q的橫坐標(biāo)，求出即可判斷它們的關(guān)系，由此判斷D.【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設(shè)，，，①若，則，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，x軸為∠AKB的角平分線，設(shè)直線，代入拋物線方程得，所以，所以，所以x軸一定是∠AKB的平分線，故A正確；②過A作AD⊥x軸，垂足為D，則tan，，，故B正確；③，當(dāng)，即AB⊥x軸時(shí)，取等號(hào)，故的面積最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，∴PQ方程為：，令y＝0得，，∴，∴，∴，故D正確.故選：ABD.三、填空題：每小題5分，共20分13.已知曲線在處切線的斜率為，則______．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由已知條件可得，解得.故答案為：.14.斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第______項(xiàng)．【答案】【解析】【分析】利用遞推關(guān)系，將所求關(guān)系式中的“”換為，再利用即可求得答案．詳解】由可得.故答案為：.15.在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且．若該三棱柱的外接球半徑是，則三棱錐體積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，由題意可知三棱柱的外接球的直徑為，則，即，從而．三棱錐的體積為．設(shè)，則．由，得；由，得．故．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式，利用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.16.已知函數(shù)，若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】令，轉(zhuǎn)化為與有個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象求得的取值范圍.【詳解】令，轉(zhuǎn)化為與有個(gè)交點(diǎn)，畫出與的草圖，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，與不可能有4個(gè)交點(diǎn)，故由圖可知，且與在區(qū)間上各有一個(gè)交點(diǎn)，故在區(qū)間上，與有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，，設(shè)是曲線上一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線的斜率為，切線方程為，代入得，化簡(jiǎn)得，此時(shí)切線的斜率為，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，若數(shù)列前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），;（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由列出方程求出公差公比即可得出，的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【小問1詳解】由①，可得（）②，由①②得（）又也符合上式，所以，由得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則有，令，有，令，有解得，或者取，有，檢驗(yàn)得（舍去）所以，；【小問2詳解】由得，所以則兩式相減得，18.已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).（1）證明：（2）若，，求的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理求得，，再根據(jù)，化簡(jiǎn)，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，，再根據(jù)結(jié)合（1）求得，設(shè)，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】證明：設(shè)，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；【小問2詳解】解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，設(shè)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，因此的最大值為.19.“紅五月”將至，學(xué)校文學(xué)社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽分為個(gè)人晉級(jí)賽和決賽兩個(gè)階段.個(gè)人晉級(jí)賽的試題有道“是非判斷”題和道“信息連線”題，其中道“信息連線”題是由電腦隨機(jī)給出錯(cuò)亂排列的四句古詩詞和四條相關(guān)的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對(duì)，每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì).比賽規(guī)則為：電腦隨機(jī)同時(shí)給出道“是非判斷”和道“信息連線”題，要求參賽者全都作答，若有四道或四道以上答對(duì)，則該選手晉級(jí)成功.（1）設(shè)甲同學(xué)參加個(gè)人晉級(jí)賽，他對(duì)電腦給出的道“是非判斷”題和道“信息連線”題都有且只有一道題能夠答對(duì)，其余的題只能隨機(jī)作答，求甲同學(xué)晉級(jí)成功的概率；（2）已知該校高三（1）班共有位同學(xué)，每位同學(xué)都參加個(gè)人晉級(jí)賽，且彼此相互獨(dú)立.若將（1）中甲同學(xué)晉級(jí)的概率當(dāng)作該班級(jí)每位同學(xué)晉級(jí)的概率，設(shè)該班晉級(jí)的學(xué)生人數(shù)為.①問該班級(jí)成功晉級(jí)的學(xué)生人數(shù)最有可能是多少？說明理由；②求隨機(jī)變量的方差.【答案】（1）（2）①或，理由見解析；②【解析】【分析】（1）分甲同學(xué)答對(duì)四道、五道、六道題，分析出是非判斷題和信息連線題答對(duì)的題的數(shù)量，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）①分析可知，設(shè)最大，可得出，解出的取值范圍，即可得解；②利用二項(xiàng)分布方差公式可求得的值.【小問1詳解】解：記事件甲同學(xué)晉級(jí)成功，則事件包含以下幾種情況：①事件“共答對(duì)四道”，即答對(duì)余下的是非判斷題，答錯(cuò)兩道信息連線題，則.②事件“共答對(duì)五道”，即答錯(cuò)余下的是非判斷題，答對(duì)余下的三道信息連線題，則.③事件“共答對(duì)六道”，即答對(duì)余下的四道問題，，所以.【小問2詳解】解：①由題意可知，設(shè)最大，則，即，可得，解得，即最有可能取的值為或；②由二項(xiàng)分布的方差公式可得.20.如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MC上，（1）證明：平面ABC；（2）若，直線AP與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值的大小【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接BO，由給定條件證明，再由線面垂直的判斷推理作答.（2）在平面ABC內(nèi)過O作，再以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算作答.【小問1詳解】連接BO，如圖，由，，得，而，，在中，由余弦定理得：，則有，有，即，因此，，又，于是得，，即，又有，平面ABC，所以平面ABC.【小問2詳解】由（1）可得，平面平面ABC，AP在平面ABC內(nèi)射影為AC，即為直線AP與平面ABC所成的角，，因，則點(diǎn)P為線段MC的中點(diǎn)，在中，過O作交BC于D，則OD，OC，OM兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線OD，OC，OM分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨令，則，，，，，，，設(shè)平面PAB的法向量，則，令，得，又平面ABC的法向量，則，而二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，動(dòng)直線過與相交于，兩點(diǎn)．（1）當(dāng)軸時(shí)，求的內(nèi)切圓的方程；（2）求內(nèi)切圓半徑的