PAGE 2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細閱讀了《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程》和《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：C 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜荷轿鹘ㄖ殬I(yè)技術(shù)學(xué)院參賽隊員(打印并簽名)：1.王晉鵬2.李帥3.徐進指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人(打印并簽名)：原二保 （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）日期：2013年9月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）:PAGE11C題古塔的變形摘要文物保護是一件非常重要的事情，如何根據(jù)對古塔的測量數(shù)據(jù)了解其傾斜、彎曲、扭曲等情況并能夠確定變形趨勢是本文要解決的問題。針對問題一，本文將各層八個觀測點看作同一平面上一個八邊形的角點，利用公式傾斜、彎曲、扭曲等變形情況，結(jié)合測量專業(yè)知識，利用公式傾斜角度以及四年古塔整體傾斜的合位移與傾斜角度：0.3779利用公式計算反映各段的彎曲，利用；及最終確定出各年古塔整體扭曲情況：1986年1996年2009年2011年扭曲方向（度）-34.3-31.66-36.52-34.34扭曲位移（m）0.37520.31590.30350.2713數(shù)據(jù)分析表明四年中底部1-3層及頂部11-13層扭曲現(xiàn)象嚴重，而中段4-10扭曲較平緩。應(yīng)加強對底部及頂部的觀測與維護。彎曲方面，四年相對變化不大，主要體現(xiàn)在各年不同層次的彎曲有一些變異，整體傾斜度不大且減小趨勢。關(guān)鍵詞：重心（中心），傾斜、彎曲、扭曲C++MATLABEXCEL

一問題重述由于長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響，古塔會產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進行了4次觀測。請根據(jù)附件1提供的4次觀測數(shù)據(jù)，討論以下問題：1.給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標。2.分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。3.分析該塔的變形趨勢。二模型假設(shè)1.古塔變形測量的監(jiān)測點選取符合變形觀測的原則，測量數(shù)據(jù)有效。2．樓層平面質(zhì)地均勻。3.在古塔各層選定的8（或7個）個監(jiān)測點在同一平面內(nèi)。三符號約定1．：第個觀測點的坐標。2.△x：各層中心相對于下一層中心在x軸方向的位移量。2.△y：各層中心相對于下一層中心在y軸方向的位移量。3．d：各層中心相對于底層中心的合位移。4．：各層中心相對于底層中心的扭曲方向。5．：各層中心扭曲方向的平均值，反映建筑物主體的扭曲方向。6．h：各層中心相對于第一層中心的高度值。四模型分析建立與求解問題一：確定古塔各層中心分析:附件給出了測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對古塔進行4次觀測結(jié)果，即古塔十三層及塔尖各監(jiān)測測點的坐標值。在建筑物的變形測量中每次都選取固定監(jiān)測點觀測。按附件提供的測測點的坐標值作圖（圖一），顯現(xiàn)出正八邊形形狀，所以可以假設(shè)古塔為八角形，各層所設(shè)8個（7個）監(jiān)測點為各層八角形的塔角。各層所設(shè)8個（7個）監(jiān)測點坐標值的z坐標值雖有所不同，但差值最大僅為0.194m，可以忽略高度變化，故各層中心計算時假設(shè)8個（7個）塔角查閱測量相關(guān)資料知道：對于外輪廓為正八邊形的塔形垂直的建筑物，需對8條棱進行觀測，每層觀測8個角點（在同一平面內(nèi)），從8個角點構(gòu)成八邊形得到的幾何中心就是該層中心。在附件給出的4次觀測數(shù)據(jù)中，還發(fā)現(xiàn)1986年和1996年數(shù)據(jù)中十三層卻監(jiān)測點5。根據(jù)古塔已上千年歷史，可推斷古塔1986年和1996年進行測量時，13層塔角5處于損毀狀態(tài)，到2009年第三次測量前已經(jīng)修復(fù)。圖113層塔角5在兩次測量無數(shù)據(jù)，故對1986年和1996年13層數(shù)據(jù)計算得到中心坐標誤差較大，這對后面計算會產(chǎn)生影響。圖1模型建立：在高等數(shù)學(xué)中已知物理學(xué)中求平面薄片重心的公式為：，當薄片質(zhì)量分布均勻，即密度為一常數(shù)時，分式上下可約分，此時分母轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積，公式簡化為：，此時平面薄片的重心完全由平面圖形形狀決定，即為平面圖形的中心。利用這組公式進行計算，計算難度決定于圖形形狀，但即使是正八邊形，要確定邊界表達式困難也很大，使得積分計算難度增加。工程計算中，對于非圓形建（構(gòu)）筑物的幾何中心，通常為通過測定其外廓的對稱于幾何中心的棱角點的坐標并取其平均值的辦法來求得其幾何中心的坐標，即使用公式，本公式使用簡單，一般能滿足計算需要，但文獻表明，由于是測量數(shù)據(jù)，本身存在誤差，而減小誤差也是操作中需要注意的，故選取公式[1]進行求解。模型計算：利用上述公式計算各層古塔中心，通過編制C++程序?qū)崿F(xiàn)。（附件一），計算結(jié)果為表1表1各年中心坐標層數(shù)1986年中心坐標1996年中心坐標xyzxyz1566.6649522.70921.7874566.6651522.70891.78302566.7218522.61087.3203566.7227522.66987.31463566.7775522.633212.7553566.7453522.679412.75084566.8092522.614114.7896566.8234522.601214.78585566.8684522.571321.7205566.8711522.568521.71606566.9168522.539926.2351566.9202522.536526.22957566.9511522.523129.8369566.9552522.518129.83238566.9845522.506633.3509566.9686522.502333.34549567.0182522.490036.8549567.0229522.485036.848310567.0491522.475940.1721567.0542522.470640.167611567.1021522.435644.4409567.1078522.429844.435412567.1550522.395448.7119567.1391522.399148.707413567.1496522.543752.8343567.1558522.537552.8300塔尖567.2473522.243855.1233567.2544522.236755.1198各年中心坐標層數(shù)2009年中心坐標2011年中心坐標xyzxyz1566.7378522.69791.7645566.7413522.70041.76332566.7760522.67127.3090566.7762522.67107.29053566.8094522.643712.7323566.8098522.644112.72694566.8368522.620814.7734566.8561522.653614.76225566.8655522.597021.7094566.8706522.601921.70396566.9540522.547526.2110566.9547522.546726.20457566.9871522.525429.8246567.0282522.616229.81708567.0252522.475633.3399567.0402522.492333.33669567.0915522.460436.8438567.0925522.459536.822310567.1463522.406840.1611567.1474522.405640.144111567.1890522.366844.4326567.2131522.393044.424912567.2313522.327348.6998567.2326522.326048.683913567.2801522.281452.8184566.7762522.671052.8131塔尖567.3360522.214855.0910567.3375522.213555.0870問題二：古塔的傾斜、彎曲、扭曲每次測量得到了古塔各層的中心坐標，首先考慮視各層中心連線近似于一條直線，所以首先通過中心連線與鉛垂直線夾角計算初步了解古塔的變形情況。各條直線與鉛垂線夾角如表2。表21986年1996年2009年2011年角度（度）0.67040.69480.82960.6166層數(shù)1986年1996年2009年2011年△x△y△x△y△x△y△x△y20.0569-0.09840.0576-0.03910.0382-0.02670.0349-0.029430.1126-0.07600.0802-0.02950.0716-0.05420.0685-0.056340.1443-0.09510.1583-0.10770.0990-0.07710.1148-0.046850.2035-0.13790.2060-0.14040.1277-0.10090.1293-0.098560.2519-0.16930.2551-0.17240.2162-0.15040.2134-0.153770.2862-0.18610.2901-0.19080.2493-0.17250.2869-0.084280.3196-0.20260.3035-0.20660.2874-0.22230.2989-0.208190.3533-0.21920.3578-0.22390.3537-0.23750.3512-0.2409100.3842-0.23330.3891-0.23830.4085-0.29110.4061-0.2948110.4372-0.27360.4427-0.27910.4512-0.33110.4718-0.3074120.4901-0.31380.4740-0.30980.4935-0.37060.4913-0.3744130.4847-0.16550.4907-0.17140.5423-0.41650.0349-0.0294塔尖0.5824-0.46550.5892-0.47230.5982-0.48310.5962-0.4869平均值0.3159-0.20280.3149-0.19860.3028-0.22570.2691-0.1854層數(shù)1986199620092011合位移d傾斜角α合位移d傾斜角α合位移d傾斜角α合位移d傾斜角α120.11370.02050.06960.01260.04660.00840.04560.008330.13580.01240.08550.00780.08980.00820.08870.008140.17280.01330.19150.01470.12550.00970.12400.009650.24580.01230.24930.01250.16280.00820.16250.008260.30350.01240.30790.01260.26340.01080.26300.010870.34140.01220.34720.01240.30320.01080.29900.010780.37840.01200.36710.01160.36330.01150.36420.011590.41580.01190.42210.01200.42600.01220.42590.0122100.44950.01170.45630.01190.50160.01310.50180.0131110.51580.01210.52330.01230.55970.01310.56310.0132120.58200.01240.56630.01210.61720.01320.61770.0132130.51220.01000.51980.01020.68380.01340.04560.0009塔尖0.74550.01400.75510.01420.76890.01440.76980.0144平均值0.37790.01290.37390.01210.37780.01130.32850.0103表50.3779角（，通過比較角變化預(yù)測見表7。表71986年層數(shù)△xk△yk△zk合位移d角α（rad）20.0569-0.09845.53290.11371.550330.1126-0.07605.43500.13581.545840.1443-0.09512.03430.17281.486050.2035-0.13796.93090.24581.535360.2519-0.16934.51460.30351.503770.2862-0.18613.60180.34141.476380.3196-0.20263.51400.37841.463590.3533-0.21923.50400.41581.4527100.3842-0.23333.31720.44951.4361110.4372-0.27364.26880.51581.4506120.4901-0.31384.27100.58201.4354130.4847-0.16554.12240.51221.4472塔尖0.5824-0.46552.28900.74551.25591996年層數(shù)△xk△yk△zk合位移d角α(rad)20.0576-0.03915.53160.06961.558230.0802-0.02955.43620.08551.555140.1583-0.10772.03500.19151.47750.2060-0.14046.93020.24931.534860.2551-0.17244.51350.30791.502770.2901-0.19083.60280.34721.474780.3035-0.20663.51310.36711.466790.3578-0.22393.50290.42211.4509100.3891-0.23833.31930.45631.4342110.4427-0.27914.26780.52331.4488120.4740-0.30984.27200.56631.439130.4907-0.17144.12260.51981.4454塔尖0.5892-0.47232.28980.75511.25222009年層數(shù)△xk△yk△zk合位移d角α20.0382-0.02675.54450.04661.562430.0716-0.05425.42330.08981.554240.0990-0.07712.04110.12551.509450.1277-0.10096.93600.16281.547360.2162-0.15044.50160.26341.512470.2493-0.17253.61360.04661.487180.2874-0.22233.51530.08981.467890.3537-0.23753.50390.12551.4498100.4085-0.29113.31730.16281.4207110.4512-0.33114.27150.26341.4405120.4935-0.37064.26720.30321.4272130.5423-0.41654.11860.36331.4063塔尖0.5982-0.48312.27260.42601.24452011年層數(shù)△xk△yk△zk合位移d角α20.0349-0.02945.52720.04561.562530.0685-0.05635.43640.08871.554540.1148-0.04682.03530.12401.510050.1293-0.09856.94170.16251.547460.2134-0.15374.50060.26301.512470.2869-0.08423.61250.29901.488280.2989-0.20813.51960.36421.467790.3512-0.24093.48570.42591.4492100.4061-0.29483.32180.50181.4209110.4718-0.30744.28080.56311.4400120.4913-0.37444.25900.61771.4268130.0349-0.02944.12920.04561.5597塔尖0.5962-0.48692.27390.76981.2444圖3用matlab繪制彎曲示意圖，根據(jù)圖3和扭曲方向表示。計算和扭曲方向的公式：，取扭曲方向的平均值，作為該建筑物主體扭曲方向。和扭曲方向計算結(jié)果見表8。表81986年古塔扭曲數(shù)據(jù)層次△x'(m)△y'(m)合位移d(m)合位移方向θ（度）20.0569-0.09840.1137-59.991730.1126-0.07600.1358-34.034940.1443-0.09510.1728-33.403650.2035-0.13790.2458-34.140560.2519-0.16930.3035-33.921970.2862-0.18610.3414-33.050580.3196-0.20260.3784-32.387790.3533-0.21920.4158-31.8331100.3842-0.23330.4495-31.2835110.4372-0.27360.5158-32.0546120.4901-0.31380.5820-32.6471130.4847-0.16550.5122-18.8619塔尖0.5824-0.46550.7455-38.6536平均值0.3159-0.20280.3779-34.32801996年古塔扭曲數(shù)據(jù)層次△x'(m)△y'(m)合位移d(m)合位移方向θ（度）10.0576-0.03910.0696-34.186820.0802-0.02950.0855-20.205330.1583-0.10770.1915-34.246940.2060-0.14040.2493-34.293950.2551-0.17240.3079-34.068660.2901-0.19080.3472-33.350070.3035-0.20660.3671-34.261580.3578-0.22390.4221-32.053390.3891-0.23830.4563-31.5009100.4427-0.27910.5233-32.2457110.4740-0.30980.5663-33.1849120.4907-0.17140.5198-19.2639130.5892-0.47230.7551-38.7298140.3149-0.19860.3739-31.66092009年古塔扭曲數(shù)據(jù)層次△x'(m)△y'(m)合位移d(m)合位移△'k(m)合位移方向θ（度）20.0382-0.02670.04660.0010-34.969530.0716-0.05420.08980.0763-37.143940.0990-0.07710.12550.1221-37.930350.1277-0.10090.16280.1311-38.332960.2162-0.15040.2634-0.2528-34.842270.2493-0.17250.3032-0.3002-34.698480.2874-0.22230.36330.3630-37.740690.3537-0.23750.4260-0.3366-33.8975100.4085-0.29110.5016-0.2981-35.4919110.4512-0.33110.55970.0903-36.2904120.4935-0.37060.61720.4408-36.9239130.5423-0.41650.68380.6756-37.5442塔尖0.5982-0.48310.76890.2464-38.9437平均值0.3028-0.22570.37780.0738-36.51922011年古塔扭曲數(shù)據(jù)層次△x'(m)△y'(m)合位移d(m)合位移△'k(m)合位移方向θ（度）20.0349-0.02940.04560.0403-40.131330.0685-0.05630.0887-0.0147-39.436740.1148-0.04680.1240-0.1215-22.190250.1293-0.09850.16250.1509-37.318860.2134-0.15370.2630-0.0895-35.781270.2869-0.08420.2990-0.2369-16.364380.2989-0.20810.3642-0.3472-34.864090.3512-0.24090.4259-0.4241-34.4650100.4061-0.29480.5018-0.0666-35.9952110.4718-0.30740.5631-0.0653-33.1029120.4913-0.37440.61770.5758-37.3284130.0349-0.02940.0456-0.0346-40.1313塔尖0.5962-0.48690.76980.0096-39.2574平均值0.2691-0.18540.3285-0.3205-34.3359可以得出古塔中心扭曲數(shù)據(jù)（見表9）及扭曲組圖。表9四次扭曲測量計算數(shù)據(jù)表1986年1996年2009年2011年扭曲方向（度）-34.3-31.66-36.52-40.11扭曲位移（m）0.37520.31590.30350.2713問題三古塔的變形趨勢問題二得到了非常詳細的有關(guān)古塔傾斜、彎曲、變形方面的數(shù)據(jù)，這些變形均涉及到合位移與變形角度，比較數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)得出如下的變形分析：（1）四次測量均反映古塔有東南方向的傾斜，從傾斜角大小看傾斜度不大，從傾斜角變化看比較穩(wěn)定且有減小趨勢。(2)彎曲方面：古塔整體呈現(xiàn)輕微彎曲，從四個觀測年得到的計算值相對變化不大，但各年中個別層次的有一些變異性彎曲，如1986年與1996年的四層及2011年的十三層，要作為以后監(jiān)測的重點加以關(guān)注。（3）扭曲方面：觀測古塔扭曲方向數(shù)值變化發(fā)現(xiàn)存在古塔扭曲變形，且有加大趨勢，而且標出不穩(wěn)定狀態(tài)。從四次測量數(shù)據(jù)看，中底部（1-3層）及頂部（11層-塔尖）扭曲嚴重，中段（4-10層）較平緩。所以應(yīng)加強對底部及頂部的觀測與維護。五模型評價本題各項解答首先基于專業(yè)知識的指導(dǎo)，概念正確，公式操作簡便，可用于實際應(yīng)用。但在誤差方面討論不足，影響到精度，但作為大型建筑（構(gòu)）物還是能夠控制在可行范圍內(nèi)。另外本問題中第十三層中缺少一個角點的觀測數(shù)據(jù)，諸多分析中都看到了對結(jié)果的影響，較好的辦法是根據(jù)已有觀測數(shù)據(jù)點進行擬合，借助擬合得到的表達式求得失缺點的坐標補充進來，再進行各項計算。六參考文獻[1]李玉冰郝永杰劉恩海,多邊形重心的計算方法,