第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2022-2023學(xué)年河南省周口市太康縣高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知z復(fù)數(shù)滿(mǎn)足z?(1?i)4=4+A.?1?i B.?1+i2.已知a=(1,3)，b=A.π6 B.π3 C.2π3.設(shè)M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則MA.AB B.CD C.2A4.在△ABC中，sinA：sinB：A.150° B.135° C.120°5.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是截面A1A.33

B.22

C.6.如圖所示，△ABC的直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的等邊△A′BA.26 B.6 C.27.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積)(

)A.53寸 B.2寸 C.73寸 D.8.已知正方體ABCD?A1B1C1D1，點(diǎn)P在直線(xiàn)A.存在點(diǎn)P，使得PQ⊥A1C1

B.存在點(diǎn)P，使得PQ//A1B

C.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.設(shè)z，z1，z2為復(fù)數(shù)，且z1≠A.若z1?=z2，則z1=z2?

B.若|z1?z210.下列命題正確的是(

)A.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形

B.已知cosα=?35，α∈(π2,π)11.在正三棱錐P?ABC中，PA=PBA.若PC⊥平面ABD，則二面角P?AB?C余弦值為13

B.若PC⊥平面ABD，則三棱錐P?ABC12.如圖，多面體ABCDEF的8個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2A.AE//CF

B.平面EAB⊥平面FAB

C.直線(xiàn)EA與平面

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.在△ABC中，若a=2，tanA=14.如圖.在直角梯形ABCD中.AD//BC，∠ABC=90°，

15.如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為3π，則此圓錐的體積為

16.已知在四面體V?ABC中，VA=VB=四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知復(fù)數(shù)z=51+2i．

(1)求|z|；

(2)若18.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a?b=b?c=1．

(Ⅰ)若a=4，求si19.(本小題12.0分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且sin(A?B)=2sinC．

(1)20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

(1)證明：平面21.(本小題12.0分)

平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì).如圖所示，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在同一平面上，已知AB=BC=CD=2，AD=23．

(1)當(dāng)22.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=AD，BC=2AB，E，F(xiàn)分別為棱BC，B

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：(1?i)4=(1?i)2?(1?i)2.【答案】A

【解析】解：a=(1,3)，b=(3,1)，

則a?b=1×3+3×1=23.【答案】A

【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴M是AC，BD的中點(diǎn)，

∴MA+MC=0，MB4.【答案】C

【解析】解：由正弦定理可得，a：b：c=3：5：7，

設(shè)a=3k(k>0)，則b=5k，c=7k，所以C最大．

由余弦定理可得，cosC=a2+b2?c22ab=9k5.【答案】C

【解析】解：若A1M⊥AB1，

則A1M在平面ABB1A1上的投影在A1B上，

所以M的軌跡為A1C，AM的最小值為A到A1C的距離，

故AM的最小值為6.【答案】A

【解析】解：在直觀(guān)圖中，

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的等邊△A′B′C′，所以B′C′上的高h(yuǎn)=3，

∴O′A′=h7.【答案】C

【解析】解：如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．

∵積水深9寸，

∴水面半徑為12(18+6)=12寸，

則盆中水的體積為13π×9(62+122+68.【答案】C

【解析】解：正方體ABCD?A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1，

∵點(diǎn)P在直線(xiàn)AD1上，Q為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)P和D1重合時(shí)，PQ?平面BDD1B1，

∴PQ⊥A1C1，故A正確；

連接A1D，如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段A1D的中點(diǎn)時(shí)，PQ為三角形A1BD的中位線(xiàn)，即PQ//A1B9.【答案】AC【解析】解：由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)知，

若z1?=z2，則z1=z2?正確，

故選項(xiàng)A符合題意；

若z1=1+2i，z1=2?i，則滿(mǎn)足|z1?z2|=|z1+z2|，

但z1?z2=(1+2i)?(2?i)=4+3i，

故選項(xiàng)B不符合題意；

若zz1=zz2，

則z(z110.【答案】BC【解析】解：∵sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；

∵cosα=?35，α∈(π2,π)，∴sinα=1?cos2α=45，

∴tanα=?43，∴tan(α?π4)=tanα?tanπ41+tanαtanπ4=11.【答案】AB【解析】解：如圖，∵P?ABC為正三棱錐，∴AB=AC，PB=PC，

若PC⊥平面ABD，∴AD⊥BC，PD⊥BC，

∵D為PC的中點(diǎn)，∴PB=BC，∴正三棱錐P?ABC為正四面體，

∴AB=BC=AC，取AB中點(diǎn)N，連接NC，NP，

∴NP⊥AB，NC⊥AB，∴∠PNC是二面角P?AB?C的平面角，

又可得NC=NP=3，PC=2，∴cos∠PN12.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，由△BAE，△BEC，△BCF，△BFA為正三角形

可得AECF為正方形，故AE//CF，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，取AB中點(diǎn)為M，在△BAE，△BAF中，

又EM⊥AB，F(xiàn)M⊥AB，平面ABE∩平面ABF=AB，EM?平面ABE，F(xiàn)M?平面ABF，

則∠EMF為二面角E?AB?F的平面角，

由EM=FM=3，EF=22，得∠EMF≠90°，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由條件可知四棱錐E?ABCD、四棱錐F?ABCD均為正四棱柱，

連接EF，AC交點(diǎn)為正方形ABCD的中心，則EF⊥平面ABCD，

即∠EAC為直線(xiàn)EA與平面ABCD所成的角，由EA=EC=13.【答案】32【解析】解：在△ABC中，若a=2，tanA=sinAcosA=?43，cosB=45，

又A，B∈14.【答案】4

【解析】解：在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AD=2，BC=1，

則∠DAB=90°，則以A為原點(diǎn)，AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=a，設(shè)P(x,0)，則B(a,0)，C15.【答案】2【解析】解：設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，

所以圓錐側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為：S=12×2π?1?l=3π，

所以l=3，所以圓錐的高16.【答案】16π【解析】解：在四面體V?ABC中，VA=VB=VC=2，AB=1，∠ACB=π6，

可知四面體外接一個(gè)母線(xiàn)為2的圓錐，圓錐的底面半徑為r，可得2r=ABsin∠AC17.【答案】解：(1)因?yàn)閦=51+2i=5(1?2i)(1+2i)(1?2i)=【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求z，進(jìn)而求模長(zhǎng)；

(2)將z18.【答案】解：(I)當(dāng)a=4時(shí)，b=3，c=2，在△ABC中，由余弦定理，得cosA=b2+c2?a22bc=9+4?162×3×2=?14【解析】(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理求得cosA，即可求解sinA；

(Ⅱ)由已知，最大角為角19.【答案】解：(1)證明：在△ABC中，sinC=sin(A+B)，

∵sin(A?B)=2sinC，即sin(A?B)=2sin(A+B)，

∴sinAcosB?【解析】(1)利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得sin(A?B)=2sin(A+B)20.【答案】證明：(1)∵在四棱錐P?ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，

∴AB⊥PA，CD⊥PD，

又∵AB//CD，

∴AB⊥PD，

∵PA∩PD=P，

∴AB⊥平面PAD，

∵AB?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

(2)解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，

∵PA=PD，O為AD的中點(diǎn)，

∴PO⊥AD，

∴AB⊥平面P【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定，推出AB⊥平面PAD，再結(jié)合AB?平面PAB，即可求證；

(2)取AD中點(diǎn)O，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定，推出PO⊥底面21.【答案】解：(1)法一：在△ABD中，由余弦定理cosA=AD2+AB2?BD22AD?AB，

得cosA=(23)2+22?BD22×23×2，即3cosA=16?BD28①，

同理，在△BCD中，cosC=22+22?BD22×2×2，

即c【解析】(1)法一：在△ABD中由余弦定理得3cosA=16?BD28，在△BCD中由余弦定理得cos22.【答案】解：(1)證明：∵E為BC中點(diǎn)，BC=2AB=2AD，AD//BC，

∴AD//CE，AD=CE，