線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2023/6/51第一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要性系統(tǒng)仿真分析必須已知數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須已知數(shù)學(xué)模型本課程數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的獲取建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型辨識(shí)方法：由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2023/6/5第二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分類系統(tǒng)模型非線性線性連續(xù)離散混合單變量多變量定常時(shí)變2023/6/5第三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一主要內(nèi)容線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方框圖描述系統(tǒng)的化簡(jiǎn)系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換線性系統(tǒng)的模型降階線性系統(tǒng)的模型辨識(shí)本章要點(diǎn)簡(jiǎn)介2023/6/5第四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.1連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

模型與MATLAB表示3.1.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型3.1.2線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型3.1.3線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型3.1.4多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣模型2023/6/5第五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及MATLAB表示線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為階次，為常數(shù)，物理可實(shí)現(xiàn)2023/6/5第六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一傳遞函數(shù)的引入

Pierre-SimonLaplace(1749--1827)，法國(guó)數(shù)學(xué)家

Laplace變換Laplace變換的一條重要性質(zhì)：若則2023/6/5第七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一傳遞函數(shù)表示數(shù)學(xué)方式MATLAB輸入語(yǔ)句2023/6/5第八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一傳遞函數(shù)可以表示成兩個(gè)多項(xiàng)式的比值，在matlab中，多項(xiàng)式可以用向量表示。將多項(xiàng)式的系數(shù)按s降冪次序排列可以得到一個(gè)數(shù)值向量，用這個(gè)向量就可以表示多項(xiàng)式。分別表示完分子和分母后，再利用控制系統(tǒng)工具箱函數(shù)tf（）就可以用一個(gè)變量表示傳遞函數(shù)模型。2023/6/5第九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一傳遞函數(shù)輸入舉例例3-1輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸入語(yǔ)句在MATLAB環(huán)境中建立一個(gè)變量G2023/6/5第十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一顯示結(jié)果為：Transferfunction:12s^3+24s^2+12s+20-------------------------------2s^4+4s^3+6s^2+2s+22023/6/5第十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一另外一種傳遞函數(shù)輸入方法例3-2如何處理如下的傳遞函數(shù)？定義算子，再輸入傳遞函數(shù)2023/6/5第十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一Maltab顯示為：Transferfunction:3s^2+9--------------------------------------------------------------s^7+8s^6+30s^5+78s^4+153s^3+198s^2+140s+402023/6/5第十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一采用上面第一種方法很容易輸入，方法真直觀，但如果分子或分母多項(xiàng)式給出的不是完全的展開(kāi)式，而是若干個(gè)因式的乘積，則事先需要將其變換為完全展開(kāi)式的形式，兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積在matlab中可以用conv（）函數(shù)得出：p＝conv（p1，p2）其中p1和p2是兩個(gè)多項(xiàng)式，調(diào)用這個(gè)函數(shù)就能返回多項(xiàng)式乘積p如果有3個(gè)多項(xiàng)式的乘積，就需要嵌套使用此函數(shù)。2023/6/5第十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一conv的嵌套使用p=conv(p1,conv(p2,p3))或者p=conv(conv(p1,p2），p3)例如上面的例子：num=3*[103];den=conv(conv(conv(conv([121],[105]),[12]),[12]),[12]);G=tf(num,den)2023/6/5第十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一MATLAB的傳遞函數(shù)對(duì)象2023/6/5第十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一傳遞函數(shù)屬性修改例3-4延遲傳遞函數(shù)，即若假設(shè)復(fù)域變量為，則2023/6/5第十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一傳遞函數(shù)參數(shù)提取由于使用單元數(shù)組，直接用不行有兩種方法可以提取參數(shù)這樣定義的優(yōu)點(diǎn)：可以直接描述多變量系統(tǒng)第i輸入對(duì)第j輸入的傳遞函數(shù)2023/6/5第十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.1.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型狀態(tài)方程模型狀態(tài)變量，階次n

，輸入和輸出非線性函數(shù)：一般非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述2023/6/5第十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一線性狀態(tài)方程時(shí)變模型線性時(shí)不變模型(lineartimeinvariant,LTI)2023/6/5第二十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一線性時(shí)不變模型的MATLAB描述MATLAB輸入方法矩陣是方陣，為矩陣為矩陣，為矩陣可以直接處理多變量模型給出矩陣即可注意維數(shù)的兼容性2023/6/5第二十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一獲取狀態(tài)方程對(duì)象參數(shù)可以使用ssdata（）函數(shù)[A,B,C,D]=ssdata(G)或者使用G.a命令提取A矩陣。2023/6/5第二十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-52023/6/5第二十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一帶時(shí)間延遲的狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型MATLAB輸入語(yǔ)句其他延遲屬性：ioDelay2023/6/5第二十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.1.3線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型零極點(diǎn)模型是因式型傳遞函數(shù)模型零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益零極點(diǎn)模型的

MATLAB表示2023/6/5第二十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-5零極點(diǎn)模型MATLAB輸入方法另一種輸入方法2023/6/5第二十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一Matlab顯示結(jié)果：Zero/pole/gain:6(s+5)(s^2+4s+8)-----------------------(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)注意，在零極點(diǎn)模型顯示中，如果有復(fù)數(shù)零極點(diǎn)存在，則用二階多項(xiàng)式來(lái)表示兩個(gè)因式，而不直接展成復(fù)數(shù)的一階因式。2023/6/5第二十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一獲得零極點(diǎn)模型之后，可以給出pzmap（）命令在復(fù)數(shù)平面上表示出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置，用×表示極點(diǎn)位置，用o表示零點(diǎn)位置。2023/6/5第二十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.1.4多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型傳遞函數(shù)矩陣為第i輸出對(duì)第j輸入的傳遞函數(shù)可以先定義子傳遞函數(shù)，再由矩陣定義2023/6/5第二十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-7多變量模型2023/6/5第三十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.2線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型單變量系統(tǒng)：差分方程取代微分方程主要內(nèi)容離散傳遞函數(shù)離散狀態(tài)方程2023/6/5第三十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.2.1離散傳遞函數(shù)模型數(shù)學(xué)表示（Z變換代替Laplace變換）MATLAB表示（采樣周期）算子輸入方法：2023/6/5第三十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-8離散傳遞函數(shù)，采樣周期MATLAB輸入方法另一種輸入方法2023/6/5第三十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一顯示結(jié)果Transferfunction:6z^2-0.6z-0.12-------------------------------------z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125

Samplingtime:0.12023/6/5第三十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一離散延遲系統(tǒng)與輸入數(shù)學(xué)模型延遲為采樣周期的整數(shù)倍MATLAB輸入方法2023/6/5第三十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一H.iodelay=2

Transferfunction:6z^2-0.6z-0.12z^(-2)*-------------------------------------z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125

Samplingtime:0.12023/6/5第三十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一set(H,'ioDelay',3)>>H

Transferfunction:6z^2-0.6z-0.12z^(-3)*-------------------------------------z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125

Samplingtime:0.12023/6/5第三十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一濾波器型描述方法濾波器型離散模型分子、分母除以記，則2023/6/5第三十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一MATLAB表示方法例3-92023/6/5第三十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一H=zpk(z,p,1/120,'Ts',0.1)Zero/pole/gain:0.0083333(z-0.5)(z^2-z+0.5)-----------------------------------(z+0.5)(z+0.3333)(z+0.25)(z+0.2)

Samplingtime:0.12023/6/5第四十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一H=zpk(z,p,1/120,'Ts',0.1,'variable','q')Zero/pole/gain:0.0083333q(1-0.5q)(1-q+0.5q^2)---------------------------------------(1+0.5q)(1+0.3333q)(1+0.25q)(1+0.2q)

Samplingtime:0.12023/6/5第四十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.2.2離散狀態(tài)方程模型數(shù)學(xué)形式注意兼容性MATLAB表示方法2023/6/5第四十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一離散延遲系統(tǒng)的狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型MATLAB表示方法2023/6/5第四十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.3方框圖描述系統(tǒng)的化簡(jiǎn)單環(huán)節(jié)模型前面已經(jīng)介紹了實(shí)際系統(tǒng)為多個(gè)環(huán)節(jié)互連，如何解決互連問(wèn)題，獲得等效模型？主要內(nèi)容控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)的等效變換復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡(jiǎn)化2023/6/5第四十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.3.1控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)系統(tǒng)串、并聯(lián)串聯(lián)傳遞函數(shù)并聯(lián)傳遞函數(shù)2023/6/5第四十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一串、并聯(lián)狀態(tài)方程模型串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程2023/6/5第四十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一串、并聯(lián)系統(tǒng)的MATLAB求解若一個(gè)模型為傳遞函數(shù)、另一個(gè)為狀態(tài)方程，如何處理？將二者變換成同樣結(jié)構(gòu)再計(jì)算基于MATLAB的計(jì)算方法串聯(lián)注意次序：多變量系統(tǒng)并聯(lián)優(yōu)點(diǎn)，無(wú)需實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換2023/6/5第四十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一系統(tǒng)的反饋連接反饋連接正反饋負(fù)反饋2023/6/5第四十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一狀態(tài)方程的反饋等效方法其中若2023/6/5第四十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一反饋連接的MATLAB求解LTI模型符號(hào)運(yùn)算(置于@sym目錄)2023/6/5第五十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-102023/6/5第五十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一顯示結(jié)果Transferfunction:

60s^5+60156s^4+156132s^3+132136s^2+136060s+60000-----------------------------------------------------------------------2s^6+2004s^5+64006s^4+162002s^3+134002s^2+138000s+60000

2023/6/5第五十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-11控制器為對(duì)角矩陣反饋矩陣H為單位矩陣2023/6/5第五十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/5第五十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一eye（）函數(shù)EYE(N)istheN-by-Nidentitymatrix.

EYE(M,N)orEYE([M,N])isanM-by-Nmatrixwith1'sonthediagonalandzeroselsewhere.EYE(SIZE(A))isthesamesizeasA.2023/6/5第五十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一Gc=[g11,0;0,g22]Transferfunctionfrominput1tooutput...2s+1#1:-------s

#2:0

Transferfunctionfrominput2tooutput...#1:0

5s+2#2:-------s2023/6/5第五十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一GG=feedback(G*Gc,H)Transferfunctionfrominput1tooutput...12s^4+30s^3+24s^2+26s+10#1:------------------------------------------s^5+14s^4+33s^3+25s^2+27s+10

#2:0

Transferfunctionfrominput2tooutput...#1:0

30s^4+72s^3+54s^2+62s+20#2:------------------------------------------s^5+32s^4+75s^3+55s^2+63s+202023/6/5第五十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.3.2節(jié)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)的等效變換考慮模型難點(diǎn)：A點(diǎn)在回路間，移至輸出端2023/6/5第五十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一節(jié)點(diǎn)移動(dòng)2023/6/5第五十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.3.3復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡(jiǎn)化例3-12原系統(tǒng)可以移動(dòng)新支路模型2023/6/5第六十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一得出2023/6/5第六十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一G=feedback(C2*G1,H1)G=

G2*G4*G3*G1/(1+G4*G3*H3+G3*G2*H2+G2*G4*G3*G1*H1)2023/6/5第六十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一pretty(G)

G2G4G3G1----------------------------------------1+G4G3H3+G3G2H2+G2G4G3G1H1PRETTY(S)printsthesymbolicexpressionSinaformatthatresemblestype-setmathematics2023/6/5第六十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-13電機(jī)拖動(dòng)模型

2023/6/5第六十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一collect()函數(shù)f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)；collect(f,exp(-2*x))(-1/4*x+3/16)*exp(-2*x)2023/6/5第六十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一信號(hào)單獨(dú)輸入得出另一個(gè)傳遞函數(shù)2023/6/5第六十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一Simplify()函數(shù)simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)顯示結(jié)果為12023/6/5第六十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一最終得出傳遞函數(shù)矩陣2023/6/5第六十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.4系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換前面介紹的各種模型之間的相互等效變換主要內(nèi)容連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)與符號(hào)表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換2023/6/5第六十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.4.1連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換連續(xù)狀態(tài)方程的解析階采樣周期選擇2023/6/5第七十頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一這樣可以得出離散模型記則可以得出離散狀態(tài)方程模型MATLAB函數(shù)直接求解2023/6/5第七十一頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一還可以采用Tustin變換（雙線性變換）例3-14雙輸入模型，2023/6/5第七十二頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一輸入模型、變換2023/6/5第七十三頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一模型2023/6/5第七十四頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-15時(shí)間延遲系統(tǒng)的離散化MATLAB求解零階保持器變換變換結(jié)果2023/6/5第七十五頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一Tustin變換數(shù)學(xué)表示其他轉(zhuǎn)換方法FOH一階保持器matched單變量系統(tǒng)零極點(diǎn)不變imp脈沖響應(yīng)不變準(zhǔn)則2023/6/5第七十六頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一離散模型連續(xù)化對(duì)前面的變換求逆Tustin反變換MATLAB求解(無(wú)需)2023/6/5第七十七頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3-16對(duì)前面的連續(xù)狀態(tài)方程模型離散化，對(duì)結(jié)果再連續(xù)化，則

可以基本上還原連續(xù)模型2023/6/5第七十八頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取已知狀態(tài)方程兩端Laplace變換則2023/6/5第七十九頁(yè)，共九十頁(yè)，編輯于2023年，星期一因此可以得出傳遞函數(shù)難點(diǎn)基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好結(jié)果由零極點(diǎn)模型，直接展開(kāi)分子分母用MATLAB統(tǒng)一求解2023/6/5第八十頁(yè)，共九