【高考會(huì)這樣考】考查利用正、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．課題：1.2解三角形應(yīng)用舉例一、實(shí)際應(yīng)用中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱仰角與俯角方位角術(shù)語(yǔ)意義在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．方位角的范圍是(0°，360°)圖形表示術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度例：(1)北偏東m°：(2)南偏西n°：術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示坡角

坡度坡面與水平面的夾角坡面的垂直高度h和水平寬度l的比二．解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟．(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．ABCba1一：測(cè)量距離問題

問題：

如何測(cè)定A、B兩點(diǎn)間的距離？①兩點(diǎn)之間不可通也不可視方法：用余弦定理ABCa12問題：

如何測(cè)定A、B兩點(diǎn)間的距離？②兩點(diǎn)之間可視不可達(dá)方法：用正弦定理ABCDa1234問題：

如何測(cè)定A、B兩點(diǎn)間的距離？③兩點(diǎn)都不可達(dá)方法：在△ACD中用正弦定理求AC在△BCD中用正弦定理求BC在△ABC中用余弦定理求AB變式訓(xùn)練

解在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，1、底部可以到達(dá)的

測(cè)量出角C和BC的長(zhǎng)度，解直角三角形即可求出AB的長(zhǎng)。

二：測(cè)量高度問題①點(diǎn)B與點(diǎn)C、D共線方法：先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB.2、底部不可以到達(dá)②點(diǎn)B與點(diǎn)C、D不共線

方法：在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB

問題：AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法選擇一條水平基線HG,使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上，在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是α,β，CD=a，測(cè)角儀器的高是h。BEAGHDC在△ACD中，由正弦定理得測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，求塔高AB.變式訓(xùn)練例4、某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高.解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD=40，此時(shí)∠DBF=45°，過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，則∠AEB=30°，在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,

∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中，BE=DBsin15°在Rt△ABE中，∠AEB=30°，∴AB=BEtan30°=故所求的塔高為三：測(cè)量角度問題（航海問題）

【例】?如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30o,相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東________的方向沿直線前往B處救援（提示：,角度精確到1o)【例】?如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30o,相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東________的方向沿直線前往B處救援（提示：,角度精確到1o)

變式訓(xùn)練

如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)C處．

(1)求漁船甲的速度；

(2)求sinα的值．解

(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．A答案AA60m等腰或直角三角形練習(xí):如圖所示,已知半圓的直徑AB＝2,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1,點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.解設(shè)∠POB=θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ=5-4cosθ.三、解答題10.如圖所示,扇形AOB,圓心角AOB等于60°,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C，設(shè)∠AOP=θ，求△POC

面積的最大值及此時(shí)θ的值.

解

∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-θ，

∠OCP=120°.

在△POC中，由正弦定理得2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔

A在觀察站北偏東40°,燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（）

A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°

解析燈塔A、B的相對(duì)位置如圖所示，由已知得∠ACB=80°，

∠CAB=∠CBA=50°，則α=60°-50°=10°.B3.在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC

上的高為（）

A.B.C.D.

解析由余弦定理可得：B5.(2009·湖南文,14)在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,

則的值等于

,AC的取值范圍為

.

解析2一、選擇題1.在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°,則塔高為 （）

解析作出示意圖如圖，由已知：在Rt△OAC中，

OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=

在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，則BD=AD·tan∠BAD=A定時(shí)檢測(cè)2.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)（）

A.5海里B.5海里

C.10海里D.10海里解析如圖所示，依題意有∠BAC=60°，

∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，從而CD=CA=10，在Rt△ABC中，得AB=5，于是這艘船的速度是（海里/小時(shí)）.C3.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B

的距離為 （）

A.akmB.akmC.akmD.2akm

解析利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,

在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC

·BCcos120°=2a2-2a2×B4.一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔

P的南偏西75°距塔68海里的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 （）

A.海里/小時(shí)B.海里/小時(shí)

C.海里/小時(shí)D.海里/小時(shí)解析如圖所示，在△PMN中，答案

A5.如圖，一貨輪航行到M處,測(cè)得燈塔S

在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相距20

海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為 （）

A.20海里/小時(shí)

B.20海里/小時(shí)

C.20海里/小時(shí)

D.20海里/小時(shí)解析由題意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,答案

B6.線段AB外有一點(diǎn)C,∠ABC=60°,AB=200km,汽車以

80km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50km/h的速度由B向C行駛,則運(yùn)動(dòng)開始

h后，兩車的距離最小.A.B.1C.D.2

解析如圖所示，設(shè)th后,汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD=80t，BE=50t.

因?yàn)锳B=200，所以BD=200-80t，問題就是求DE最小時(shí)t的值.

由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-42000t+40000.答案