2021-2022學(xué)年河南省靈寶市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1Q

I.已知平面向量。=(1,1),力=(1,T),則向量;()

A.(-2,-1)B.(—2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

【答案】D

【分析】利用平面向量坐標(biāo)的線性運算法則可得出的坐標(biāo).

22

r

111ra13(\11A

［詳解］Qa=(l,l),匕=(1,-1),==(-1,2),

故選D.

【點睛】本題考查平面向量坐標(biāo)的線性運算，解題的關(guān)鍵就是利用平面向量坐標(biāo)的運算律，考查計

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.若iz=2+i,則z=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算規(guī)則以及共軌復(fù)數(shù)的定義即可.

【詳解】z=^=l-2i,z=i+2i;

故選：A.

3.已知ABC中，a=3,A=J,B=二，則彳()

612

A.1B.y/2C.3&D.73

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出C,再根據(jù)正弦定理求出c.

【詳解】因為。=3,所以。二萬一:一二?=-7"，

6126124

?03x---

由正弦定理可得C=竺"±=一_=3近，

sinA1

2

故選：C.

4.如圖，AO4夕是水平放置的△048的直觀圖，則△。鉆的面積是

工/O,x

A.6B.3亞C.65/2D.12

【答案】D

【詳解】由直觀圖畫法規(guī)則，可得AAO5是一個直角三角形，直角邊04=04=6,03=2O，B=4,

:?SMOB=；°A?°8=TX6X4=12,故選D-

5.已知〃與b均為單位向量，它們的夾角為60,那么忖+2b卜

A.77B.1C.719D.4

【答案】C

【詳解】由題意“力=8560。=；,愀+21=（3a+2匕產(chǎn)=材+⑵力+加=9+12x；+4=19,所以

帆+2司=加，故選C.

點睛：向量的數(shù)量積的性質(zhì)之一：q=/,由此公式求向量模的運算常常轉(zhuǎn)化為向量的平方（數(shù)量

積）計算.

6.在“4BC中，〃,6,c分別是角AB,C的對邊，若黯一片=。2一傷C,則角A等于（）

A.135B.60或120

C.45D.135或45

【答案】C

【分析】由余弦定理化簡后求解

【詳解】a2-b2=c?—近bc，又余弦定理得cosA=-土=變

2bc2

故4=45°

故選：C

7.若復(fù)數(shù)z滿足z（-l+2i）=|l+3i|（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】先求|l+3i|,再用復(fù)數(shù)的乘除運算法則進(jìn)行計算，從而得到復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在

的象限.

Vio_Vio(-l-2i)_-V10-2^i屈2洞

【詳解】|l+3i|=VT+9=Vw,所以

-l+2i-(-l+2i)(-l-2i)1+4

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為上半，-位于第三象限.

故選：C

8.已知圓錐的母線長為5,高為4,則圓錐的表面積為()

A.30%B.18萬C.24萬D.27%

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的母線長為5,高為4,求得圓錐的底面半徑，然后由圓錐的表面積公式求解.

【詳解】因為圓錐的母線長為5,高為4,

所以圓錐的底面半徑為3,

所以圓錐的表面積為萬x3x5+;rx32=24%.

故選：C

9.如圖，在平行四邊形45C3中，E是。C的中點.若AB=a,AD=b,則BE=()

【答案】A

【分析】根據(jù)圖形，利用向量的加，減，數(shù)乘運算，即可判斷選項.

【詳解】BE=BC+CE=BC--DC

2

=AD--AB=b--a.

22

故選:A

10.已知。=(-1,2),若“的終點坐標(biāo)為(3,-6),則〃的起點坐標(biāo)為()

A.(-4,-8)B.(-4,8)C.(4,-8)D.(4,8)

【答案】C

【分析】用向量的坐標(biāo)運算求解即可.

【詳解】設(shè)“的起點坐標(biāo)為(xy),

Q。的終點坐標(biāo)為(3,-6),

,a=(3,6)-(x,y)=(3-x,-6-y),

又.a=（T2）,

13-x=-lx=4

解得

[-6-y=2y=-8

q的起點坐標(biāo)為（4,-8）,

故選：C.

11.在,ABC中，角A8,C所對的邊分別為,向量切=（cosA,cosB）,〃=（4,Cc-&）,若為/〃，

則內(nèi)角A的大小為（）

71c兀-冗c兀

A.-B.-C.-D.一

3624

【答案】D

【分析】利用向量平行列出方程，結(jié)合正弦定理求得A的大小.

【詳解】由于1//3，所以8sA.（";-〃）=acos8,

由正弦定理得cosA（血sinC-sin3）=sinAcos3,

^sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，

V2sinCcosA=sinAcos3+sinBcosA=sin（A+8）=sinC,

由于0vC<7r,sinC>0,

所以0cosA=l,cosA=，^>0,

2

所以三角形ABC的內(nèi)角A為銳角，所以A=J.

4

故選：D

12.如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的個數(shù)是（）

（1）AF與CN平行（2）8M與AN是異面直線

（3）AF與8M是異面直線（4）BN與OE是異面直線

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】把平面圖還原正方體，由正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷（1）與（2）；由異面直線的定義判斷（3）

與（4）.

【詳解】解：把正方體的平面展開圖還原原正方體如圖，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AF與CN異面垂直，故（1）錯誤；

與AV平行，故（2）錯誤；

BMu平面3cM/，尸《平面8CMF,A0平面BCMF,F￡BM,

由異面直線定義可得，AF與8M是異面直線，故（3）正確；

￡>Eu平面AOVE,Ne平面ADVE,Be平面N龜DE,

由異面直線定義可得，8N與OE■是異面直線，故（4）正確.

所以正確的個數(shù)是2個.

故選：B.

二、填空題

13.已知平面向量。=0,2）,6=（-3,加），若aLb，則廢.

【答案】32##1.5

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

3

【詳解】由alB，得。力=0，即一3+2〃?=0,解得，〃=/.

,3

故答案為：—

14.如圖，E是正方體ABCO-4耳G"的棱CR的中點，則異面直線與CE所成角的余弦值為

【答案】■

【分析】取A4的中點F,連接根據(jù)題意得出NFBR為異面直線8R與CE所成的角,

利用余弦定理求值即可.

【詳解】取AA的中點F,連接3F,EF，AF,

因為F,E分別為4蜴,的中點，所以EF//BC,EF=BC,

所以四邊形3CE戶為平行四邊形，所以3F〃CE,

所以NFBR為異面直線BD,與CE所成的角.

設(shè)正方體ABCD-^C^的棱長為2,則BD\=VF77TF=26,

DF=BF=S+22=6,

所以根據(jù)余弦定理，得COSNFBA=—^*W==T==巫.

2x2V3xV54/155

15.一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60。處；行駛4h后，船

到達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東15。處.這時船與燈塔的距離為km.

【答案】30五.

【分析】由題意畫出示意圖，求出各角的度數(shù)后，由正弦定理即可得解.

【詳解】解：由題意畫出示意圖，如圖：

可得NC4B=30,N8cA=105,AC=60,

貝!|NB=18O-30-105=45，

CB60

BCAC

在中，由正弦定理得,即工

sinZCABsinB

2V

解得C8=30垃.

故答案為：306km.

【點睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a,h,c.若A=g,c=4,AABC的面積為26,

則^ABC的外接圓的半徑為.

【答案】2

【分析】利用三角形面積公式求解6=2,再利用余弦定理求得a=2百，進(jìn)而得到外接圓半徑.

【詳解】由;x46sin2=2G,解得匕=2..?./=22+42-2x2x4cosq=12.解得〃=2君.

??.2氏=絲=4,解得R=2.

sm——

3

故答案為：2.

三、解答題

17.當(dāng)實數(shù)機滿足什么條件時，復(fù)數(shù)（二-5利+6）+（/-3淄分別滿足下列條件？

⑴實數(shù)；

⑵虛數(shù)；

（3）純虛數(shù)；

【答案】（1）m=0或加=3

⑵〃ZWO且，"3

（3）/w=2

【分析】由復(fù)數(shù)的概念列出方程求出機的值.

【詳解】（1）當(dāng)勿/_3"?=0,即m=0或m=3時，復(fù)數(shù)（62-56+6）+，/一3加）為實數(shù);

（2）當(dāng)裙?3加？0,即，工0且一工3時,復(fù)數(shù)（＞-56+6）+"-3斕為虛數(shù);

M-5m+6=0

(3)當(dāng)＜解得zn=2

nr一3〃?00

所以當(dāng)機=2時，復(fù)數(shù)（＞-5加+6）+（病-3哂為純虛數(shù).

18.已知|&|=4,g|=2,求分別在下列條件下￡$的值.

(l)〈a,6〉=120；

(2)aJ.b;

(3)a〃。?

【答案】⑴Y;

⑵0;

⑶±8.

【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)互相垂直的兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;

(3)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，結(jié)合共線向量的性質(zhì)進(jìn)行求解

【詳解】⑴?^=|a||^|cosl20=4x2x]-g]=-4

(2)因為d_Z,b，所以4m=0.

(3)因為。,b,所以“與匕的夾角為0或180，

所以“力=±同忖=±(4x2)=±8.

19.在‘ABC中，角A8,C所對的邊分別為a,6,c.已知4=2,'=3,8=三.

(1)求]的值;

(2)求一ABC的面積S.

【答案】

(1)77；(2)空

2

【分析】(1)由a,c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；

(2)利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積.

【詳解】(1)。=2,c=3,8=(,由余弦定理可得

b2=a2+c2-2accosB=7,

b=y/l,

G_1._3>/3

22

【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理

是解本題的關(guān)鍵.

20.如圖，棱錐S-/WCO中，底面是平行四邊形，E為SD的中點.求證：SB〃面A￡C.

S

【答案】證明見解析

【分析】連接8。交AC于O，連接E。,先證明OE//SB,再證明S3〃面AEC.

s

連接80交AC于O,連接E。

四邊形ABC。為平行四邊形，

。為AC的中點.

E為SD中點,；.OE//SB.

又OEu面AEC,S8（Z面AEC,

：.SB//^AEC.

【點睛】本題主要考查空間直線平面平行的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

21.在J1BC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知J^/=?cosC+csinB.

⑴求角8的值；

（2）若4?C外接圓的半徑R=26,求ABC面積的最大值.

【答案】（1）8=。

⑵9石

【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和的正弦公式可求得tanB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角

8的值；

（2）求出人的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得。，的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式可求

得面積的最大值.

【詳解】（1）解：由=>Az>cosC+csinB及正弦定理可得GsinBcosC+sinCsinB=VJsinA,

即&sinBcosC+sinCsinB=V3sin（B+C）=5/3sinBcosC+x/3cosBsinC,

因為Ce（O,乃），則sinC>0,所以，sin8=EcosB,則tan8=退，

3e（O,乃），因此，B=g.

(2)解：由正弦定理可得人=27?sin8=6,

由余弦定理可得6?=b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac>2ac-ac=ac,即acW36,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=6時，等號成立，

故一ABC面積的最大值為彳x36xsin[=9百.

23

3.3

22.已知向量。=cos—x,sin—x,且xe0,y

（1）a-bR\a+b\；

3

（2）若/（x）=a-0-2/l|a+/7|的最小值為求實數(shù)4的值.

【答案】（1）ab=cos2x,\a+b\=2cosx（2）2=—.

【分析】（1）利用向量的數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)運算公式，直接運算，即可求解;

-rr

(2)由(1)求得函數(shù)/(x)=2cos2元一4%cosx-1,工￡[0,萬],令，=cosxe[0,l],得到

），=2*-4?-結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.