2021年山西省忻州市修遠(yuǎn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的最大值為(▲)A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.直線被圓所截得的弦長為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】可得圓心到直線的距離d，由弦長為，可得a的值，可得直線的斜率.【詳解】解：可得圓心（0，0）到直線的距離，由直線與圓相交可得，，可得d=1，即=1，可得，可得直線方程：，故斜率為，故選D.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系，相對簡單.3.已知全集U=R，集合A={x|x≥﹣1}，集合B={x|y=lg（x﹣2）}，則A∩（?UB）=（）A．[﹣1，2） B．[﹣1，2] C．[2，+∞） D．[﹣1，+∞）參考答案：B【考點】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運算．【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集和交集的定義進(jìn)行計算即可．【解答】解：B={x|y=lg（x﹣2）}={x|x＞2}，則?UB={x|x≤2}，則A∩（?UB）={x|﹣1≤x≤2}，故選：B4.若x>0，y<0，則下列不等式一定成立的是A.2x－2y>x2

B.C.2y－2x>x2

D.2x－2y>x2參考答案：B5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A6.命題甲：p是q的充分條件，命題乙：p是q的充分必要條件，則命題甲是命題乙的A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B略7.已知集合=

A．

B．（0，1）

C．[0，1）

D．參考答案：,由得，即，所以，所以，選A.8.已知是實數(shù)，則“”是“”的（

）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B9.若全集為實數(shù)集，集合==

(

)A． B． C．

D．參考答案：D10.在等差數(shù)列{an}中，an＞0，且a1+a2+…+a10=30，則a5+a6的值（）A．3 B．6 C．9 D．12參考答案：B【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得5（a5+a6）=30，則答案可求．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由an＞0，且a1+a2+…+a10=30，得（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=30，即5（a5+a6）=30，∴a5+a6=6．故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）是定義在[﹣2，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=2x﹣1，函數(shù)g（x）=x2﹣2x+m．如果對于?x1∈[﹣2，2]，?x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），則實數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：[﹣5，﹣2]【考點】指數(shù)函數(shù)綜合題；特稱命題．【分析】求出函數(shù)f（x）的值域，根據(jù)條件，確定兩個函數(shù)的最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）是定義在[﹣2，2]上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，則當(dāng)x∈[﹣2，2]時，f（x）∈[﹣3，3]，若對于?x1∈[﹣2，2]，?x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），則等價為g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，則滿足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案為：[﹣5，﹣2]12.已知x、y的取值如表所示，如果y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=x+，則表中的a=_________．x234y5a6參考答案：413.對于集合，如果定義了一種運算“”，使得集合中的元素間滿足下列4個條件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得對，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，則稱集合對于運算“”構(gòu)成“對稱集”．下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“”：①，運算“”為普通加法；②，運算“”為普通減法；③，運算“”為普通乘法．其中可以構(gòu)成“對稱集”的有

．（把所有正確的序號都填上）參考答案：①、③略14.在△ABC中，設(shè)AD為BC邊上的高，且AD=BC，b，c分別表示角B，C所對的邊長，則的取值范圍是____________．參考答案：15.對函數(shù)，現(xiàn)有下列命題：

①函數(shù)是偶函數(shù)；

②函數(shù)的最小正周期是；

③點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心；

④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。

其中是真命題的是______________________.參考答案：①④略16.在區(qū)間[0，2]上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)f（x）=x3+ax﹣b在區(qū)間[﹣1，1]上有且只有一個零點的概率是．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】根據(jù)所給的條件很容易做出試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的面積，而滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=x3+ax﹣b在區(qū)間[﹣1，1]上有且僅有一個零點，求出導(dǎo)函數(shù)，看出函數(shù)是一個增函數(shù)，有零點等價于在自變量區(qū)間的兩個端點處函數(shù)值符號相反，得到條件，做出面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個幾何概型，∵a∈[0，2]，∴f'（x）=3x2+a≥0∴f（x）是增函數(shù)，若f（x）在[﹣1，1]有且僅有一個零點，則f（﹣1）?f（1）≤0∴（﹣1﹣a﹣b）（1+a﹣b）≤0，即（1+a+b）（1+a﹣b）≥0，由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為2×2=4，滿足條件的面積4﹣=，∴P==，故答案為：．17.已知與為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量與向量垂直，則k=

。參考答案：1本小題主要考查向量的線性運算及向量垂直條件的應(yīng)用.由，因為兩個單位向量不共線，所以只有，即.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC.(1)求證：平面MOE∥平面PAC；(2)求證：平面PAC⊥平面PCB；(3)設(shè)二面角M－BP－C的大小為θ，求cosθ的值．參考答案：(1)因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以O(shè)E∥PA.因為PA平面PAC，OE?平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC.因為OM∥AC，又AC平面PAC，OM?平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC.因為OE平面MOE，OM平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面PAC.

…………4分(2)因為點C在以AB為直徑的⊙O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因為PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.因為AC平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因為BC平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

…………9分(3)如圖，以C為原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz.因為∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，設(shè)平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．因為

即令z＝1，則x＝－2，y＝0.所以m＝(－2,0,1)．19.（本題滿分12分）已知數(shù)列滿足：，

，記，為數(shù)列的前項和.

(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項公式；

(2)若對任意且，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)令，證明：.參考答案：解：(1)因為，由已知可得，又，則數(shù)列是首項和公比都為等比數(shù)列，故.

…………4分(2)因為若對任意且，不等式恒成立，則，故的取值范圍是.……7分略20.已知函數(shù)f（x）=2ax+bx﹣1﹣2lnx（a∈R）．（1）當(dāng)b=0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若對?α∈[1，3]，?x∈（0，+∞），f（x）≥2bx﹣3恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)x＞y＞e﹣1時，求證：exln（y+1）＞eyln（x+1）．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3R：函數(shù)恒成立問題；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)b=0時，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得f（x）單調(diào)區(qū)間；（2）將原不等式轉(zhuǎn)化成a+﹣≥，對?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，求得函數(shù)的最小值，由a的取值范圍，即可求得實數(shù)b的取值范圍；（3）由題意可知：exln（y+1）＞eyln（x+1）．只需證＞，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）＞g（y），即可證明不等式成立．【解答】解：（1）當(dāng)b=0時，f（x）=2ax﹣1﹣2lnx，求導(dǎo)f′（x）=2a﹣=，（x＞0），當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)a＞0時，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，由f′（x）＞0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增，綜上可知：當(dāng)a≤0時，（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，在（0，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增，（2）由已知對?a∈[1，3]，f（x）≥2bx﹣3對，?x∈（0，+∞）恒成立，則2ax+bx﹣1﹣2lnx≥2bx﹣3，對?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，即a+﹣≥，對?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，設(shè)g（x）=a+﹣，?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]，求導(dǎo)g′（x）=﹣﹣=，則g（x）在（0，e2）單調(diào)遞減，在（e2，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時，g（x）min=g（e2）=a﹣，即≤a﹣，由a∈[1，3]，則≤1﹣，即a≤2﹣∴實數(shù)b的取值范圍（﹣∞，2﹣]；（3）證明：x＞y＞e﹣1，則x+1＞y+1＞e，∴l(xiāng)n（x+1）＞ln（y+1）＞1，欲證exln（y+1）＞eyln（x+1）．只需證＞，令g（x）=，x∈（e﹣1，+∞），求導(dǎo)g′（x）=，顯然函數(shù)h（x）=ln（x+1）﹣，在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）=1﹣＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴x＞y＞e﹣1時，g（x）＞g（y），即＞，∴當(dāng)x＞y＞e﹣1時，exln（y+1）＞eyln（x+1）．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查不等式恒成立，不等式的證明，考查分離參數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．21.（本小題滿分14分）

如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）求四面體體積的最大值．

參考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）2試題分析：（Ⅰ）先證明四邊形MNCD是平行四邊形，利用線面平行的判定，可證平面MFD；（Ⅱ）連接ED，設(shè)．根據(jù)平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可證NE⊥平面ECDF，從而可得FC⊥NE，進(jìn)一步可證FC⊥平面NED，利用線面垂直的判定，可得ND⊥FC；（Ⅲ）先表示出四面體NFEC的體積，再利用基本不等式，即可求得四面體NFEC的體積最大值．試題解析：（Ⅰ）法一：∵,

∴, ,

∴,

∴是平行四邊形,

∴,

∴平面,

法二：∵,

∴平面,

∵,

∴平面,

∴平面平面,

∴平面.

（Ⅱ）∵, ∴為正方形,

∴,

又∵平面平面, ,

∴平面,

∴,

∴平面,

∴,