2022年江西省九江市永修第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知||=2，||=3，向量與的夾角為150°，則在方向的投影為（

）A．— B．—1 C． D．參考答案：A2.已知，則“”是“”的（

）條件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既非充分也非必要參考答案：A

略3.已知函數(shù)，若a、b、c互不相等，且，則a＋b＋c的取值范圍是 （

）A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]參考答案：C4.在等差數(shù)列{}中＞0，且，則的最大值等于

（▲）A．3

B．6

C．9

D．36參考答案：C5.若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.已知，則對(duì)，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.函數(shù)的圖象大致為A.

B.

C.

D.參考答案：C8.若函數(shù)，，則的最大值為

A．1

B．

C．

D．參考答案：B9.設(shè)函數(shù)y=sin2x+cos2x的最小正周期為T，最大值為A，則（）A．T=π， B．T=π，A=2 C．T=2π， D．T=2π，A=2參考答案：B【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】由兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得y=2sin（2x+），由參數(shù)的意義可得答案．【解答】解：由三角函數(shù)的公式化簡可得：=2（）=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），∴T==π，A=2故選：B10.f（x）=﹣+log2x的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】根據(jù)函數(shù)的實(shí)根存在定理，要驗(yàn)證函數(shù)的零點(diǎn)的位置，只要求出函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值，得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的實(shí)根存在定理得到f（1）?f（2）＜0．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為

．參考答案：12.如題（15）圖，在等腰梯形中，且，設(shè)，以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的離心率為，則=__________參考答案：1略13.如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是．參考答案：21【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；二項(xiàng)式定理．【分析】先通過給x賦值1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和；再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為﹣3得到展開式中的系數(shù)．【解答】解：令x=1得展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為2n∴2n=128解得n=7∴展開式的通項(xiàng)為Tr+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展開式中的系數(shù)為3C76=21故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的方法是賦值法，考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．14.已知命題，都有，則為

．參考答案：，使得15.若關(guān)于，的不等式組（是常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的邊界是一個(gè)直角三角形，則

.參考答案：或先做出不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，陰影部分。因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且不等式表示的區(qū)域在直線的下方，所以要使所表示的平面區(qū)域是直角三角形，所以有或直線與垂直，所以，綜上或。16.設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),AB為過F1的弦(A,B在雙曲線的同一支上),若,,則此雙曲線的離心率為

．參考答案：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的定義和性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的思想.因?yàn)?,所以.設(shè),,則,，兩式相加并化簡得,即.又,所以.由得,從而.17.設(shè)函數(shù)，則__________。

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值．參考答案：（1）．（2）的取值范圍為．（3）當(dāng)時(shí)，有最大值0(1)根據(jù)建立關(guān)于a的方程求出a的值.(2)本小題實(shí)質(zhì)是在區(qū)間上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立,然后再討論a=0和兩種情況研究.(2)時(shí)，方程可化為，,問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即求函數(shù)的值域,然后再利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)區(qū)間極值最值，從而求出值域，問題得解.解：（1）．………1分

因?yàn)闉榈臉O值點(diǎn)，所以．………2分

即，解得．…………………3分

又當(dāng)時(shí)，，從而的極值點(diǎn)成立．…………4分（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立．…5分

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以上為增函數(shù)，故符合題意．…………6分②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對(duì)恒成立，故只能，所以上恒成立．……………7分

令，其對(duì)稱軸為，……………8分

因?yàn)樗裕瑥亩虾愠闪?，只要即可，因?yàn)椋?/p>

解得．u……9分因?yàn)?，所以．綜上所述，的取值范圍為．…………………10分（3）若時(shí)，方程可化為，．

問題轉(zhuǎn)化為在上有解，

即求函數(shù)的值域．……11分以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：方法1：因?yàn)?，令?/p>

則

，…………………12分

所以當(dāng)，從而上為增函數(shù)，

當(dāng)，從而上為減函數(shù)，………13分

因此．

而，故，

因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0．…………14分方法2：因?yàn)?，所以．設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

因?yàn)?，故必有，又?/p>

因此必存在實(shí)數(shù)使得，

，所以上單調(diào)遞減；

當(dāng)，所以上單調(diào)遞增；

當(dāng)上單調(diào)遞減；

又因?yàn)椋?/p>

當(dāng)，則，又．

因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0.……………14分19.（本小題滿分14分）如圖所示的多面體中，是菱形，是矩形，面,．（1）求證:.（2）若參考答案：證明：（1）由是菱形………………3分由是矩形

……………6分（2）連接，由是菱形，由面,

，……………10分則為四棱錐的高由是菱形，，則為等邊三角形，由；則，，

………14分20.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，），將曲線經(jīng)過伸縮變換：得到曲線.（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（2）若直線（為參數(shù)）與相交于兩點(diǎn)，且，求的值.參考答案：（1）的普通方程為，把代入上述方程得，，∴的方程為，令，所以的極坐標(biāo)方程為；（2）在（1）中建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，由，得，由，得，而，∴，而，∴或.21.設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(Ⅲ)設(shè),當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的，存在，使得≥，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)解:,

………………(1分)

因?yàn)榍?

……(2分)所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為……………(3分)(Ⅱ)解:函數(shù)的定義域?yàn)?

令，由，知

…(4分)

討論:①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

…(6分)②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.…(8分)(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

則對(duì)任意的，有≥，即.

…(10分)又已知存在,使得≥,

所以≥，即存在，使得≤，即≥.因?yàn)闀r(shí)，，

…(13分)所以≥，即≥.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

………(14分)22.如圖，已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|?|OS|為定值．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）依題意，得a=2，，由此能求出橢圓C的方程．（2）法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x1，y1），N（x1，﹣y1），設(shè)y1＞0．由于點(diǎn)M在橢圓C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圓T的方程．法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），設(shè)sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圓T的方程．（3）法一：設(shè)P（x0，y0），則直線MP的方程為：，令y=0，得，同理：，…故，由此能夠證明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4為定值．法二：設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．則直線MP的方程為：，由此能夠證明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4為定值．解答： 解：（1）依題意，得a=2，，∴c=，b==1，故橢圓C的方程為．…（2）方法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨設(shè)y1＞0．由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以．

（*）

…由已知T（﹣2，0），則，，∴=（x1+2）2﹣==．…由于﹣2＜x1＜2，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．由（*）式，，故，又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到．故圓T的方程為：．…方法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨設(shè)sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），則=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到．故圓T的方程為：．…（3）方法一：設(shè)P（x0，y0），則直線MP的方程為：，令y=0，得，同理：，…故

（**）…又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故，，…代入（**）式，得：．