微積分基礎(chǔ)知識演示文稿當(dāng)前第1頁\共有43頁\編于星期日\1點微積分基礎(chǔ)知識當(dāng)前第2頁\共有43頁\編于星期日\1點1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊)(下冊)3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程二、主要內(nèi)容多元微積分當(dāng)前第3頁\共有43頁\編于星期日\1點三、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?1.認識高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.會運用數(shù)學(xué)能力。2.學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí),天才在于積累.學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運用數(shù)學(xué)時,才能達到真正完善的地步.華羅庚當(dāng)前第4頁\共有43頁\編于星期日\1點3、極限的思維方法1）計算圓的周長圓內(nèi)接正n

邊形Or)當(dāng)前第5頁\共有43頁\編于星期日\1點當(dāng)前第6頁\共有43頁\編于星期日\1點abxyo3)計算曲邊梯形面積曲邊梯形面積為當(dāng)前第7頁\共有43頁\編于星期日\1點4)無窮級數(shù)當(dāng)前第8頁\共有43頁\編于星期日\1點具備的數(shù)學(xué)素質(zhì)：從實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型的能力計算與分析的能力了解和使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言和符號的能力使用數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力當(dāng)前第9頁\共有43頁\編于星期日\1點一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的對象的全體.組成集合的事物稱為該集合的元素.P（x)表示元素具有性質(zhì)

第0章基本知識當(dāng)前第10頁\共有43頁\編于星期日\1點2.鄰域:當(dāng)前第11頁\共有43頁\編于星期日\1點二、函數(shù)當(dāng)前第12頁\共有43頁\編于星期日\1點２．函數(shù)類別：顯函數(shù)y=f(x)

隱函數(shù)F(x,y)=0

參量函數(shù)初等代數(shù)函數(shù)(只含代數(shù)運算顯函數(shù)）分段表達函數(shù)單值函數(shù)多值函數(shù)基本初等函數(shù)（冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)）.當(dāng)前第13頁\共有43頁\編于星期日\1點(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo當(dāng)前第14頁\共有43頁\編于星期日\1點(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線當(dāng)前第15頁\共有43頁\編于星期日\1點有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)當(dāng)前第16頁\共有43頁\編于星期日\1點(4)取最值函數(shù)yxoyxo

在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).當(dāng)前第17頁\共有43頁\編于星期日\1點復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)y=f(u),uU，函數(shù)u=(x),xX,其值域為(X)={u\u=(x),xX

}U，則稱函數(shù)y=f[(x)]為x的復(fù)合函數(shù)。代入法當(dāng)前第18頁\共有43頁\編于星期日\1點復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①—復(fù)合映射的特例②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合當(dāng)前第19頁\共有43頁\編于星期日\1點注:復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.復(fù)合函數(shù)代入法當(dāng)前第20頁\共有43頁\編于星期日\1點

初等函數(shù)定義:由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合運算所構(gòu)成并可用一個式子表示的顯函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例：不是初等函數(shù)為初等函數(shù)不是初等函數(shù)為初等函數(shù)可表為故為初等函數(shù).當(dāng)前第21頁\共有43頁\編于星期日\1點雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).雙曲函數(shù)當(dāng)前第22頁\共有43頁\編于星期日\1點奇函數(shù),有界函數(shù),當(dāng)前第23頁\共有43頁\編于星期日\1點雙曲函數(shù)常用公式當(dāng)前第24頁\共有43頁\編于星期日\1點2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),當(dāng)前第25頁\共有43頁\編于星期日\1點當(dāng)前第26頁\共有43頁\編于星期日\1點奇函數(shù),當(dāng)前第27頁\共有43頁\編于星期日\1點三.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱A為上界，B為下界。(2)單調(diào)性為有界函數(shù).當(dāng)時,稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);稱為I

上的單調(diào)減函數(shù).當(dāng)前第28頁\共有43頁\編于星期日\1點(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當(dāng)必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記當(dāng)前第29頁\共有43頁\編于星期日\1點例1判斷函數(shù)的奇偶性.解：∴f(x)是奇函數(shù).例2設(shè)f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。證明：設(shè)顯然g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而

故命題的證.

當(dāng)前第30頁\共有43頁\編于星期日\1點(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)當(dāng)前第31頁\共有43頁\編于星期日\1點四.反函數(shù)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):當(dāng)前第32頁\共有43頁\編于星期日\1點2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)當(dāng)前第33頁\共有43頁\編于星期日\1點例1

證明若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)

x=f1(y),則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：∴反函數(shù)是奇函數(shù)。例2解:當(dāng)x0時,y1,當(dāng)x<0時,y<1,x=y-1,當(dāng)前第34頁\共有43頁\編于星期日\1點幾何解釋:

數(shù)列的極限(P6):數(shù)列xn當(dāng)n無限變大時，xn能無限制的接近唯一確定常數(shù)a當(dāng)前第35頁\共有43頁\編于星期日\1點n=5n=7n=11n=20當(dāng)前第36頁\共有43頁\編于星期日\1點如:唯一性,有界性,局部保號性,夾擠規(guī)則（兩邊夾）當(dāng)前第37頁\共有43頁\編于星期日\1點證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時,有收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時,假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時,故假設(shè)不真!滿足的不等式當(dāng)前第38頁\共有43頁\編于星期日\1點兩邊夾準(zhǔn)則證:

由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故當(dāng)前第39頁\共有43頁\編于星期日\1點兩邊夾法則.若則：當(dāng)前第40頁\共有43頁\編于星期日\1點例.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N

時,有因此該數(shù)列發(fā)散.當(dāng)前第41頁\共有43頁\編于星期日\1點例(P10)證明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),

則數(shù)列{Xn}收斂于a。證：對任ε>0,ヨK1,當(dāng)k>K1時X2k

落在[a-ε,a+ε]即滿足|Ｘ2k-a|≤ε…(1)

ヨK2當(dāng)k