2022年浙江省杭州市常春藤A-Level國(guó)際高中高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，已知四面體ABCD為正四面體，分別是AD,BC中點(diǎn).若用一個(gè)與直線(xiàn)EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）.A.1 B. C. D.2參考答案：A【分析】通過(guò)補(bǔ)體，在正方體內(nèi)利用截面為平行四邊形,有，進(jìn)而利用基本不等式可得解.【詳解】補(bǔ)成正方體，如圖.∴截面為平行四邊形,可得，又且可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面的位置關(guān)系，截面問(wèn)題，考查了空間想象力及基本不等式的應(yīng)用，屬于難題.2.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，它的周期是π，則（） A． f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，） B． f（x）在[，]上是減函數(shù) C． f（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)中心是（，0） D． f（x）的最大值是A參考答案：C考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的圖象；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專(zhuān)題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 由周期公式可先求ω，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸處取得函數(shù)最值，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，可得sin（φ+）=±1，代入可得φ=，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)檢驗(yàn)選項(xiàng)．解答： ∵T=π，∴ω===2，∵圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，∴sin（φ+×2）=±1，即×2+φ=+kπ，k∈Z，又∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=Asin（2x+）．再用檢驗(yàn)法逐項(xiàng)驗(yàn)證．故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，周期公式T=的應(yīng)用，三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，正弦函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最值，屬于中檔題．3.已知兩點(diǎn)，，則（

）A.12 B. C.13 D.參考答案：C【分析】直接利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可?！驹斀狻恳?yàn)閮牲c(diǎn)，，則，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用。4.三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系是(

) A．b<a<c B．a(chǎn)<c<b C．a(chǎn)<b<c D．b<c<a 參考答案：A略5.如圖在長(zhǎng)方體中，，分別過(guò)BC、的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，若，則截面的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.如圖為互相垂直的單位向量，向量可表示為A.

B．

C．

D．參考答案：D略7.下面選項(xiàng)正確的有（

）A.分針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)2π弧度；B.在△ABC中，若，則A=B；C.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；D.函數(shù)是奇函數(shù).參考答案：BD【分析】依次判斷各個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)正負(fù)角的概念可知錯(cuò)誤；由正弦定理可判斷出正確；根據(jù)函數(shù)圖象可判斷出錯(cuò)誤；由奇函數(shù)的定義可判斷出正確.【詳解】選項(xiàng)：分針為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每小時(shí)應(yīng)旋轉(zhuǎn)弧度，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：由正弦定理可知，若，則，所以，可知正確；選項(xiàng)：和在同一坐標(biāo)系中圖象如下：通過(guò)圖象可知和有且僅有個(gè)公共點(diǎn)，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，即

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)又為奇函數(shù)，可知正確.本題正確選項(xiàng)：，【點(diǎn)睛】本題考查與函數(shù)、三角函數(shù)、解三角形有關(guān)的命題的辨析，考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)奇偶性、角的概念、初等函數(shù)圖象、正弦定理的掌握情況.8.對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式：

①

②

③

④

其中正確的個(gè)數(shù)為

（

）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：略9.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，則面積最小值為(

)A.4 B.8 C.12 D.16參考答案：C【分析】設(shè)出直線(xiàn)方程，代入定點(diǎn)得到,再利用均值不等式得到三角形面積的最小值.【詳解】解:由題意設(shè)直線(xiàn)方程為,.由基本不等式知,

即(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立).又答案為C【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)截距式方程，利用均值不等式求最大最小值是?？碱}型.10.設(shè)ΔABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，，則角C等于（

）A． B． C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則

．參考答案：.

12.下列幾個(gè)命題①方程的有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則；②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；③函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)椋虎茉O(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，則函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；⑤一條曲線(xiàn)和直線(xiàn)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是，則的值不可能是1.其中正確的有__________________參考答案：略13.若f(x)＝，0<a<b<e，則f(a)、f(b)的大小關(guān)系為_(kāi)_______．參考答案：f(a)<f(b)略14.（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 令y=，u=log0.5（4x﹣3），必須滿(mǎn)足，解之即可．解答： ∵log0.5（4x﹣3）≥0，∴0＜4x﹣3≤1，解之得．∴函數(shù)y=的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋c(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域，掌握函數(shù)y=和y=logax的定義域是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且由一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)_________.參考答案：【分析】由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，可得，．因?yàn)闉橹苯侨切危傻?，所以，因此，結(jié)合幾何關(guān)系，可求得外接球的半徑，，代入公式即可求球的表面積?！驹斀狻勘绢}主要考查空間幾何體．由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，，，，．因?yàn)闉橹苯侨切?，因此或（舍）．所以只可能是，此時(shí)，因此，所以平面所在小圓的半徑即為，又因?yàn)椋酝饨忧虻陌霃?，所以球的表面積為．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，難點(diǎn)在于確定BC的長(zhǎng)，即得到，再結(jié)合幾何性質(zhì)即可求解，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，屬中檔題。16.數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是________

參考答案：17.已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足的x的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，）∪（，+∞）【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），根據(jù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性把該不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，解出即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），所以?f（|2x﹣1|）＜f（），又f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，所以|2x﹣1|＞，解得x＜，或x＞，所以x的取值范圍為，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（10分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求?R（A∩B）；（2）已知C={x|a﹣1＜x＜2a+1}，若C?B，求實(shí)數(shù)a的取值集合．參考答案：考點(diǎn)： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專(zhuān)題： 集合．分析： （1）先求出A∩B，然后再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可；（2）根據(jù)C?B列出關(guān)于a的不等式組即可，要注意C=?的情況．解答： 解：（1）因?yàn)锳={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}所以A∩B={x|3≤x＜6}，故?R（A∩B）={x|x＜3或x≥6}．（2）當(dāng)a﹣1≥2a+1，即a≤﹣2時(shí)，C=?，顯然符合題意，當(dāng)a﹣1＜2a+1即a＞﹣2時(shí)，由題意得，解得3≤a≤4．故此時(shí)3≤a≤4為所求．綜上，所求a的集合是{a|a≤﹣2或3≤a≤4}．點(diǎn)評(píng)： 本題以不等式為載體考查了集合運(yùn)算，同時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．19.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的值.參考答案：（1）；（2）4.【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再由及d求得通項(xiàng)公式即可．（2）利用前n項(xiàng)和公式直接求解即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.20.若|sinθ|=，且<θ<5π，

求：（1）tanθ的值；

（2）若直線(xiàn)的傾斜角為θ，并被圓（x-1）2+(y+1)2=5截得弦長(zhǎng)為4，求這條直線(xiàn)的方程參考答案：略21.(本題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)在(─1,1)上有定義,且.對(duì)任意x，y∈(─1,1)都有，當(dāng)且僅當(dāng)─1<x<0時(shí)，f(x)>0.

(1)判斷f(x)在(─1，1)上的奇偶性，并說(shuō)明理由;

(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

(3)試求的值.參考答案：(1)證明:取x=y=0Tf(0)=0,f(-x)+f(x)=f(0)=0Tf(-x)=-f(x),又定義域?qū)ΨQ(chēng),故f(x)是(-1,1)上的奇函數(shù).···············4分22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若，則Tn與Mn的大小關(guān)系是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先求出，，再利用數(shù)