2021年福建省福州市閩清縣高級中學高二數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知兩點、，且是與的等差中項，則動點的軌跡方程是（

）

A． B． C． D．參考答案：C略2.用秦九韶算法求n次多項式，當時，求需要算乘方、乘法、加法的次數分別為（

）A．

B．n,2n,n

C．0,2n,n

D．0,n,n參考答案：D3.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由離心率和abc的關系可得b2=4a2，而漸近線方程為y=±x，代入可得答案．【解答】解：由雙曲線C：（a＞0，b＞0），則離心率e===，即4b2=a2，故漸近線方程為y=±x=x，故選：D．4.以A(1,3)，B(－5,2)為端點的線段的垂直平分線方程是（ ）A. B. C. D.參考答案：B因為A（1，3），B（﹣5，1），所以AB的中點坐標（﹣2，2），直線AB的斜率為：，所以AB的中垂線的斜率為：﹣3，所以以A（1，3），B（﹣5，1）為端點的線段的垂直平分線方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．故選：B．

5.若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數”，現從1、2、3、4、5、6這六個數字中任取3個，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”的個數為A．120

B．80

C．40

D．20參考答案：C略6.若，則向量與的夾角為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A7.拋物線：的焦點坐標是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.設曲線在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=（）A．2 B． C． D．﹣2參考答案：D【考點】導數的幾何意義．【分析】（1）求出已知函數y在點（3，2）處的斜率；（2）利用兩條直線互相垂直，斜率之間的關系k1?k2=﹣1，求出未知數a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切線斜率為﹣∵切線與直線ax+y+1=0垂直∴直線ax+y+1=0的斜率為﹣a．∴﹣?（﹣a）=﹣1得a=﹣2故選D．【點評】函數y=f（x）在x=x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率，過點P的切線方程為：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）9.對于命題：，若用反證法證明該命題，下列假設正確的是（

）．A．假設a，b都不為0

B．假設a，b至少有一個不為0 C．假設a，b都為0

D．假設a，b中至多有一個為0參考答案：A用反證法證明命題“”時，假設正確的是：假設，都不為0．故選：A．

10.某校高二年級有10個班，若每個班有50名同學，均隨機編號1，2，…50，為了了解他們對體育運動的興趣，要求每班第15號同學留下來進行問卷調查，這里運用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．系統(tǒng)抽樣 C．隨機數表法 D．有放問抽法參考答案：B【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣，將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，預先制定的規(guī)則指的是：在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數即為抽樣編號．【解答】解：當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣，將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數即為抽樣編號．故選：B．【點評】本題考查系統(tǒng)抽樣，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l1：x+2y+1=0與直線l2：4x+ay-2=0垂直，那么l1與l2的交點坐標是_____參考答案：(，-)12.已知如下結論：“等邊三角形內任意一點到各邊的距離之和等于此三角形的高”，將此結論拓展到空間中的正四面體（棱長都相等的三棱錐），可得出的正確結論是：參考答案：正四面體內任意一點到各面的距離之和等于此正四面體的高。略13.拋物線的焦點坐標為

。參考答案：略14.在一個四棱錐的每個頂點處涂上一種顏色、并且使同一條棱上的兩端點異色。則恰好用四種顏色將這五個頂點涂上顏色的不同方法種數為（用數字作答）參考答案：4815.已知，,分別為其左右焦點,為橢圓上一點,則的取值范圍是_______.參考答案：略16.在長方體中，分別是棱的中點，若，則異面直線與所成的角為

參考答案：90°17.若向量的夾角為，，則參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設點C（x，y）是平面直角坐標系的動點，M（2，0），以C為圓心，CM為半徑的圓交y軸于A，B兩點，弦AB的長|AB|=4．（Ⅰ）求點C的軌跡方程；（Ⅱ）過點F（1，0）作互相垂直的兩條直線l1，l2，分別交曲線C于點P、Q和點K、L．設線段PQ，KL的中點分別為R、T，求證：直線RT恒過一個定點．參考答案：【考點】軌跡方程；直線與圓錐曲線的關系．【分析】（Ⅰ）設動點C的坐標為（x，y），根據弦AB的長|AB|=4，建立方程，化簡可得點C的軌跡C的方程；（2）設P、Q兩點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則點R的坐標為，可設直線l1的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可求點R的坐標為（1+，）．同理可得點T的坐標為（1+2k2，﹣2k），進而可確定直線RT的方程，即可得到結論．【解答】解：（Ⅰ）設動點C的坐標為（x，y），由題意得，，化簡得y2=4x，所以拋物線的標準方程為y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）設P、Q兩點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則點R的坐標為．顯然直線l1斜率存在且不為0，由題意可設直線l1的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入橢圓方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以點R的坐標為（1+，）．由題知，直線l2的斜率為﹣，同理可得點T的坐標為（1+2k2，﹣2k）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當k≠±1時，有，此時直線RT的斜率．所以，直線RT的方程為y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直線RT恒過定點E（3，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當k=±1時，直線RT的方程為x=3，也過E（3，0）．綜上所述，直線RT恒過定點E（3，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.（10分）已知，且，

（1）求的最小值；

（2）求證：.參考答案：解：（1）當且僅當，即時，取到最小值.證明：（2）（*）當且僅當，即，即，即，k*s5*u即時，（*）式取到等號.略20.設是定義在上的單調增函數，滿足，。求（1）（2）若，求的取值范圍。參考答案：解：（1）令得=2，所以=。--------------4分（2）令得=2=，----------------------------6分所以。由得，，-------8分所以--------------------------------------------------10分得：--------------------------------------------12分21.已知命題:,使得，命題:方程表示雙曲線。（1）寫出命題的否定形式（2）若命題為假，命題為真，求實數的取值范圍。參考答案：22.（本題13分）根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x1，x2，…，xk，…；y1，y2，…，yk，….(1)分別求數列{xk}和{yk}的通項公式；(2)令zk＝xkyk，求數列{zk}的前k項和Tk，其中k∈N*，k≤2007.參考答案：(1)由框圖，知數列{xk}中，x1＝1，xk＋1＝xk＋2，∴xk＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2007)由框圖，知數列{yk}中，yk＋1＝3yk＋2，∴yk＋1＋1＝3(yk＋1)∴＝3，y1＋1＝3.∴數列{yk＋1}是以3為首項，3為公比的等比數列，∴yk＋1＝3·3k－1＝3k，∴yk＝3k－1(k∈N*，k≤2007)．(2)Tk＝x1y1＋x2y2＋…＋xkyk＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]記Sk＝1