大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算演示文稿當(dāng)前第1頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)（優(yōu)選）大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算當(dāng)前第2頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)當(dāng)前第3頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或與同方向的單位向量可記作或零向量沒有方向，或者說其方向是任意的當(dāng)前第4頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量，叫做點(diǎn)M的向徑.即向量可以在空間中任意地平行移動，如此移動后仍被看成是原來的向量。本書中考慮的都是自由向量。當(dāng)前第5頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法當(dāng)前第6頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]定義減法當(dāng)前第7頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)三、向量與數(shù)的乘法當(dāng)前第8頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：兩個向量的平行關(guān)系當(dāng)前第9頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得當(dāng)前第10頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.當(dāng)前第11頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)例1化簡解當(dāng)前第12頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)例2試用向量方法證明：對角線互相

平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.當(dāng)前第13頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)當(dāng)前第14頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)當(dāng)前第15頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)一、向量在軸上的投影與投影定理當(dāng)前第16頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)當(dāng)前第17頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)證于是當(dāng)前第18頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.當(dāng)前第19頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)空間一點(diǎn)在軸上的投影當(dāng)前第20頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)空間一向量在軸上的投影

數(shù)當(dāng)前第21頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)關(guān)于向量的投影定理（1）證當(dāng)前第22頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)定理1的說明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；當(dāng)前第23頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）當(dāng)前第24頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的投影,

可得到類似的概念與性質(zhì)：當(dāng)前第25頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)當(dāng)前第26頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)由例1知當(dāng)前第27頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影當(dāng)前第28頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊地：當(dāng)前第29頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式當(dāng)前第30頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)解為直線上的點(diǎn)，當(dāng)前第31頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)由題意知：#當(dāng)前第32頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式當(dāng)前第33頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標(biāo)表示式當(dāng)前第34頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)當(dāng)時，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式當(dāng)前第35頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)方向余弦的特征特殊地：單位向量為當(dāng)前第36頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或當(dāng)前第37頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)解例4

設(shè)有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸的夾角分別為3p和4p，如果1P的坐標(biāo)為)3,0,1(，求2P的坐標(biāo).當(dāng)前第38頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)當(dāng)前第39頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)解當(dāng)前第40頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.四、小結(jié)（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）當(dāng)前第41頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)作業(yè)P3,

3,4P4,

5P10-11,

2,7,10,15,當(dāng)前第42頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)思考題當(dāng)前第43頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)思考題解答對角線的長為當(dāng)前第44頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)練習(xí)題當(dāng)前第45頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)當(dāng)前第46頁\共有50頁\編于星期二\21點(diǎn)練習(xí)題答案當(dāng)前第47頁\共有50頁\編