第第頁遼寧省高三模擬考試(文科)數(shù)學(xué)試卷-附帶答案解析班級(jí):___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)為其共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．3．設(shè)，，，若，，則的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．4．某校高三年級(jí)有1000人參加期末考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，且成績(jī)不低于140分的人數(shù)為100，則此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)高于100分的人數(shù)約為(

)A．700 B．800 C．900 D．9505．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使B．存在某個(gè)位置，使平面C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等6．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1B．設(shè)，且，則C．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高7．已知，，，則（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)則A． B． C． D．二、多選題9．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了10塊地作試驗(yàn)田.這10塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）互不相等，且從小到大分別為，則下列說法正確的有（

）A．的平均數(shù)可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度B．的標(biāo)準(zhǔn)差可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度C．可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度D．的中位數(shù)為10．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．11．泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡方程是B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5D．點(diǎn)所在的曲線與圓沒有交點(diǎn)12．如圖，在正方體中，，點(diǎn)P在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．點(diǎn)P在線段上C．平面D．直線AP與側(cè)面所成角的正弦值的范圍為三、填空題13．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)與橢圓的左、右焦點(diǎn)重合，且E的左、右焦點(diǎn)與T的左、右頂點(diǎn)重合，則E的離心率為______.14．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式________.①的最大值為2；②，；③是周期函數(shù)．15．在函數(shù)的圖像對(duì)稱中心中，與原點(diǎn)O最近的為點(diǎn)M，定點(diǎn)，則在上投影的數(shù)量是___________.16．已知函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根m，n，則的最大值是_________.四、解答題17．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列公差，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求A；(2)若，求．19．已知甲、乙兩組學(xué)生某次的測(cè)試成績(jī)分?jǐn)?shù)整理成如圖所示的莖葉圖.(1)求甲組的平均數(shù)，并求乙組的25%分位數(shù)；(2)現(xiàn)在老師想進(jìn)行試卷分析，在甲組中，，各找一人成績(jī)，組成一組，求79分、97分不全被選中的概率.20．如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，，底面是扇形，滿足，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.21．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，M（4，）是拋物線C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線C的方程；(2)P（a，b）（）為拋物線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與圓相切，這樣的直線l有兩條，它們分別交該拋物線C于A，B（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)．若直線l的方程為，當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．22．已知函數(shù)(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，.(2)若，，求a的取值范圍.參考答案與解析1．C【分析】利用交集定義即可求得【詳解】由，可得則故選：C2．B【分析】寫出共軛復(fù)數(shù)，代入中，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可化簡(jiǎn)，即可得虛部.【詳解】，虛部為-2故選：B．3．C【解析】先利用指、對(duì)數(shù)的關(guān)系把x、y分離出來，再轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值.【詳解】解：∵，，，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最大值為1.故選：C.【分析】基本不等式通常從以下方面考查：(1)應(yīng)用條件：一正、二定、三相等；(2)對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造基本不等式的應(yīng)用條件求最值.4．C【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解．【詳解】由題可知，x=140和x=100關(guān)于x=120對(duì)稱故此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)低于100分的人數(shù)為100故此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)高于100分的人數(shù)約為1000-100=900．故選：C．5．B【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對(duì)選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由題可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，故，，對(duì)于A，，，，若使，則需則需圓與直線有交點(diǎn)由于，畫出圖像如下圖所示，由圖可知無交點(diǎn)，故A不正確；對(duì)于B，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，又所以，若使平面，則需則需圓與直線有交點(diǎn)由于畫出圖像如下圖所示，由圖可知，圖像有交點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，，因?yàn)?，因?yàn)榉謩e為線段上的動(dòng)點(diǎn)，故三棱柱的高是變化的，故三棱錐的體積為不是定值，故C不正確；對(duì)于D，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知與不平行，故到的距離和到的距離不相等，故的面積與的面積不相等，故D不正確.故選：B6．B【分析】利用相關(guān)關(guān)系判斷A；由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B；由線性回歸直線的性質(zhì)判斷C；由殘差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義可知，A正確；對(duì)于B，由，知，即概率密度函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)線性回歸直線的性質(zhì)可知，C正確；對(duì)于D，根據(jù)殘差圖的意義可知，D正確；7．A【分析】，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出和的大小，從而可得出的大小關(guān)系，將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后作差，從而可得出的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】解：，令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增所以即所以即，所以由，得由，得因?yàn)樗?，所以所以，即所以綜上所述.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了比較大小的問題，考查了同構(gòu)的思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，有一定的難度.8．B【分析】本題可以對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行分開討論，時(shí)，函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，時(shí)，函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．【詳解】當(dāng)時(shí)，，即有兩式合并，可得是周期為4的函數(shù)既，當(dāng)時(shí)，，既綜上所述，．【點(diǎn)睛】若函數(shù)滿足，則函數(shù)為周期函數(shù)，周期為．9．BC【分析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、中位數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：標(biāo)準(zhǔn)差和極差都可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，故BC正確.故A錯(cuò)誤，中位數(shù)為，故D錯(cuò).故選：BC.10．ACD【分析】根據(jù)已知條件求得，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意可知，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，A正確.，C正確.，.D選項(xiàng)正確.故選：ACD11．BC【分析】對(duì)于A，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對(duì)于B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對(duì)于C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對(duì)于D，易判斷為交點(diǎn).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半所以，化簡(jiǎn)得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：聯(lián)立方程可得，解得，故存在所以直線：是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)：過P作PB垂直直線，垂足為B則由題可得，則則由圖可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離5，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)：由可得，即圓心為，半徑為1易得點(diǎn)P的軌跡與圓交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．BC【分析】對(duì)A，由面面平行說明；對(duì)B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由向量法說明，C，P三點(diǎn)共線；對(duì)C，由向量法證，再由線線垂直證平面；對(duì)D，由向量法求線面角，進(jìn)而討論范圍.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)P在平面內(nèi)，平面平面，所以點(diǎn)P到平面的距離即為點(diǎn)C到平面的距離，即正方體的棱長(zhǎng)所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，且，所以，，．因?yàn)椋?，所以，即，所以所以，即，C，P三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P在線段上，B正確；對(duì)于C，，，，，由因?yàn)椋?，平面，所以平面，C正確；對(duì)于D，，，平面的一個(gè)法向量為．設(shè)與平面的夾角為，為銳角其正弦值為．由，得，D錯(cuò)誤．故選：BC．13．2【分析】設(shè)雙曲線的焦距為，求出橢圓的焦點(diǎn)及左右頂點(diǎn)，根據(jù)題意求得，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)雙曲線的焦距為橢圓的焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為因?yàn)殡p曲線的左、右頂點(diǎn)與橢圓的左、右焦點(diǎn)重合，且E的左、右焦點(diǎn)與T的左、右頂點(diǎn)重合所以所以E的離心率.故答案為：2.14．(答案不唯一)【分析】寫出一個(gè)最大值是2，關(guān)于x=1對(duì)稱的周期函數(shù)即可.【詳解】由于是周期函數(shù)，所以考慮為正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)由，可知，的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱又的最大值為2，所以．故答案為：（答案不唯一）.15．【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖像對(duì)稱中心為，進(jìn)而可得，從而利用向量數(shù)量積的幾何意義即可求解在上投影的數(shù)量為.【詳解】解：由題意，令，可得所以函數(shù)的圖像對(duì)稱中心為所以與原點(diǎn)O最近的為點(diǎn)所以，所以在上投影的數(shù)量為故答案為：.16．【解析】畫出分段函數(shù)的圖象，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示由可得，所以，即不妨設(shè)，則令，則所以，令，則所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值及應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.17．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得，，利用裂項(xiàng)相消法求和【詳解】（1）由題意可得：整理得，則可得或故或.（2）∵，由（1）可得則故所以.18．(1)45°(2)【分析】（1）利用余弦定理求得.（2）結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)求得.【詳解】（1）由題設(shè)及余弦定理得．因?yàn)椋裕?）由題設(shè)及正弦定理得，可得由可知故．19．(1)，81；(2).【分析】（1）利用平均數(shù)的概念及百分位數(shù)的概念即得；（2）利用古典概型概率公式及對(duì)立事件概率公式即求.(1)由莖葉圖的數(shù)據(jù)可得甲組的平均數(shù)為因?yàn)?，所以乙組的25%分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)81；(2)記“79分、97分不全被選中”為事件A在甲組中，，各找一人成績(jī)，組成一組，基本事件有種等可能的結(jié)果，其中79分、97分全被選中的基本事件有4種故∴.20．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算作答.【詳解】（1）依題意，平面，平面，有，又點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，即有且平面，則平面，又平面所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)，的方向分別作為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則所以設(shè)平面的法向量為，則，取，得設(shè)直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.21．(1)(2)【分析】（1）由拋物線的定義可得，設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為，則由題意可得，，從而可求出，進(jìn)而可得拋物線方程（2）由直線l與圓相切可求得，當(dāng)不滿足，則，設(shè)這兩切線對(duì)應(yīng)的分別是，，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)，，將直線方程代入拋物線方程中，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)圓的圓心為，由題意可得，從而由斜率關(guān)系列方程求解即可(1)∵是拋物線上的一點(diǎn)∴．設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為∵，∴．∴解得，．所以，拋物線的方程是．(2)∵直線與圓相切∴，即．若，則過點(diǎn)和圓相切的一條直線平行于拋物線的對(duì)稱軸軸，不滿足條件，所以．∴．①設(shè)這兩切線對(duì)應(yīng)的分別是，，則有．設(shè)，．由方程組得，．∴②不妨令，，則，∴即．設(shè)圓的圓心為∵∴直線與的斜率存在，且都不為零，．由，得，即．∴，即．解得，．經(jīng)檢驗(yàn)，及相應(yīng)的和滿足①②．所以，實(shí)數(shù)的值為．22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到，構(gòu)造，求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性