2022-2023學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，的30%分位數(shù)為（

）A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3【答案】D【分析】利用百分位數(shù)定義求解.【詳解】數(shù)據(jù)已從小到大排列，共8個(gè)數(shù)，，即該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是從左往右第三個(gè)數(shù)，故選：D.2．點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足，則的面積與的面積之比是A． B．3 C． D．2【答案】A【詳解】延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)P，如圖所示：∵，得，即，∴，∴.3．已知，為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則①若，，且，則；②若，，且，則；③若，，，則；④若，，且，則；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】由且，可得，而垂直同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，故①正確；由于，，所以，又因?yàn)?，則，故②正確；若，，，則與平行或異面，故③錯(cuò)誤；設(shè)，在平面內(nèi)作直線，又因?yàn)?，則，又，所以，因?yàn)?，所以，從而有，故④正確.因此，真命題的個(gè)數(shù)是.故選：C4．已知，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】注意到，后結(jié)合，，利用二倍角，兩角和的正弦公式可得答案.【詳解】因，則，又，則，得.因，則.又，則，結(jié)合，則，得，則.又注意到，則.故選：B5．現(xiàn)要用隨機(jī)數(shù)表法從總體容量為240的研究對(duì)象中挑選出50個(gè)樣本，則在下列數(shù)表中按從左至右的方式抽取到的第四個(gè)對(duì)象的編號(hào)為（

）3245174491145621651002456896405681655464416308562105214845131254102145A．5 B．44 C．165 D．210【答案】D【分析】由隨機(jī)數(shù)表抽樣方法可知答案.【詳解】由隨機(jī)數(shù)表抽樣方法可知，以3個(gè)數(shù)字為單位抽取數(shù)字，且數(shù)字不能大于240，且要去掉重復(fù)數(shù)字，據(jù)此第一個(gè)數(shù)字為114，第二個(gè)為165，第三個(gè)為100，第4個(gè)為210.故選：D6．在中，，點(diǎn)是的重心，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，再令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選B.7．要得到函數(shù)的圖像，可由函數(shù)的圖像經(jīng)伸縮平移變換而成，則下列變換方式中正確的是（

）A．先將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮少為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將圖像向右平移個(gè)單位B．先將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮少為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將圖像向右平移個(gè)單位C．先將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖像向左平移個(gè)單位D．先將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖像向右平移個(gè)單位【答案】C【分析】根據(jù)先伸縮，再平移的變換規(guī)律，即可判斷.【詳解】函數(shù)的圖像所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，（縱坐標(biāo)不變）得，再將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù).故選：C8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在直線上，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．∥ B．平面C． D．存在點(diǎn)，使得平面∥平面【答案】D【分析】對(duì)于A，可證FM∥AC與∥AC，即可得出結(jié)果；對(duì)于B，，，可得，再結(jié)合線面垂直的定義與判定定理分析判定；對(duì)于C多次利用線面垂直的判定與性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，可證與相交，則平面BEF與平面CC1D1D相交．【詳解】對(duì)A，連接AC，∵F，M分別是AD，CD的中點(diǎn)，則FM∥AC又∵∥，，則為平行四邊形，即∥AC∴FM∥，A正確；對(duì)B，連接，∵，，即∴，即又∵⊥平面ABCD，平面ABCD，則，因?yàn)椋矫?，∴BM⊥平面，B正確；對(duì)C，分別連接，，，平面，平面，，，，且平面，平面，平面，，平面，平面，，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，故C正確；對(duì)D，∵F是AD的中點(diǎn)，則∥，=，則為梯形∴與相交，則平面BEF與平面相交，故D不正確；故選：D．二、多選題9．已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的敘述中，正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．【答案】ABC【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，即可判斷A、B、C的正誤，由正切函數(shù)及誘導(dǎo)公式求判斷D.【詳解】函數(shù)的大致圖象，如下圖示，由上圖象，易知：最小正周期為、上單調(diào)遞增、圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A，B，C正確，又，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.10．如圖所示，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．是鈍角三角形B．的面積是的面積的2倍C．是等腰直角三角形D．的周長(zhǎng)是【答案】CD【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用斜二測(cè)畫法的方法進(jìn)行求解判斷.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法可知，在原圖形中，O為的中點(diǎn)，，因?yàn)椋?，則是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示：所以的周長(zhǎng)是，面積是4，故A錯(cuò)誤，C，D正確.由斜二測(cè)畫法可知，的面積是的面積的倍，故B錯(cuò)誤.故選：CD.11．已知函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為且圖象關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)的對(duì)稱中心是C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可以由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】BC【分析】首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】函數(shù)，∴函數(shù)的最小正周期為，故A正確；令，即，函數(shù)的對(duì)稱中心是，故B錯(cuò)誤；時(shí)，，顯然在其上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；的圖象向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：BC12．劉徽注《九章算術(shù)?商功》“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也，合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣．”如圖一解釋了由一個(gè)長(zhǎng)方體得到“塹堵”、“陽(yáng)馬”、“鱉臑”的過(guò)程，塹堵是底面為直角三角形的直棱柱；陽(yáng)馬是一條側(cè)棱垂直于底面且底面為矩形的四棱錐；鱉臑是四個(gè)面都為直角三角形的四面體，在如圖二所示由正方體得到的塹堵中，當(dāng)點(diǎn)在下列四個(gè)位置時(shí)，分別形成的四面體中，是鱉臑有（

）A．中點(diǎn) B．中點(diǎn) C．中點(diǎn) D．中點(diǎn)【答案】AC【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，分別計(jì)算出三種情況下四面體的各邊長(zhǎng)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)以及勾股定理可判斷每種情況下各個(gè)三角形是否為直角三角形，即可選出正確答案.【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則由題意知，，，，對(duì)于A，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槊?，則，，則，，又，則，則是直角三角形，即此時(shí)是鱉臑；對(duì)于B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，由勾股定理可知，不是直角三角形，則此時(shí)不是鱉臑；對(duì)于C，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，由勾股定理可知，，是直角三角形，則此時(shí)是鱉臑；對(duì)于D，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，又，由勾股定理可知，不是直角三角形，則此時(shí)不是鱉臑；故選：AC.三、填空題13．若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)向量的夾角列式，從而求得的取值范圍.【詳解】依題意，向量與的夾角為鈍角，所以，解得且，所以的取值范圍是.故答案為：.14．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，由圖像可得函數(shù)周期從而得到，再將點(diǎn)代入，即可得到結(jié)果.【詳解】由圖像可知，，即，則，將代入可得，，即，，解得，，且，則，再將代入可得，可得，所以函數(shù)解析式為.故答案為:15．已知正方體的棱長(zhǎng)為6，則平面與該正方體內(nèi)切球的相交圓面積為______．【答案】【分析】作出圖形，得到相交圓面積即為正三角形內(nèi)切圓面積，計(jì)算即可.【詳解】正方體內(nèi)切球與正方體6個(gè)面相切于面對(duì)角線的交點(diǎn),則過(guò),三點(diǎn)的平面與該正方體內(nèi)切球截面為的內(nèi)切圓,正方體的棱長(zhǎng)為6,面對(duì)角線,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則的面積得,則對(duì)應(yīng)的面積為,故答案為：.16．已知平面向量，，滿足，，，且，則的最大值為________．【答案】/【分析】設(shè)，由題意分析知，所求為的最大值，設(shè)，的中點(diǎn)，由可得，即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所求為的最大值，?dāng)在同一平面時(shí)，有最大值，如圖建系，不妨設(shè)，的中點(diǎn)，由條件可知，，，，由可知，，消參可得：，即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，所以的最大值為，故的最大值為.故答案為：.四、解答題17．如圖，△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)已知，若D為△ABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求AD+DC的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)法一:利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得，再利用三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；法二:利用余弦定理得出，根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；(2)方法一：設(shè)，則，利用正弦定理得出，，然后利用輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.【詳解】（1）法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，面四邊形ABCD內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一:設(shè)，則，由正弦定理得，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.18．如圖，四棱錐中，平面，為正方形，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．(1)記過(guò)、、三點(diǎn)的平面與平面PBC的交線為，求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，，先判斷為，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理證明即可；（2）由線面垂直關(guān)系易證平面，進(jìn)而可得，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，可證平面，所以與平面所成角為，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，且，在正方形中，，則，即、、、四點(diǎn)共面，即為，又平面PAD，平面，所以平面.（2）由（1）知，、、、四點(diǎn)共面，則平面即為平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，?過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由平面，得，又，且平面，所以平面，所以與平面所成角為.在正方形中，，在中，，即，在中，，則，又，即，即，所以在中，，即與平面所成角的正弦值為.19．已知函數(shù)，其中.(1)若函數(shù)的周期為，求函數(shù)在上的值域；(2)若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值，并探究此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)最大值為，6個(gè)【分析】(1)根據(jù)正弦的二倍角公式和輔助角公式可得，利用求出，進(jìn)而求出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)題意和集合之間的關(guān)系求出；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可得出答案.【詳解】（1）由，

由周期為且，得，解得，即，由，得，故，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上為單調(diào)遞增．由題知，存在使得成立，則必有則，解得，故，所以的最大值為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).畫圖得：由圖知與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)共6個(gè)，即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè).20．如圖，三棱錐中，平面平面ACD，，，，點(diǎn)為棱AD的中點(diǎn)，．(1)求證：平面平面BCD；(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理得面，則有，，再利用勾股定理及其逆定理得到，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）取中點(diǎn)，連接，得到是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，最后利用余弦定理即可得到答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，則，面面，面面，又面，則面，面，則有，，為的中點(diǎn)，則，而，，，即有，則，而，面，于是面，面，面面.（2）取中點(diǎn)，連接，為中點(diǎn)，，，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中，，由（1）知，在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值是.21．如圖，四棱柱中，底面，四邊形為梯形，，且，為的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面記為.（Ⅰ）證明：平面與平面的交線平行于直線；（Ⅱ）若，，求平面與底面所成二面角的大小.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：(1)由題意可得平面與平面的交線為，利用面面平行的性質(zhì)即可證得結(jié)論；(2)利用題意做出二面角，計(jì)算可得平面與底面所成二面角的大小為．試題解析：（Ⅰ）如圖，延長(zhǎng),交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，又為的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，此時(shí)平面與平面的交線為，又平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，平面與平面的交線平行于直線；（Ⅱ）在梯形中，由題意可計(jì)算出，，，，進(jìn)而可計(jì)算，，說(shuō)明梯形是等腰梯形，所以有，進(jìn)一步可知為等邊三角形，連接、，則，又，所以，此時(shí)就是平面與底面所成二面角的平面角，在直角中，，所以，即平面與底面所成二面角的大小為.22．某玻璃工藝品加工廠有2條生產(chǎn)線用于生產(chǎn)某款產(chǎn)品，每條生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件該產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場(chǎng)評(píng)級(jí)規(guī)定：評(píng)分在10分及以上的為A等品，低于10分的為B等品．廠家將A等品售價(jià)定為2000元/件，B等品售價(jià)定為1200元/件．下面是檢驗(yàn)員在現(xiàn)有生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分：9.9510.129.969.9610.019.969.9810.0410.269.9110.1310.029.3410.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，．其中為抽取的第i件產(chǎn)品的評(píng)分，．該廠計(jì)劃通過(guò)增加生產(chǎn)工序來(lái)改進(jìn)生產(chǎn)工藝，已知對(duì)一條生產(chǎn)線增加生產(chǎn)工序每年需花費(fèi)2000萬(wàn)元，改進(jìn)后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評(píng)分均提高0.05.已知該廠現(xiàn)有一筆2000萬(wàn)元的資金．(1)若廠家用這2000萬(wàn)元改進(jìn)一條生產(chǎn)線，根據(jù)隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分，估計(jì)改進(jìn)后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)和方差；(2)某金融機(jī)構(gòu)