1.3.1函數(shù)的單調(diào)性

與導(dǎo)數(shù)（一）高二數(shù)學(xué)選修2-21（4）.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

（3）.三角函數(shù)：（1）.常函數(shù)：(C)/

0,(c為常數(shù))；

（2）.冪函數(shù)：(xn)/

nxn1一、復(fù)習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x1、x2∈G且x1＜x2時(shí)函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數(shù)；若f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。G稱為單調(diào)區(qū)間G=(a,b)二、復(fù)習(xí)引入:3oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分別是減函數(shù)。但在定義域上不是減函數(shù)。在（－∞，1）上是減函數(shù)，在（1,＋∞）上是增函數(shù)。在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)概念回顧畫出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間4(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；(2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對自變量x而言的。若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)間；若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。

以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1<x2的前提下,比較f(x1)<f(x2)與的大小,在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下,比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.5觀察:

下圖(1)表示高臺跳水運(yùn)動員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象,圖(2)表示高臺跳水運(yùn)動員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象.

運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn),以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別?aabbttvhOO①運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn),離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加,即h(t)是增函數(shù).相應(yīng)地,

②從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動員離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減少,即h(t)是減函數(shù).相應(yīng)地,(1)(2)6xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果恒有，則是常數(shù)。7注意：區(qū)間（a，b）一定在定義域內(nèi)。單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的正負(fù)函數(shù)及圖象xyoxyo切線斜率的正負(fù)xyo函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系？k>0k>0k<0k<0++--遞增遞減8函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系注意：應(yīng)正確理解“某個(gè)區(qū)間”的含義，它必是定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間。如果恒有，則是常數(shù)。9例1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息:當(dāng)1<x<4時(shí),當(dāng)x>4,或x<1時(shí),當(dāng)x=4,或x=1時(shí),試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.解:

當(dāng)1<x<4時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>4,或x<1時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)x=4,或x=1時(shí),

綜上,函數(shù)圖象的大致形狀如右圖所示.xyO14題型：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象10已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。分析：ABxyo23題型：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象11已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。分析：ABxyo23題型：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象解：的大致形狀如右圖：12例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(1)因?yàn)?所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)因?yàn)?所以當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.題型：求函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間13例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(3)因?yàn)?所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減.(4)因?yàn)?所以

當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.14練習(xí)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:15練習(xí)2.函數(shù)的圖象如圖所示,試畫出導(dǎo)函數(shù)圖象的大致形狀Oabcxy16總結(jié):

當(dāng)遇到三次或三次以上的,或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào)性問題時(shí)，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)法。①求定義域②求③令④作出結(jié)論1°什么情況下，用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間較簡便？2°試總結(jié)用“導(dǎo)數(shù)法”求單調(diào)區(qū)間的步驟？總結(jié)：注：單調(diào)區(qū)間不以“并集”出現(xiàn)。

173。證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的方法：(1)求f’(x)(2)確認(rèn)f’(x)在(a,b)內(nèi)的符號(3)作出結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例1變1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。理解訓(xùn)練：解：的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為解：的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為變3：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。變2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。