福建省漳州市初級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)均為常數(shù)，當(dāng)時取極大值，當(dāng)時取極小值，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：

因為，依題意，得

則點所滿足的可行域如圖所示（陰影部分，且不包括邊界），其中，，.表示點到點的距離的平方，因為點到直線的距離，觀察圖形可知，，又，所以，故選2.三棱錐及其三視圖中的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示，則棱SB的長為A.

B.C.

D.參考答案：

由正視圖和側(cè)視圖可知底面,底邊上的高為，所以為得為.3.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.

(x-3)2+()2=1 B.

(x-2)2+(y-1)2=1C.

(x-1)2+(y-3)2=1 D.

()2+(y-1)2=1參考答案：B略4.函數(shù)的定義域是A．(0,1］B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.［1,+∞)參考答案：答案：D解析：函數(shù)的定義域是，解得x≥1，選D.5.等軸雙曲線：與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，，則雙曲線的實軸長等于……………………（） A． B． C．4 D．8參考答案：C拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)時，，解得，因為，所以，所以，所以，所以雙曲線的實軸為，選C.6.是虛數(shù)單位，

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：答案：D7.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于,燈塔A在觀察站C的北偏東,燈塔B在觀察站C的南偏東，則燈塔A與燈塔B的距離為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.已知,則與的夾角為（A） （B）

（C）

（D）參考答案：C9.已知全集，集合，，則為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.設(shè)滿足約束條件，則的最大值是（

）A.

5

B.

6

C.

8

D.

10參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}中，a1=a2=1，且an+2﹣an=1，則數(shù)列{an}的前100項和為．參考答案：2550【考點】數(shù)列的求和．【分析】an+2﹣an=1，可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差為1．又a1=a2=1，分組利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：an+2﹣an=1，可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差為1．又a1=a2=1，∴S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=50×1++50×1+=2550．故答案為：2550．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.已知向量，若向量與共線，則向量在向量放心上的投影為

．參考答案：013.若函數(shù)（且）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：14.若拋物線（p>0）的焦點與雙曲線的左焦點重合，則的值為________

.參考答案：6略15.已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為

.參考答案：16.有下列四個命題：其中真命題的序號是__________.①等差數(shù)列{an}的前n項和為，若，則；②函數(shù)的最小值4；③函數(shù)在點(1,0)處的切線方程是；④函數(shù)的唯一零點在區(qū)間(1,2)上.參考答案：①③④【分析】對每一個命題逐一分析得解.【詳解】①設(shè),故該命題正確；②設(shè)，所以函數(shù)g(t)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為g(1)=5,所以該命題是假命題.③切線方程為y-0=x-1,所以該命題是真命題；④，所以函數(shù)在（1,2）上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的唯一零點在區(qū)間上.故該命題是真命題.故答案為：①③④【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.17.若x＞0，y＞0，x+3y=1，則+的最小值為

．參考答案：4考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：利用基本不等式，問題得以解決．解答： 解：（方法一）∵x+3y=1，∴+==2+=4．當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=等號成立．（方法二）+=（+）（x+3y）=2×=4．當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=等號成立．故答案為：4．點評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分別為AB、AA1的中點．（1）求證：直線EF∥平面BC1A1；（2）求證：EF⊥B1C．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）欲證直線EF∥平面BC1A1，只需證明EF平行平面BC1A1中的一條直線即可，由E、F分別為AB、AA1的中點，可知EF∥A1B，EF∥A1B?平面BC1A1，問題得證．（2）欲證EF⊥B1C，只需證明EF的平行線A1B垂直于B1C即可，也即證明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1，又須證明B1C垂直于平面BA1C1中的兩條相交直線，由三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC1，極易證明BC1⊥B1C，A1C1⊥B1C，而BC1，A1C1為平面BA1C1中的兩條相交直線，問題得證．【解答】解：（1）∵E、F分別為AB、AA1的中點，∴EF∥A1B∵EF?平面BC1A1，A1B?平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AC⊥CC1，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B由（1）知，EF∥A1B∴EF⊥B1C．19.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）若的最小值為2，求a的值；（2）若對，，使得不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)取介于和之間的數(shù)時，等號成立，故的最小值為，；（2）由（Ⅰ）知的最小值為，故，使成立，即，，.

20.已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+ax+m在[，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）如果函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于兩點A（x1，0）、B（x2，0）且0＜x1＜x2，求證：f'（sx1+tx2）＜0（其中正常數(shù)s，t滿足s+t=1，且s≤t）．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求導(dǎo)，由f′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即a≥﹣2x，構(gòu)造輔助函數(shù)，求得函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍；（2）求導(dǎo)，根據(jù)x的取值范圍，求得g（x）的極大值，即可求得g（x）的最值，函數(shù)f（x）+ax+m在[，e]內(nèi)有兩個不同的零點，則，即可求得實數(shù)m的取值范圍；（3）由f′（x）=﹣2x﹣a，又f（x）=0有兩個實根x1，x2，知兩式相減，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）=a（x1﹣x2）由此入手能夠證明：+ln＜0．（*）．從而可證g′（px1+qx2）＜0．【解答】解：（1）由題意可知：f′（x）=﹣2x﹣a≤0，即﹣2x﹣a≤0，則a≥﹣2x，令g（x）=﹣2x，x∈[1，+∞），g′（x）=＜0，g（x）＜0單調(diào)遞減，g（x）max=g（1）=﹣2=0，∴a≥0，實數(shù)a的取值范圍[0，+∞）；（2）數(shù)g（x）=f（x）+ax+m=2lnx﹣x2﹣ax+ax+m=2lnx﹣x2+m，求導(dǎo)g′（x）=﹣2x=，則x∈[，e]，∴當(dāng)g′（x）=0，x=1，當(dāng)＜x＜1時，g′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜e時，g′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在x=1時，取極大值，g（1）=m﹣1，又g（）=m﹣2﹣，g（e）=m+2﹣e2，g（e）＜g（），故函數(shù)g（x）在[，e]的最小值為g（e），函數(shù)f（x）+ax+m在[，e]內(nèi)有兩個不同的零點，則，解得：1＜m＜2+，故實數(shù)m的取值范圍：（1，2+]；（3）f（x）=2lnx﹣x2﹣ax，求導(dǎo)f′（x）=﹣2x﹣a∵，又f（x）=0有兩個實根x1，x2，∴兩式相減，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）=a（x1﹣x2）∴a=﹣（x1+x2），x1＞0，x2＞0，于是f'（sx1+tx2）=﹣2（sx1+tx2）﹣+（x1+x2），=﹣+（2s﹣1）（x2﹣x1）．∵q＞p，∴2q≥1，∵2p≤1，∴（2p﹣1）（x2﹣x1）＜0．要證：g′（px1+qx2）＜0，只需證：﹣＜0．只需證：+ln＜0．（*）令=q，∴（*）化為+lnq＜0，只證u（q）=lnq+＜0，即可．u′（q）=+=，∴t﹣1＜0．∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴u（t）＜u（1）=0∴u（t）＜0，∴l(xiāng)nq+＜0．即：+ln＜0．∴g′（px1+qx2）＜0．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查分析法證明不等式成立，考查計算能力，屬于難題．21.已知函數(shù)．(1)試說明函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的；(2)(理科)若函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性，并用反證法證明函數(shù)的最小正周期是；

(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．參考答案：解(1)∵，

∴．∴函數(shù)的圖像可由的圖像按如下方式變換得到：①將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像；②將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像；③將函數(shù)的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像．(說明：橫坐標(biāo)先放縮，再平移也可．即將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)，再將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，最后將函數(shù)的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像．)(2)(理科)由(1)知，，∴．

又對任意，有，∴函數(shù)是偶函數(shù)．∵，∴是周期函數(shù)，是它的一個周期．現(xiàn)用反證法證明是函數(shù)的最小正周期。反證法：假設(shè)不是函數(shù)的最小正周期，設(shè)是的最小正周期．則，即．令，得，兩邊平方后化簡，得，這與()矛盾．因此，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)的最小正周期是．

(3)(理科)先求函數(shù)在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍。當(dāng)時，，且．易知，此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；函數(shù)的取值范圍是．因此，依據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是；函數(shù)的值域是．22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，記函數(shù)在上的最大值為m，證明：.參考答案：（1