江蘇省南京市英華學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）． A． B． C． D．參考答案：C，繼續(xù)，，繼續(xù)，，繼續(xù)，，停止．輸出，故選．2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么z=2x+y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即A（1，2），此時(shí)z=1×2+2=4，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的計(jì)算，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=10，則輸出S=（）

A． B． C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的i值，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算輸出S的值．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=++…+的值，∵輸入n=10，∴跳出循環(huán)的i值為12，∴輸出S=++…+=++…+=（1﹣）×=．故選：B．4.若實(shí)數(shù)x、y滿足，且z=3x﹣y，則z的最大值為（）A． B．﹣ C．9 D．﹣3參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直線y=3x﹣z，由圖象可知當(dāng)直線y=3x﹣z經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，直線y=3x﹣z的截距最大，此時(shí)z最大．代入目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣y得z=2×3﹣0=9．即目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣y的最大值為9．故選：C．5.對于任意正整數(shù)n，定義“n!!”如下：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n!!=n?（n﹣2）?（n﹣4）…6?4?2，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n!!=n?（n﹣2）?（n﹣4）…5?3?1，且有n!=n?（n﹣1）?（n﹣2）…3?2?1則有四個(gè)命題：①?=2016?、?016！！=22018×1008?、?015！！的個(gè)位數(shù)是5④2014??！的個(gè)位數(shù)是0其中正確的命題有(

) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：D考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理．專題：推理和證明；排列組合．分析：利用雙階乘的定義判斷各個(gè)命題是解決該題的關(guān)鍵．關(guān)鍵要理解好雙階乘的定義，把握好雙階乘是哪些數(shù)的連乘積．解答： 解：根據(jù)題意，依次分析四個(gè)命題可得：對于①，?=（2?4?6?8…2008?2010?2012?2014?2016）?（1?3?5?7…2009?2011?2013?2015）=1?2?3?4?5…?2012?2013?2014?2015?2016=2016!，故①正確；對于②，2016!!=2?4?6?8?10…2008?2010?2012?2014?2016=21008（1?2?3?4…1008）=21008?1008!，故②正確；對于③，2015!=2015×2011×2009×…×3×1，其個(gè)位數(shù)字與1×3×5×7×9的個(gè)位數(shù)字相同，故其個(gè)位數(shù)字為5，故正確；對于④，2014!!=2?4?6?8…2008?2010?2012?2014，其中含有10，故個(gè)位數(shù)字為0，故正確；故選：D．點(diǎn)評：本題考查新定義型問題的求解思路與方法，考查新定義型問題的理解與轉(zhuǎn)化方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．注意與學(xué)過知識(shí)間的聯(lián)系．6.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是

（

）A.a＞c＞b

B.a＞b＞c

C.c＞a＞b

D.b＞c＞a參考答案：A略7.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，的方程為的兩根，則

（

）

A．16

B．32

C．64

D．256參考答案：答案：C

8.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則A．27

B．81

C．243

D．729

參考答案：C9.定義在（，0）（0，）上的奇函數(shù)，在（0，）上為增函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，圖像如圖所示，則不等式的解集為（

）A.

C.B.

D.

參考答案：答案:A10.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)到y(tǒng)

軸的距離為，則

（

）A．2

B．

C．3

D．4參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

在120°的二面角內(nèi)放一個(gè)半徑為6的球，與兩個(gè)半平面各有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的球面距離是

。參考答案：答案:2

12.若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在區(qū)間［0，］上的最大值是，則ω＝

參考答案：13.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則z＝x＋2y的最小值為___________。參考答案：5由題意可得可行域?yàn)槿鐖D所示（含邊界），，則在點(diǎn)處取得最小值.聯(lián)立，解得：代入得最小值5.答案為：5.

14.（04年全國卷III）用平面截半徑為R的球，如果球心到截面的距離為，那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為__________參考答案：答案：3:16

15.下列命題：①∈R，＞；②若函數(shù)f（x）＝（x－a）（x＋2）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為－2；③圓上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線kx－y＋2＝0對稱，則k＝2；④從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)的概率是,其中真命題是_____________（填上所有真命題的序號(hào)）．參考答案：略16.（5分）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則的最小值為．參考答案：2﹣2【考點(diǎn)】：基本不等式．【專題】：不等式．【分析】：把所給的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值解：==1﹣=1﹣，∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值為：，故答案為：2﹣2【點(diǎn)評】：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是整理出原式含有基本不等式的形式，可以應(yīng)用基本不等式求最值．17.經(jīng)過點(diǎn)A(－5,2)且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程

是________．參考答案：2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為豐富農(nóng)村業(yè)余文化生活，決定在A，B，N三個(gè)村子的中間地帶建造文化中心．通過測量，發(fā)現(xiàn)三個(gè)村子分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B和以邊AB的中心M為圓心，以MC長為半徑的圓弧的中心N處，且AB=8km，BC=4km．經(jīng)協(xié)商，文化服務(wù)中心擬建在與A，B等距離的O處，并建造三條道路AO，BO，NO與各村通達(dá)．若道路建設(shè)成本AO，BO段為每公里a萬元，NO段為每公里a萬元，建設(shè)總費(fèi)用為w萬元．（1）若三條道路建設(shè)的費(fèi)用相同，求該文化中心離N村的距離；（2）若建設(shè)總費(fèi)用最少，求該文化中心離N村的距離．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題：應(yīng)用題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）設(shè)∠AOB=θ，三條道路建設(shè)的費(fèi)用相同，則，利用三角變換求解．（2）總費(fèi)用，即，求導(dǎo)判斷極值點(diǎn)，令，再轉(zhuǎn)換為三角變換求值解決．解答：解：（1）不妨設(shè)∠AOB=θ，依題意得，且，由，若三條道路建設(shè)的費(fèi)用相同，則所以，所以．由二倍角的正切公式得，即，答：該文化中心離N村的距離為．（2）總費(fèi)用即，令當(dāng)，所以當(dāng)有最小值，這時(shí)，答：該文化中心離N村的距離為．點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)最值求解．19.（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為P，右頂點(diǎn)為Q，以F1、F2為直徑的圓O與橢圓C內(nèi)切，直線PQ與圓O相交得到的弦長為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l與以F1、F2為直徑的圓O相切，并且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求△AOB的面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由題意可知：P（0，b），Q（a，0），則直線PQ的方程：ay+bx﹣ab=0，則O到直線PQ的距離d==，由以F1、F2為直徑的圓O與橢圓C內(nèi)切，則b=c，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）討論直線AB的斜率不存在，求得△ABO的面積，若存在設(shè)直線AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），由圓O與直線l相切，得m2=k2+1．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出△AOB的面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：P（0，b），Q（a，0），則直線PQ的方程：ay+bx﹣ab=0，則O到直線PQ的距離d==，由以F1、F2為直徑的圓O與橢圓C內(nèi)切，則b=c，在△ODP中，根據(jù)勾股定理可知：（）2+（）2=b2，①由a2=b2+c2=2b2，②由①②解得：b2=1，a2=2，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB過橢圓的焦點(diǎn)，令x=1代入橢圓方程可得y=±，可得|AB|=，S△ABO=；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），∵圓O與直線l相切，∵=1，∴m2=k2+1．由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，即m2﹣2k2＜1，∴k2＞0．由韋達(dá)定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，則丨AB丨=?=?=?，△AOB的面積S=?丨AB丨?d=，令1+2k2=t（t＞1），可得k2=，則S==?=?＜．綜上可得，△AOB的面積的最大值為．【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的概念和性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查轉(zhuǎn)化和化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想和學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是中檔題．20.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖所示，點(diǎn)是圓直徑延長線上的一點(diǎn)，切圓于點(diǎn)，直線平分，分別交于點(diǎn)．求證：（1）為等腰三角形；（2）．參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析．（2）∵，∴，∵，∴，則，∴．考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．21.（12分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在x軸上的截距為．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)g（x）=f（2x）﹣f（x），求證：g（x）在R上單調(diào)遞增．參考答案：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切線在x軸上的截距為．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=ex﹣x2，則g（x）=e2x﹣ex﹣3x2，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=2e2x﹣ex﹣6x，令h（x）=2e2x﹣ex﹣6x，h′（x）=2e2x﹣ex﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴當(dāng)x＞ln時(shí)，h（x）遞增，當(dāng)x＜ln時(shí)，h（x）遞減，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面證明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），設(shè)d（x）=ln（x+1）﹣x，則d′（x）=，則d（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴d（x）≤d（0）=0，∴l(xiāng)n（x+1