8.5.1

直線與直線平行課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解并掌握基本事實(shí)4,并會(huì)應(yīng)用其解決相關(guān)直線與直線平行問(wèn)題.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)2.理解等角定理,并會(huì)應(yīng)用其解決有關(guān)問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'與DD'平行嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、直線與直線平行

文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線a,b,c,若a∥b,b∥c,則a∥c作用證明或判斷兩條直線平行說(shuō)明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別為CD,AD的中點(diǎn),則MN與A'C'的位置關(guān)系是

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解析:如圖所示,∵M(jìn),N分別為CD,AD的中點(diǎn),MNAC,由正方體的性質(zhì)可得ACA'C',∴MNA'C',即MN與A'C'平行.答案:平行激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)二、等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).名師點(diǎn)析

(1)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,并且方向相同(或相反),那么這兩個(gè)角相等;(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,并且一邊的方向相同,另一邊的方向相反,那么這兩個(gè)角互補(bǔ).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考

如圖,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD為菱形,∠ADC與∠A'D'C',∠ADC與∠D'C'B'的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?提示:∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平行線傳遞性的應(yīng)用例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1D1的中點(diǎn).求證:四邊形B1EDF是菱形.分析取B1C1的中點(diǎn)G,證明四邊形GEDD1,FB1GD1都是平行四邊形,從而得到四邊形B1EDF是平行四邊形,再證明B1E=B1F即可.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)證明:取B1C1的中點(diǎn)G,連接GD1,GE,則GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,∴四邊形GEDD1是平行四邊形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四邊形FB1GD1是平行四邊形,∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,∴四邊形B1EDF是平行四邊形,∴B1E=B1F,∴四邊形B1EDF是菱形.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

空間兩條直線平行的證明判斷兩條直線平行,除了平面幾何中常用的判斷方法以外,基本事實(shí)4,即平行線的傳遞性,也是判斷兩直線平行的重要依據(jù).解題時(shí)要注意中位線的作用.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1若直線a,b,c滿足a∥b,a,c異面,則b與c(

)A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線解析:若b∥c,由a∥b,知a∥c,這與a,c異面相矛盾,則b與c不可能平行,故選C.答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)等角定理的應(yīng)用例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)求證:∠B1M1C1=∠BMC.分析(1)通過(guò)基本事實(shí)4證明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1∥BM,同理證得C1M1∥CM,再由等角定理證得∠BMC=∠B1M1C1.也可以通過(guò)證明△BCM≌△B1C1M1證出∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)證明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分別為AD,A1D1的中點(diǎn),∴MM1AA1.又AA1BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)(方法一)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識(shí)可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角.∴∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(方法二)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,∴∠B1M1C1=∠BMC.反思感悟

證明角相等的常用方法證明角相等,利用空間等角定理是常用的思考方法;另外也可以通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等或相似來(lái)證明兩角相等.在應(yīng)用等角定理時(shí),應(yīng)注意當(dāng)兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或相反時(shí),這兩個(gè)角相等,否則這兩個(gè)角互補(bǔ).因此,在證明兩個(gè)角相等時(shí),只說(shuō)明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行是不夠的.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖,已知三棱錐A-BCD的四個(gè)面分別是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分別為線段AB,AC,AD上的點(diǎn),EF∥BC,FG∥CD.求證:△EFG∽△BCD.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)等角定理的應(yīng)用典例若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA與O1A1方向相同,則下列結(jié)論正確的是(

)A.OB∥O1B1,且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB與O1B1不平行D.OB與O1B1不一定平行解析:當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1時(shí),OA與O1A1的方向相同,OB與O1B1不一定平行,如圖所示,故選D.答案:D方法點(diǎn)睛在討論空間中兩條直線平行的位置關(guān)系時(shí),除了運(yùn)用等角定理外,也可以利用數(shù)形結(jié)合思想幫助求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB與∠A1O1B1(

)A.相等 B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ) D.以上均不對(duì)解析:由題意,兩角對(duì)應(yīng)邊平行,如果方向均相同或相反,那么兩角相等,如果一組對(duì)應(yīng)邊方向相同,另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反,那么兩角互補(bǔ).答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.如圖所示,在三棱錐S-MNP中,E,F,G,H分別是棱SN,SP,MN,MP的中點(diǎn),則EF與HG的位置關(guān)系是

(

)A.平行B.相交C.異面D.平行或異面解析:∵E,F分別是SN和SP的中點(diǎn),∴EF∥PN.同理可證HG∥PN,∴EF∥HG.答案:A探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,則∠A'O'B'為(

)A.130° B.50°C.130°或50° D.不能確定解析:根據(jù)定理,∠A'O'B'與∠AOB相等或互補(bǔ),即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為A1C1,AC和AB的中點(diǎn).