垂直是常見(jiàn)的兩直線的位置關(guān)系，常常以直角三角形為載體來(lái)編制綜合題，作為壓軸題出現(xiàn)．一是以直角三角形為背景，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線和動(dòng)面，來(lái)探究函數(shù)圖象問(wèn)題，探究最值問(wèn)題，探究開(kāi)放性問(wèn)題；二是探究直角三角形，如兩線垂直關(guān)系、等腰直角三角形等的存在性問(wèn)題．解題時(shí)需要畫(huà)出各種狀態(tài)圖形，觀察分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成兩直線垂直的基本圖形，利用勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，把各相關(guān)線段代數(shù)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題、方程問(wèn)題來(lái)解決，分析問(wèn)題時(shí)還需注意對(duì)圖形的分類(lèi)，一般以直角頂點(diǎn)來(lái)分類(lèi)．直角三角形中體現(xiàn)的分類(lèi)思想1．(2014·江西)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個(gè)銳角為60°，BC＝6.若P在直線AC上(不與點(diǎn)A，C重合)，且∠ABP＝30°，求CP的長(zhǎng)．【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分四種情況進(jìn)行討論，利用直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形或者用勾股定理進(jìn)行解答．解：分四種情況討論：①如圖1，當(dāng)∠C＝60°時(shí)，∠ABC＝30°，P點(diǎn)在線段AC上，∠ABP不可能等于30°，只能是P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，與條件相矛盾．

②如圖2，當(dāng)∠C＝60°時(shí)，∠ABC＝30°，P點(diǎn)在線段CA的延長(zhǎng)線上．∵Rt△ABC中，BC＝6，∠C＝30°，∴AC＝12BC＝12×6＝3.在△ABC和△ABP中，∵∠ABP＝∠ABC＝30°，AB＝AB，∠CAB＝∠PAB＝90°，∴△ABC≌△ABP，AC＝AP＝3，

∴CP＝AC＋AP＝3＋3＝6.

③如圖3，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，∠C＝30°，P點(diǎn)在線段AC上．∵Rt△ABC中，BC＝6，∠C＝30°，∴AB＝12BC＝12×6＝3.∵∠ABP＝30°，∴AP＝12BP，∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝60°－30°＝30°＝∠C，∴PC＝PB.∵在Rt△ABP中，

PB2＝AB2＋AP2，∴PB2＝32＋(12PB)2，解得PB＝23，∴PC＝PB＝23.

④如圖4，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，∠C＝30°，P點(diǎn)在線段CA的延長(zhǎng)線上．∵∠ABP＝30°，∠ABC＝60°，∴△PBC是直角三角形．∵∠C＝30°，∴PB＝12PC.在Rt△PBC中，PC2－PB2＝BC2，∵BC＝6，PB＝12PC，

∴PC2－(12PC)2＝62，解得PC＝43.綜上可知，CP的長(zhǎng)為23，43和6

2．(2013·哈爾濱)在△ABC中，AB＝22，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，連結(jié)CD，求線段CD的長(zhǎng)．

3．(2013·黃岡)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是梯形，其中A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q也同時(shí)從點(diǎn)B沿B→

C→O的路線以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)．以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

根據(jù)題意可知，0≤t≤3.當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OP＝2t，OQ＝（3）2＋（3－t）2，PQ＝（3）2＋[2t－（3－t）]2.過(guò)C作CD⊥OA于D，∴OD＝1，CD＝3，∴tan∠COP＝CDOD＝3，∴∠COP＝60°.∵∠POQ＜∠COP＝60°，∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°.若∠OPQ＝90°，則OP2＋PQ2＝OQ2，即4t2＋(3)2＋[2t－(3－t)]2＝(3)2＋(3－t)2，解得t＝1或t＝0(舍去)．若∠OQP＝90°，則OQ2＋PQ2＝OP2，即(3)2＋(3－t)2＋(3)2＋[2t－(3－t)]2＝4t2，解得t＝2.當(dāng)2＜t≤3時(shí)，點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，OP＝2t＞4，∠POQ＝∠COP＝60°，OQ＜OC＝2，∴此時(shí)△OPQ不可能為直角三角形．綜上可知，當(dāng)t＝1或t＝2時(shí)，△OPQ為直角三角形

按直角頂點(diǎn)分類(lèi)畫(huà)出圖形，利用直角三角形的勾股定理、三角形相似解決．直角三角形為背景的探究問(wèn)題1．(2013·梅州)用如圖①，②所示的兩個(gè)直角三角形(部分邊長(zhǎng)及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出)，完成以下兩個(gè)探究問(wèn)題：探究一：將以上兩個(gè)三角形如圖③拼接(BC和ED重合)，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P.(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠CFB的角平分線上時(shí)，連結(jié)AP，求線段AP的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中出現(xiàn)PA＝FC時(shí)，求∠PAB的度數(shù)．解：探究一：(1)依題意畫(huà)出圖形，如答圖1所示，由題意得∠CFB＝60°，F(xiàn)P為角平分線，則∠CFP＝30°，∵CF＝BC·tan30°＝3×33＝3，∴CP＝CF·tan∠CFP＝3×33＝1.過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG＝CG＝12BC＝32，∴PG＝CG－CP＝32－1＝12.在Rt△APG中，由勾股定理得AP＝AG2＋PG2＝102

(2)由(1)可知，F(xiàn)C＝3.如答圖2所示，以點(diǎn)A為圓心，以FC＝3長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC交于點(diǎn)P1，P2，則AP1＝AP2＝3.過(guò)點(diǎn)A過(guò)AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG＝12BC＝32.在Rt△AGP1中，cos∠P1AG＝AGAP1＝323＝32，∴∠P1AG＝30°，∴∠P1AB＝45°－30°＝15°；同理求得∠P2AG＝30°，∴∠P2AB＝45°＋30°＝75°，∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°

探究二：如圖④，將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M，N兩點(diǎn)，連結(jié)MN.在旋轉(zhuǎn)△DEF的過(guò)程中，△AMN的周長(zhǎng)是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

探究二：△AMN的周長(zhǎng)存在有最小值．如答圖3所示，連結(jié)AD.∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°.∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠MDA＝∠NDC.∵在△AMD與△CND中，??í?ì∠MAD＝∠C，AD＝CD，∠MDA＝∠NDC，∴△AMD≌△CND(ASA)，∴AM＝CN.設(shè)AM＝x，則CN＝x，AN＝AC－CN＝22BC－CN＝322－x.在Rt△AMN中，由勾股定理得MN＝AM2＋AN2＝x2＋（322－x）2＝（x－324）2＋94.△AMN的周長(zhǎng)為AM＋AN＋MN＝322＋（x－324）2＋94，當(dāng)x＝324時(shí)，有最小值，最小值為322＋94＝3＋322

直角三角形存在性問(wèn)題探究(一)動(dòng)點(diǎn)在直線上1．(2014·內(nèi)江)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－3，0)，C(0，4)，點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．(2)①當(dāng)∠BAM＝90°時(shí)，如圖1所示．易求直線AB的解析式為y＝12x＋32，拋物線的對(duì)稱軸為x＝52，∴xH＝xG＝xM＝52，∴yG＝12×52＋32＝114，∴GH＝114.∵∠GHA＝∠GAM＝90°，∴∠MAH＝90°－∠GAH＝∠AGM，∵∠AHG＝∠MHA＝90°，∠MAH＝∠AGM，∴△AHG∽△MHA，∴GHAH＝AHMH，解得MH＝11，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(52，－11)．②當(dāng)∠ABM＝90°時(shí)，如圖2所示．∵∠BDG＝90°，∴BG＝BD2＋DG2＝（52）2＋（54）2＝554.同理：AG＝1154.∵∠AGH＝∠MGB，∠AHG＝∠MBG＝90°，∴△AGH∽△MGB，∴AGMG＝GHGB，∴1154MG＝114554，解得MG＝254，∴MH＝MG＋GH＝254＋114＝9，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(52，9)．綜上可知，符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(52，9)和(52，－11)

2．(2014·襄陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x＝1交x軸于點(diǎn)B，連結(jié)EC，AC.點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為

，拋物線的解析式為

．(1，4)y＝－x2＋2x＋3∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，點(diǎn)A在DE上，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，4)．設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，把C(3，0)代入拋物線的解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a＝－1，故拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3

(2)在圖中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？(二)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上3．(2014·南充)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x－1交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－3，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)P是y軸左側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D.(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在點(diǎn)P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．(2)如答圖1，當(dāng)∠APD＝90°時(shí)，設(shè)P(m，m2＋4m－1)，則D(m，m－1)，∴AP＝m＋3，CD＝1－m，OC＝－m，CP＝1－4m－m2，∴DP＝1－4m－m2－1＋m＝－3m－m2.在y＝x－1中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，∴F(1，0)，∴OF＝1，∴CF＝1－m，AF＝42.∵PC⊥x軸，∴∠PCF＝90°，∴∠PCF＝∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，∴APCF＝DPCD，∴m＋31－m＝－3m－m21－m，解得m＝－1或m＝－3(舍去)，∴P(－1，－4)．如答圖2，當(dāng)∠PAD＝90°時(shí)，作AE⊥x軸于E，∴∠AEF＝90°，CE＝－3－m，EF＝4，AF＝42，PD＝1－m－(1－4m－m2)＝3m＋m2.∵PC⊥x軸，∴∠DCF＝90°，∴∠DCF＝∠AEF，∴AE∥CD，∴4－3－m＝42AD，∴AD＝2(－3－m)．∵△PAD∽△FEA，∴PDFA＝ADAE，∴3m＋m242＝2（－3－m）4，∴m＝－2或m＝－3(舍去)，∴P(－2，－5)．綜上可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－4)或(－2，－5)

4．如圖，拋物線y＝14x2－32x－4與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.

(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，14(x＋2)(x－8))．①如圖①，當(dāng)∠DBQ＝90°時(shí)，

QGGB＝BHHD＝12，8－x－14（x＋2）（x－8）＝12，解得

x＝6，此時(shí)Q(6，－4)．②如圖②，當(dāng)∠BDQ＝90°時(shí)，

QGGD＝DHHB＝2，4－14（x＋2）（x－8）－x＝2，解得x＝－2，此時(shí)Q(－2，0)

(三)動(dòng)點(diǎn)在圓周上5．(2013·寧波)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，0)，點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD.過(guò)P，D，B三點(diǎn)作⊙Q，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交⊙Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF.(1)求直線AB的函數(shù)解析式；設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx＋4，代入(4，0)得4k＋4＝0，∴k＝－1，∴直線AB的函數(shù)解析式為y＝－x＋4

(2)請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2∶1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)BD∶BF＝2∶1時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，∵∠DBO＋∠OBF＝90°，∠OBF＋∠BFH＝90°，∴∠DBO＝∠BFH，∵∠DOB＝∠BHF＝90°，∴△BOD∽△FHB，∴OBHF＝ODHB＝BDFB＝2，∴FH＝2，OD＝2BH，∵∠FHO＝∠EOH＝∠OEF＝90°，∴四邊形OEFH是矩形，∵OE＝FH＝2，∴EF＝OH＝4－12OD.連結(jié)EP，可證∠ADP＝∠CDO＝∠ODB，∵∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，∠ODB＝∠ABD＋∠OAB，∠DEP＝∠ABD，∴∠DPE＝∠OAB＝45°，

∴∠DFE＝∠DPE＝45°，從而可證DE＝EF，∴2＋OD＝4－12OD，解得OD＝43，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，43)，可求直線CD的解析式為y＝13x＋43，聯(lián)立方程組?íìy＝13x＋43，y＝－x＋4，解得?íìx＝2，y＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)．

6．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC＝2cm，∠ABC＝60°.(1)求⊙O的直徑；(2)若D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)CD，當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí)，CD與⊙O相切；(3)若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，連結(jié)EF，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為直角三角形．(1)⊙O的直徑為4cm

(2)當(dāng)BD長(zhǎng)為2cm時(shí)，CD與⊙O相切(3)根據(jù)題意得BE＝4－2t，BF＝t.如圖①，當(dāng)EF⊥BC時(shí)，△BEF∽△BAC，∴BE∶BA＝BF∶BC，即(4－2t)∶4＝t∶2，解得t＝1；如圖②，當(dāng)EF⊥BA時(shí)，△BEF∽△BCA，∴BE∶BC＝BF∶BA，即(4－2t)∶2＝t∶4，解得t＝1.6，∴當(dāng)t＝1s或t＝1.6s時(shí)，△BEF為直角三角形(四)動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上7．(2013·湖州)如圖①，在?AOBC中，sin∠AOB＝45，反比例函數(shù)y＝kx(k＞0，x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F.

(1)若OA＝10，求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且S△AOF＝12，求OA的長(zhǎng)和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E(如圖②)，點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PO，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)設(shè)OA＝a(a＞0)，過(guò)點(diǎn)F過(guò)FM⊥x軸于M，∵sin∠AOB＝45，∴AH＝45a，OH＝35a，∴S△AOH＝12·45a·35a＝625a2，∵S△AOF＝12,∴S?AOBC＝24，∵F為BC的中點(diǎn)，∴S△OBF＝6

，∵BF＝12a，∠FBM＝∠AOB

，同理可得FM＝25a，BM＝310a，∴S△BMF＝12BM·FM＝12·25a·310a＝350a2，∴S△FOM＝S△OBF＋

S△BMF＝6＋350a2，∵點(diǎn)A

，F(xiàn)都在y＝kx的圖象上，∴S△AOH＝S△FOM＝12k，∴625a2＝6＋350a2，∴a＝1033，∴OA＝1033，∴AH＝833，OH＝23，∵S?AOBC＝OB·AH＝24，∴OB＝AC＝33，∴C(53，833)

(3)存在三種情況：當(dāng)∠APO＝90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為P1(833，433)，P2(－233，433)；當(dāng)∠PAO＝90°時(shí)，P3(3493，433)；當(dāng)∠POA＝90°時(shí)，P4(－1693，433)

在動(dòng)態(tài)背景下的直角三角形存在性問(wèn)題，解題關(guān)鍵是以直角頂點(diǎn)分類(lèi)，畫(huà)出各種狀態(tài)圖，轉(zhuǎn)化為方程解決，列方程的方法常常用到勾股定理、三角形相似等．

等腰直角三角形問(wèn)題探究1．(2013·眉山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)C，D在y軸上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)M.(1)求這條拋物線的解析式；(2)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，E為直線