第5章參數(shù)估計與假設檢驗參數(shù)估計點估計區(qū)間估計假設檢驗參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗參數(shù)估計和假設檢驗參數(shù)估計和假設檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個組成部分，都是利用樣本對總體進行某種推斷，但推斷的角度不同。參數(shù)估計討論的是用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的方法。假設檢驗討論的是用樣本信息去檢驗對總體參數(shù)的某種假設是否成立的程序和方法。一、假設檢驗的一般問題1、什么是假設檢驗2、假設檢驗的基本思想3、雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗4、假設檢驗中的拒絕域和接受域5、假設檢驗的兩類錯誤6、假設檢驗的步驟1、什么是假設檢驗例1：根據(jù)1989年的統(tǒng)計資料，某地女性新生兒的平均體重為3190克。為判斷該地

1990年的女性新生兒體重與1989年相比有無顯著差異，從該地1990年的女性新生兒中隨機抽取30人，測得其平均體重為3210克。究竟是否存在顯著差異？這是一個關于總體均值的假設檢驗問題。參數(shù)假設檢驗舉例例2：某種大量生產(chǎn)的袋裝食品，按規(guī)定每袋重量不得少于250克，現(xiàn)從一批該種食品中任意抽取50袋，發(fā)現(xiàn)有6袋重量低于

250克。若規(guī)定食品不符合標準的比例達到5％就不得出廠，問該批食品能否出廠?這是一個關于總體比例的假設檢驗問題?？梢韵燃僭O該批食品的不合格率不超過5％，然后用樣本不合格率來檢驗假設是否正確。2、假設檢驗的基本思想所謂假設檢驗，就是事先對總體的參數(shù)

(或分布形式)提出一個假設，然后利用抽取的樣本信息來判斷這個假設（原假設）是否合理。假設檢驗又被稱為顯著性檢驗。假設檢驗采用邏輯上的反證法，它所依賴的原理是“小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的”。利用統(tǒng)計量的抽樣分布及其分位點來構(gòu)造小概率事件假設檢驗的基本思想0臨界值臨界值a

/2a

/2樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布：1

-

a置信水平3、假設檢驗的步驟提出假設，包括原假設H0和備擇假設H1

，（單邊檢驗，雙邊檢驗）；確定檢驗統(tǒng)計量及其分布，在原假設成立的條件下利用樣本數(shù)據(jù)計算統(tǒng)計量的值；給定顯著性水平a

，利用統(tǒng)計量分布的分位點確定拒絕域（構(gòu)造小概率事件）；做出判斷：看統(tǒng)計量的值是否落入拒絕域（小概率事件是否發(fā)生）。舉例：單正態(tài)總體均值的檢驗z

=

x

-

m0~

N

(0,1)s

n(1)s

已知：設x1

,x2

,,xn

是來自正態(tài)總體X的一個簡單隨機樣論，選用統(tǒng)計量ini

=1n本，樣本均值為x

=1

x

，根據(jù)單個總體的抽樣分布結(jié)(2)s

未知：選用統(tǒng)計量：t

=

x

-

m0s

/

n~

t(n

-1)假設雙邊檢驗單邊檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗原假設H0

:m

=

m0H0

:m

?

m0H0

:m

￡

m0備擇假設H1

:m

≠m0H1

:m

<

m0H1

:m

>

m0雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗的假設形式假設檢驗中的拒絕域和接受域給定檢驗的顯著性水平α后，根據(jù)統(tǒng)計量的概率分布及其分位點構(gòu)造小概率事件。與該小概率事件相對應的樣本統(tǒng)計量的取值范圍即為拒絕域；在統(tǒng)計量的取值范圍中，處于拒絕域以外的區(qū)域稱為接受域；對于正態(tài)總體，總體均值的假設檢驗可有如下圖示：雙側(cè)檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域）抽樣分布H0值臨界值臨界值a/2a/2樣本統(tǒng)計量拒絕域拒絕域接受域1

-

a置信水平左側(cè)檢驗左側(cè)檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域）H0值臨界值樣本統(tǒng)計量抽樣分布拒絕域1

-

aa接受域置信水平右側(cè)檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域）H0值臨界值樣本統(tǒng)計量抽樣分布拒絕域1

-

aa接受域置信水平總體均值的檢驗假設雙側(cè)檢驗 左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗假設形式H0

：

m

=m0H1：

m

?m0H0：

m

?m0H1：

m

<m0H0：

m

￡

m0H1：

m

>m0統(tǒng)計量s

已知：s

未知：拒絕域P值檢驗拒絕H0s

nz

=

x

-

m0z

>

z1-a

/

2t

<

-t1-az

>

z1-aP

<at

>

t1-a

/

2t

=

x

-

m0s

nz

<

-z1-at

>

t1-a假設檢驗的兩類錯誤根據(jù)假設檢驗做出判斷有下述四種情況：1、原假設真實， 并接受原假設，判斷正確；2、原假設不真實，且拒絕原假設，判斷正確；3、原假設真實， 但拒絕原假設，判斷錯誤；4、原假設不真實，卻接受原假設，判斷錯誤。錯誤有兩種類型：第一類錯誤：原假設H0為真時，檢驗結(jié)果把它拒絕了。犯這種錯誤的概率用α表示，也稱作棄真錯誤。第二類錯誤：原假設H0不為真時，檢驗結(jié)果把它接受了。犯這種錯誤的概率用β表示，也稱作取偽錯誤。假設檢驗的兩類錯誤正確決策和犯錯誤的概率可以歸納為下表：假設檢驗中各種可能結(jié)果的概率接受H0拒絕H0，接受H1H0

為真1-α（正確決策）α（棄真錯誤）H0

為偽β（取偽錯誤）1-β（正確決策）a

錯誤和b

錯誤的關系在樣本容量n一定的情況下，假設檢驗不能同時做到犯α和β兩類錯誤的概率都很小。若減小α錯誤，就會增大犯β錯誤的機會；若減小β錯誤，也會增大犯α錯誤的機會。要使α和β同時變小只有增大樣本容量。因此需要慎重考慮對兩類錯誤進行控制的問題。兩類錯誤的控制準則假設檢驗中普遍執(zhí)行準則：首先把犯第一類錯誤（棄真錯誤）的概率控制在很低的水平α；然后再盡量控制犯第二類錯誤（取偽錯誤）的概率β。（根據(jù)兩類錯誤提原假設?。┘僭O檢驗的步驟中以α為顯著性水平就體現(xiàn)了這一準則。假設檢驗中經(jīng)常把1-β（棄偽的概率），稱為檢驗的功效（Power）.總結(jié)：假設檢驗的步驟提出假設，包括原假設H0和備擇假設H1

，（單邊檢驗，雙邊檢驗）；確定檢驗統(tǒng)計量及其分布，在原假設成立的條件下利用樣本數(shù)據(jù)計算統(tǒng)計量的值；給定顯著性水平a

，利用統(tǒng)計量分布的分位點確定拒絕域（構(gòu)造小概率事件）；做出判斷：看統(tǒng)計量的值是否落入拒絕域（小概率事件是否發(fā)生）?！纠磕硻C床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗知道，以前加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為0.081mm，總體標準差為0.025mm。今換一種新機床進行加工，抽取n=200個零件進行檢驗，得到的橢圓度均值為0.076mm。試問新機床加工零件的橢圓度均值與以前有無顯著差異？（a＝0.05）Z01.96-1.96解：已知：m0

=0.081mm，s=0.025，n=200，x

=

0.076提出假設：假定橢圓度與以前無顯著差異H0:

m

=

0.081H1:

m

?

0.081a=0.05雙側(cè)檢驗a/2=0.025查表得臨界值:Z0.025=±1.96拒絕

H0

拒絕

H00.025

0.025得兩個拒絕域：(-∞,-1.96)和(1.96,∞)計算檢驗統(tǒng)計量值：Z=x-m0

=

0.076

-

0.081

=

-2.83s/

n

0.025

200決策:∵Z值落入拒絕域，∴在a=0.05的水平上拒絕H0結(jié)論:有證據(jù)表明新機床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異【例】一個汽車輪胎制造商聲稱，某一等級的輪胎的平均壽命在一定的汽車重量和正常行駛條件下大于40000公里，對一個由20個輪胎組成的隨機樣本作了試驗，測得平均值為41000公里，標準差為5000公里。已知輪胎壽命的公里數(shù)服從正態(tài)分布，我們能否根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出結(jié)論，該制造商的產(chǎn)品同他所說的標準相符？( =0.05)得拒絕域：(-∞,-1.7291)計算檢驗統(tǒng)計量值:t

=

41000

-

40000

=

0.8945000

20決策:∵t值落入接受域，∴在a=0.05的顯著性水平上接受H0結(jié)論:有證據(jù)表明輪胎使用壽命顯著地大于40000公里，可以認為該制造商的聲稱是可信的。-1.7291t0解：已知：m0=40000公里，s=5000，n=20，x

=

41000提出假設：假定平均壽命不低于40000公里H0:

m

?

40000H1:

m

<

40000a=0.05

左檢驗臨界值為負df=20-1=19得臨界值:-t0.05(19)=-1.7291拒絕域0.05【例】某研究者估計本市居民家庭的電腦擁有率為30%?，F(xiàn)隨機抽查了200個家庭，其中68個家庭擁有電腦。試問研究者的估計是否可信？(

在0.05的顯著水平下)Z01.96-1.960.025拒絕H0p

=

68

/

200

=

0.34np

=

200

·0.34

=

68

>

5,n(1

-

p)

=

200

·0.66

=132

>

5提出假設：假定估計可信H0:

P0=0.3H1:

p0?0.3a=0.05雙側(cè)檢驗a/2=0.025得臨界值:

Z0.025=±1.96拒絕H00.025解：已知：P0=0.3，n=200，得兩個拒絕域：(-∞,-1.96)和(1.96,∞)計算檢驗統(tǒng)計量值:z

=

0.34

-

0.3

=1.2340.3·0.7200決策:∵Z值落入接受域，∴在a=0.05的水平上接受H0結(jié)論:有證據(jù)表明研究者的估計可信【例】某公司估計有75%以上的消費

者滿意其產(chǎn)品的質(zhì)量。某調(diào)查公司受該公司委托調(diào)查此估計是否屬實?，F(xiàn)隨機抽查了625位消費者，其中表示對該公司產(chǎn)品滿意的有500人。試問該公司的估計是否屬實？(顯著水平=0.05)解：已知：P0=0.75，n=625，p

=

500

/

625

=

0.8,np

=

625·0.8

=

500

>

5,

n(1

-

p)

=

625·0.2

=125

>

5提出假設：假定滿意者不超過75％H

:

P￡0.750H1:

P>0.75a=0.05

右檢驗臨界值為正得拒絕域：(1.645,∞)計算檢驗統(tǒng)計量值:Z0得臨界值:Z0.05=1.645拒絕域0.051.645z=

0.8

-

0.75

=

2.8870.75·

0.25625決策:∵Z值落入拒絕域，∴在a=0.05的水平上拒絕H0，接受H1結(jié)論:有證據(jù)表明該公司的估計屬實P-值檢驗法：P-值：檢驗統(tǒng)計量取到比觀測到的統(tǒng)計量的值更為極端的數(shù)值的概率。以正態(tài)性檢驗為例：雙邊檢驗的p-值：p

-

value

=

P(|

Z

|>|

z*

|)任何一種檢驗都有對應的p-值；P-值越小(<a

)，拒絕原假設的理由越充分。中央財經(jīng)大學統(tǒng)計學院

30根據(jù)p值進行假設檢驗：雙側(cè)檢驗a

/2拒絕拒絕1.96-1.960Z1/2

p-值1/2

p-值雙側(cè)檢驗中p值

=

PH

(|

Z

|>

Z

)0

obs決策規(guī)則：p值<a時拒絕H0。使用統(tǒng)計軟件進行假設檢驗時通常會給出p值?；騊H

(|

t

|>

t

)0

obs-

ZobsZ

o

bs中央財經(jīng)大學統(tǒng)計學院

31根據(jù)p值進行假設檢驗：右側(cè)檢驗0tap-值右側(cè)檢驗中p值

=

PH

(t

>

t )

或P

(z

>

z

)0

obs

H0

obs拒絕決策規(guī)則：p值<a時拒絕H0。t

atobs非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗概述單樣本非參數(shù)檢驗兩個和多個樣本的非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗概述非參數(shù)檢驗（nonparametrictests）也稱為與總體分布無關的檢驗（distribution

free

tests）與參數(shù)檢驗相比，在非參數(shù)檢驗中不需要對總體分布的具體形式作出嚴格假設，或者只需要很弱的假設。大部分非參數(shù)檢驗都是針對總體的分布進行的檢驗，但也可以對總體的某些參數(shù)進行檢驗。非參數(shù)檢驗的特點非參數(shù)檢驗不需要嚴格假設條件，因而比參數(shù)檢驗有更廣泛的適用范圍。非參數(shù)檢驗幾乎可以處理包括定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)在內(nèi)的所有類型的數(shù)據(jù)，而參數(shù)檢驗通常只能用于定量數(shù)據(jù)的分析。在參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗都可以使用的情況下，非參數(shù)檢驗的功效（power）要低于參數(shù)檢驗方法。以下情況下應當首選非參數(shù)方法參數(shù)檢驗中的假設條件不滿足，從而無法應用。例如總體分布為偏態(tài)或分布形式未知，且樣本為小樣本時。檢驗中涉及的數(shù)據(jù)為定類或定序數(shù)據(jù)。所涉及的問題中并不包含參數(shù)，如判斷某樣本是否為隨機樣本，判斷某樣本是否來自正態(tài)分布等。對各種資料的初步分析。常用的非參數(shù)檢驗方法用于單個樣本的c2擬合優(yōu)度檢驗、K-S擬合優(yōu)度檢驗、中位數(shù)的符號檢驗;用于兩個匹配樣本的Wilcoxon符號秩檢驗;用于兩個獨立樣本的Wlicoxon秩和檢驗用于多個獨立樣本的Kruskal-Wallis檢驗。單樣本的非參數(shù)檢驗方法c2擬合優(yōu)度檢驗K-S擬合優(yōu)度檢驗中位數(shù)的符號檢驗1.1

單組分類變量的擬合優(yōu)度檢驗一種飲料的容器材料可以選擇玻璃、塑料或者金屬。為了比較消費者對包裝材料的偏好，抽樣調(diào)查了120名消費者發(fā)現(xiàn)，最喜歡玻璃、塑料和金屬容器的分別有55、25和40人。根據(jù)調(diào)查結(jié)果，能否認為消費者對3種材料的偏好程度是無差異的（顯著性水平a=0.05）？c2擬合優(yōu)度檢驗的基本原理如果消費者對3種材料的偏好程度是無差異的，也就是說消費者對材料的偏好服從均勻分布，則理論上來說，調(diào)查120名消費者，偏好每種材料的人數(shù)應該是相等的，也就是40人。各組觀測到的人數(shù)與理論人數(shù)（期望值）之間的差異應該都是由于抽樣的隨機性造成的，因此不應該太大。如果二者之間的差異特別大，則說明我們所作的假設（消費者對3種材料的偏好程度是無差異的）很可能不成立。檢驗統(tǒng)計量

k是樣本分類的個數(shù)，Oi

表示實際觀察到的頻數(shù)，

Ei

表示理論頻數(shù)。觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)越接近，則c

2

值越小。根據(jù)皮爾遜定理，當n充分大時，c

2統(tǒng)計量漸近服從于k-1個自由度的c

2分布。2i=1kEi(O

-

E

)2=

i

i

c1.2兩組分類變量的獨立性檢驗列聯(lián)表：“If

you

could

have

only

one

of

the

following,

which

would

you

pick:

money,

health,or

love?”H0：行變量與列變量是獨立的檢驗統(tǒng)計量：Oi：觀測頻數(shù)

Ei：期望頻數(shù)~

c2

((r-1)(c-1))2.單樣本K-S檢驗單樣本K-S檢驗是以兩位蘇聯(lián)數(shù)學家Kolmogorov和Smirnov命名的。K-S檢驗通過對兩個分布差異的分析確定能否認為樣本的觀察值來自所設定的理論分布總體?；驹砗蜋z驗統(tǒng)計量對每一個x值來說，如果經(jīng)驗分布函數(shù)與特定分布函數(shù)的擬合程度很高，則有理由認為樣本數(shù)據(jù)來自具有該理論分布的總體。檢驗統(tǒng)計量：Dmax

=

max

Fn

(x)

-

F

(x)根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的精確分布或漸進分布，可以根據(jù)假設檢驗的p值，得出檢驗的結(jié)論。定義D

=Fn

(x)-F

(x),ni其中：ni

=1I(x

￡

x

)1nF

(x

)

=3.單樣本中位數(shù)的符號檢驗在數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布的情況下，我們可能對總體的中位數(shù)更感興趣，希望對總體的中位數(shù)作出推斷，這時可以使用符號檢驗（sign

test）的方法。在非正態(tài)總體小樣本的情況下，如果要對總體分布的位置進行推斷，由于t檢驗不適用，也可使用符號檢驗的方法?！纠吭谀车貐^(qū)隨機調(diào)查了60個家庭的月收入（數(shù)據(jù)文件：家庭月收入.sav）。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)能否認為總體中家庭月收入的中位數(shù)等于6000元（顯著性水平a=0.05）？?

6000H1

:

M

e=

6000

?H

0

:

M

e符號檢驗的基本思想檢驗統(tǒng)計量S=

min(S+

,

S-

)在原假設成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量S服從二項分布。按照這個概率可以根據(jù)二項分布計算得到，從而得出檢驗的結(jié)論。當正號和負號個數(shù)之和大于25時，可以按照正態(tài)分布進行近似計算。兩個樣本和多個樣本的非參數(shù)檢驗兩個匹配樣本的Wilcoxon符號秩檢驗兩個獨立樣本的Wlicoxon秩和檢驗多個獨立樣本的Kruskal-Wallis檢驗秩（rank）秩就是一組數(shù)據(jù)按照升序排列之后，每個觀測值的位置。下面一行Ri就是上面一行數(shù)據(jù)Xi的秩。Xi159183178513719Ri75918426310秩（rank）的計算數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，稱為結(jié)（tie）。結(jié)中數(shù)字的秩為它們所占位置的平均值Xi159173178513719Ri758.518.542631028

+

9

=

8.54.

匹配樣本的符號秩檢驗【例】從實施適時管理（JIT）的企業(yè)中隨機抽取9家進行效益分析，得到它們在實施JIT前后三年的平均資產(chǎn)報酬率如表所示：在5％的顯著性水平下企業(yè)在實施JIT前后的資產(chǎn)報酬率是否有顯著差異？用樣本數(shù)據(jù)中對應的數(shù)值相減得到新的序列：零假設：差值總體的中位數(shù)=0；備擇假設：差值總體的中位數(shù)≠0。JIT前15.814.915.215.814.615.014.014.915.4JIT后14.615.515.514.714.815.214.815.015.5差值：-1.20.60.3-1.10.20.20.8-0.10.1Wilcoxon符號秩檢驗：基本原理分別計算出差值序列中正數(shù)的秩和W+以及負數(shù)的秩和W-。顯然，如果零假設成立，W+與W-應該比較接近。如果二者過大或過小，則說明零假設不成立。將正數(shù)的秩和或者負數(shù)的秩作為檢驗統(tǒng)計量，根據(jù)其統(tǒng)計分布計算p值，從而可以得出檢驗的結(jié)論。特別說明Wilcoxon符號秩檢驗既考慮差值的符號，又考慮差值的大小，因此在所需的假設條件滿足時其功效比符號檢驗高。Wilcoxon符號秩檢驗也可以用于單樣本中位數(shù)的非參數(shù)檢驗，這時只需要將第二個樣本的值設為零假設中的數(shù)值即可。5.兩個獨立樣本的Wlicoxon秩和檢驗在兩個獨立樣本的t檢驗不適用時，

Wlicoxon秩和檢驗可以作為一種替代的非參數(shù)檢驗方法使用。這一檢驗可以用來對兩個總體的中位數(shù)進行檢驗。零假設：兩個總體的中位數(shù)相等；備擇假設：兩個總體的中位數(shù)不相等?；驹砣绻麅蓚€總體具有相似的分布形狀，并且中位數(shù)相同，那么由m個x、n個y組成的m十n＝N個觀察值可以被看作來自同一總體的一個隨機樣本。將全部x和y從小到大排序確定每個數(shù)值的秩，然后計算m個x的秩的和、n個y的秩的和。由于抽樣的隨機性，x、y應較均勻地分布在混合排列的樣本中。如果零假設成立，在樣本量相同的情況下兩個秩和應該比較接近；樣本量不同的情況下平均秩和的平均秩應該比較接近。否則就說明兩個總體的中位數(shù)是不相等的。檢驗統(tǒng)計量由于對稱性，兩個秩和都可以用作Wilcoxon符號秩檢驗的檢驗統(tǒng)計量。SPSS軟件中使用的是平均秩較小的一組的秩和。統(tǒng)計量W的統(tǒng)計分布可以精確推導出來在樣本量較大時（m和n都不小于10）可以用正態(tài)分布來進行近似。得到p值之后，再通過比較p值和a的大小得出結(jié)論。相關說明由于Wilcoxon符號秩檢驗與Mann和Whitney提出的U檢驗完全等價，因此這種方法也被稱為

Wlicoxon-Mann-Whitne