17.2一元二次方程的解法第17章一元二次方程第1課時配方法滬科版八年級下學(xué)期課件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.運(yùn)用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.2.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關(guān)問題.(重點)3.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.(難點)讀詩詞解題：

(通過列方程，算出周瑜去世時的年齡。)

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物。而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)。

十位恰小個位三，個位平方與壽符。哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為x-3

x2-11x+30=0x2=10(x-3)+x情境導(dǎo)入1.如果

x2=a,則x叫做a的

.導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入平方根2.如果

x2=a(a≥0),則x=

.3.如果

x2=64,則x=

.±84.任何數(shù)都可以作為被開方數(shù)嗎？負(fù)數(shù)不可以作為被開方數(shù).講授新課直接開平方法一

問題：一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？解：設(shè)正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25，開平方得即x1=5，x2=－5.∵棱長不能是負(fù)值，∴正方體的棱長為5dm．x=±5，試一試：

解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根據(jù)平方根的意義，得x1=2,x2=-2.解:根據(jù)平方根的意義，得x1=x2=0.解:根據(jù)平方根的意義，得

x2=-1,∵負(fù)數(shù)沒有平方根，∴原方程無解.(2)當(dāng)p=0

時，方程(I)有兩個相等的實數(shù)根=0；(3)當(dāng)p<0

時,因為任何實數(shù)x，都有x2≥0

，所以方程(I)無實數(shù)根.探究歸納一般的，對于可化為方程x2=p,(I)(1)當(dāng)p>0

時，根據(jù)平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數(shù)根，；利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.歸納

例1

利用直接開平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接開平方，得（2）移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析在解方程(I)時，由方程x2=25得x=±5.由此想到:(x+3)2=5

，②得對照上面方法，你認(rèn)為怎樣解方程(x+3)2=5探究交流于是，方程(x+3)2=5的兩個根為上面的解法中，由方程②得到③，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.解題歸納例2

解下列方程：(1)即x1=3，x2=-1.解：移項，得

∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.∴x1=

，

x2=(2)解：

移項，得

兩邊都除以12，得∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5.1.能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？

如果一個一元二次方程具有x2=p或（x＋n)2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解.2.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明.探討交流配方的方法二問題1.你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究交流問題2.填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2-x+

=(x-

)2你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？222323424二次項系數(shù)為1的完全平方式：

常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.歸納總結(jié)想一想：x2+px+(

)2=(x+

)2配方的方法用配方法解方程三探究交流怎樣解方程:x2+6x+4=0(1)問題1

方程(1)怎樣變成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數(shù)為1的完全平方式：

常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.方法歸納在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.注意是在二次項系數(shù)為1的前提下進(jìn)行的.問題2

為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9？加其他數(shù)行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要點歸納像這樣通過配成完全平方式來解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定義配方法解方程的基本思路把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．配方法解方程的基本步驟一移常數(shù)項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);四直接開平方法解方程.例3

解下列方程：解：（1）移項，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,即移項和二次項系數(shù)化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?配方，得∵實數(shù)的平方不會是負(fù)數(shù)，∴x取任何實數(shù)時，上式都不成立，∴原方程無實數(shù)根．解：移項，得二次項系數(shù)化為1，得為什么方程兩邊都加12？即例4.試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k-2)2＋1∵(k-2)2≥0，∴(k-2)2＋1≥1.∴k2－4k＋5的值必定大于零.1.方程2x2-3m-

x+m2+2=0有一根為x=0，則m的值為（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.應(yīng)用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.練一練C解：（1）2x2-

4x+5=2(x-

1)2+3當(dāng)x=1時有最小值3.

（2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4當(dāng)x=2時有最大值-4.歸納總結(jié)配方法的應(yīng)用

類別

解題策略1.求最值或證明代數(shù)式的值為恒正（或負(fù)）對于一個關(guān)于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n為常數(shù)，當(dāng)a＞0時，可知其最小值；當(dāng)a＜0時，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構(gòu)成非負(fù)數(shù)和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.合作探究活動1：探究直接開平方解方程一般地,對于形如x2=a(a≥0)的方程,根據(jù)平方根的定義,可解得

,這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.知識回顧2.用直接開平方法解下列方程:(1)3x2－27=0;(2)(2x－3)2=7.1.方程的根是方程的根是方程的根是

x1=0.5,x2=－0.5x1＝3，x2＝－3x1＝2，x2＝－13.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2－81＝0（2）x2

＝50(3)(x＋1)2=4(4)x2＋2x＋5=0這種方程怎樣解？變形為的形式．（a為非負(fù)常數(shù)）變形為x2－4x＋1＝0（x－2）2=3活動2：探究用配方法解方程像這種先對原一元二次方程配方,使它出現(xiàn)完全平方式后,再用直接開平方法求解的方法叫做配方法.(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－4x＋

=(x－

)2(3)x2－___x＋9=(x－

)2填空配方時,等式兩邊同時加上的是一次項系數(shù)一半的平方.166342例用配方法解下列方程:(1)x2-4x-1=0;(2)2x2-3x-1=0.+(2)－x2＋4x－3=0(1)x2＋12x=－91.用配方法解下列方程：2.用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2－3k＋5的值必定大于零.

3.先用配方法解下列方程：（1）x2－2x－1＝0；（2）x2－2x＋4＝0；

（3）x2－2x＋1＝0；

然后回答下列問題：（1）你在求解過程中遇到什么問題？你是怎樣處理所遇到的問題的？（2）對于形如x2＋px＋q＝0這樣的方程，在什么條件下才有實數(shù)根？

1.一般地,對于形如x2=a(a≥0)的方程,根據(jù)平方根的定義,可解得

，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.

2.像這種先對原一元二次方程配方,使它出現(xiàn)完全平方式后,再用直接開平方法求解的方法叫做配方法.

注意:配方時,二次項系數(shù)化為1后，等式兩邊同時加上的是一次項系數(shù)一半的平方.課堂小結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟:移項:把常數(shù)項移