第五章習(xí)題課定積分一、有關(guān)定積分的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)二、關(guān)于定積分定義的題類(lèi)：求無(wú)限項(xiàng)和式或無(wú)限項(xiàng)積式的極限三、關(guān)于定積分性質(zhì)與積分上限函數(shù)的題類(lèi)四、關(guān)于定積分計(jì)算的題類(lèi)五、關(guān)于變量置換技巧運(yùn)用的題類(lèi)六、關(guān)于定積分證明的題類(lèi)七、關(guān)于反常積分的題類(lèi)問(wèn)題1:曲邊梯形的面積問(wèn)題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理反常積分定積分定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式baf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)主要內(nèi)容一、有關(guān)定積分的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)1.在定積分計(jì)算中作換元時(shí),有三換:換積分限——上限對(duì)上限，下限對(duì)下限.換被積函數(shù)換微分

dx

fi

j

(t

)dt【例如】4dx

2

2tdt1

+

x

令

x

=

t

1

1

+

t12.若被積函數(shù)中有完全平方的開(kāi)方運(yùn)算時(shí),則在去根號(hào)時(shí)需適當(dāng)?shù)丶诱?fù)號(hào).【例如】pp0

0221

-

sin

xdx

=

cos

xdx=

0cos

xdx

=

sin

xp00=ppp02021

-

sin

xdx

=

cos

xdx

=結(jié)果顯然錯(cuò)誤，因被積函數(shù)連續(xù)、非負(fù)，積分值必大于零.ppp220(-cos

x)dxcos

xdx

+不用回代，直接計(jì)算=

3.關(guān)于絕對(duì)值的積分，一定先把絕對(duì)值去掉.【例如】

323

20

0

22-

(

x

-

x

-

2)dx

+

(

x2

-

x

-

2)dx|

x

-

x

-

2

|

dx

=若是分段函數(shù)的定積分，則可根據(jù)積分區(qū)間的可加性，逐段積分.【例如】-1

sgn

xdx

=-1

0sgn

xdx

+

sgn

xdx=02

0

2

0

2-11

dx(-1)dx

+4.對(duì)稱(chēng)性的利用，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.0

，f

(

x)dx

，2f

(x)為偶函數(shù)

f

(x)為奇函數(shù)f

(

x)dx

=

0aa-a【例如】1-1-|x|(|

x

|

+

x)e dx

=1-11-1|

x

|

e dx

+-|x|xe

dx-|x|10=

2 |

x

|

e-|x|10dx

+

0

=

2xe

dx-

x=

2(1

-

2e-1

)【注】被積函數(shù)具有奇偶性，同時(shí)積分區(qū)間具有對(duì)稱(chēng)性才能應(yīng)用上述結(jié)論.=

15.若f

(x)為以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則f

(

x)dx

=a+TTaf

(

x)dx

①0分割

a+T+

+=a+TTa

a00

Ta+TT作代換

x

=

t

+

T，對(duì)積分區(qū)間長(zhǎng)為一個(gè)周期,則積分值與起點(diǎn)無(wú)關(guān).6.若f

(x)是連續(xù)函數(shù)，則【提示】0f

(t

)dt

必為f

(

x)的一個(gè)原函數(shù)

.奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù),偶函數(shù)的原函數(shù)中有一個(gè)為奇函數(shù).xF

(

x)

=f

(t

)dt

令

t

=

-u

可得證F

(-

x)

=0-

x而所有原函數(shù)為

F

(

x)

+

C偶函數(shù)＋非零常數(shù)＝偶函數(shù)奇函數(shù)＋非零常數(shù)＝非奇非偶函數(shù)二、關(guān)于定積分定義的題類(lèi)求無(wú)限項(xiàng)的和或無(wú)限項(xiàng)的積的極限題類(lèi)nnfi

￥n

(n

+

1)(n

+

2)(n

+

n)【例1】

求

lim

.【分析】顯然分子中乘積無(wú)法表達(dá)，若簡(jiǎn)化放大、縮小卻得不到相同的極限，只能往定積分方面考慮i【解】

原式

=

enfi

￥

n

i

=1ln(1+

)n1

lim10n

=

eln(1+

x

)dx2

ln

2-1=

e4e=21

ln

xdx2

ln

2-14e=nn或 原式

=

enfi

￥

n

i

=11

ilim

ln(1+

)xi=

e

=

e【觀察練習(xí)】立即說(shuō)出下列極限的結(jié)果22

=

(

)2

22n

+

n

n

+

2nn

nnfi

￥

n

+

1+ +

+極限lim2(B)

1

(C)

p4(D)

p2這種n項(xiàng)和的極限(n→∞)可考慮化為定積分來(lái)求。若求某些n項(xiàng)積的極限，可先取對(duì)數(shù)后，化為n項(xiàng)和的形式，再考慮用定積分求之。(參見(jiàn)《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》P86—P87例1—例3)(A)

0【說(shuō)明】三、關(guān)于定積分性質(zhì)與積分上限函數(shù)的題類(lèi)【例1】比較

1(

1

+

x)dx22

2e

dx

,e dx

,1

1

x2xx2【解】

在[1,2]上

ex

￡

e

顯然而利用注意到則得2xexe

=

1

+

x

+

2!

xex又有

>

1

+

x11

2f

(

x)dx

=

-2f

(

x)dx

112

2

2e dx

>

e

dx(

1

+

x)dx

>1

x2x【說(shuō)明】由于e

x2

的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表出,因此用具體計(jì)算的方法是無(wú)法進(jìn)行比較的,只能利用定積分性質(zhì)比較被積函數(shù)之間的大小關(guān)系.【例2】設(shè)在區(qū)間

[-d，d]內(nèi)，|

f

(

x)

|￡

x2

,

f

(

x)

>

0,d-d則

I

=

f

(

x)dx

(

)A.=0

B.>0C.<0

D.不定【解】由泰勒公式和已知f?(x)>0,得f

(

x)

=

f

(0)

+

f

￠(0)

x

+

f

(x)

x22!由條件

|

f

(

x)

|￡

x2

f

(0)

=

0>

f

(0)

+

f

(0)xx

?

[-d

,d],

x

?

0f

(

x)dx

>-dI

=d￠d-df

(0)

x

dx奇函數(shù)由定積分比較性質(zhì)有=0

故選B.dtx

ln(1

+

t

3

)lim ax

-sin

x

=c

?0,求a,b,c.tb【例4】已知xfi

0+【解】由分子極限為0和整個(gè)分式的極限存在不為0，可知分母的極限必為0，從而b=0,于是應(yīng)用洛必達(dá)法則lim ax

-

sin

x

=

lim

a

-

cos

x

xfi

0+dt0t

xx

ln(1

+

t

3

)

xfi

0+

ln(1

+

x3

)ln(1

+

x3

)=

lim

x(a

-

cos

x)xfi

0+ln(1

+

x3

)xfi

0+x3

x2=

lim

x(a

-

cos

x)

=

lim

x(a

-

cos

x)

=

lim

a

-

cos

xxfi

0+

xfi

0+同理，由分母極限為0，且整個(gè)分式極限存在，分子極限必為0，則a

=1.原式=lim

1

-cos

x2xfi

0+x21

x2x+xfi

0=

lim

2

故，a

=1,b=0,c

=1/2.=

c=12x2

+12 1+t

2t

e

dt.【例5】

計(jì)算

dx

sin

xd【解】因t

2e1+t

2

連續(xù)，則x2

+1sin

x2 1+t

2t

edxd22dt

=

(

x2

+

1)2

e1+(

x

+1)cos

xx2(2

x)

-

sin2

xe1+sin【特別注意】(a,b為常數(shù))f

(t

)dt

=

0

?

f

(b)dxdba(-1)dt

=

-

x,

x

<

01dt

=

x,

x

>

0x

=0

易見(jiàn)F(x)=|x|在x

=0F

(

x)

=0000

00f

(t

)dt

=f

(t

)dt

=

0,xf

(t

)dt

=xx

x1,x

>

0【例6】設(shè)

f

(

x)

=

0,

x

=

0

,-

1,

x

<

0f

(t

)dt

,F

(

x)

=0x問(wèn)F(x)在

x

=

0

處

(

)A.不連續(xù)C.可導(dǎo)且F￠(x)=f

(x)B.連續(xù)但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)但F￠(x)未必等于f

(x)【分析】因f

(x)在x

=0

處不連續(xù)，故不能用變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式.【解】處連續(xù)，且xfi

0++

-x

xF

￠(0)

=

lim

F

(

x)

-

F

(0)

=

1

F

￠(0)

=

lim

F

(

x)

-

F

(0)

=

-1xfi

0-由于F+

(0)?

F-

(0)故F(x)在x

=0

處不可導(dǎo).選B即可,再注意到定積分f

(t

)dt

為一常數(shù).【例7】設(shè)f(x)連續(xù),且滿(mǎn)足f

(t

)dt

,10f

(

x)

=

x

+

2求f

(x).【分析】由已知條件,為求f

(x),【解】

令實(shí)際上只需求出10f

(t

)dt10f

(t

)dt

=10[t

+

2m]dt

=

m10f

(t

)dt

=

m10①

f

(

x)

=

x

+

2m

②②代入①(或②兩端同時(shí)在[0,1]上定積分)，得m

=

-

1

故

f

(

x)

=

x

-

1

.2《高數(shù)指導(dǎo)》P99

1(4)題3【例8】設(shè)f

(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且12

3f

(

x)dx

=

f

(0)證明:

在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)

c

，使

f

(c)

=

0【解】因f(x)在[0,1]上連續(xù)，由積分中值定理得3f

(

x)dx

=

3

f

(x)(1

-

2)

=

f

(x)

=

f

(0)312

33x

?

[2

,1]則f

(x)在[0,ξ]上滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件,于是$

c?(0,ξ)

(0,1),使f￠(c)=0.【同步練習(xí)】設(shè)f

(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且f

(1)=xf

(

x)dx

,10證明：$x

?

(0,1)

使

x

f

(x)

+

f

(x)

=

0【例1】求(1)四、關(guān)于定積分計(jì)算的題類(lèi)2-2|

x

|

e dx;-|x|x

1

-

cos

xdx

;(2)-

2p2p-

4pp(3)

4

cos

x(1

+

sin

2

x)dx

.【分析】由于被積函數(shù)均為對(duì)稱(chēng)區(qū)間,故先驗(yàn)證被積函數(shù)的奇偶性【解】(略)利用奇偶性【例2】計(jì)算1

-

cos2

x

dx

;2p0【分析】由于指定區(qū)間為[0,2p],故開(kāi)方后考慮正負(fù)號(hào).02

1

-

cos

x

dx

=p2p

p

2p0sin

x

dx

+

(-sin

x)

dx=

【例3】計(jì)算2(sin

x)(1

+

sin

x)

dx

;e+2pe【分析】注意被積函數(shù)是以2p為周期的函數(shù),而積分區(qū)間長(zhǎng)恰為2p,故與起點(diǎn)e無(wú)關(guān).【解】

原式＝【解】2p0p0=

22sin

xdx=

降冪法=p-p【例４】求sin

x2

[11-2+

ln2

(1

-

x)]dx.x8

+

1【解】ln(1

-

x)dx原式=0

+12-21ln(1

-

x)dx=1200-21ln(1

-

x)dx

-12

2

2=

3

ln

3

+

ln

.對(duì)稱(chēng)區(qū)間奇偶性、開(kāi)偶次方分部積分法120

02(

x

-

1)

f

(

x)dx.-

y

+2

ye

dy,求【例５】設(shè)f

(x)=x【解】原式=002(

x

-

1)

[1

x2e

dy]dx-

y

+2

y10

31e dy]0

-0313=

1[ (

x

-

1)dx(

x

-

1)

e3

-

x

2

+2

xx-

y2

+2

y=

-102-

1)

]162d[(

x(

x

-

1)

e2

-(

x-1)

+1-令(

x

-

1)2

=

u

e601ue-u1du

=

-

(e

-

2).6【分析】本題屬于被積函數(shù)中含有“變上限積分”的積分類(lèi)型：且變上限積分為”積不出來(lái)”的積分,則f

(x)無(wú)初等形式表達(dá)式.如圖，曲線C的方程為y

=f

(x)，點(diǎn)（3,

2）是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線l1與l2分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,

4).設(shè)函數(shù)f

(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分【例６】302￠(

x

+

x)

f

(

x)dx2005.Ⅰ考研C2234xoy4l1l2y=

f(x)【解】302￠(

x

+

x)

f

(

x)dx￠(2

x

+

1)

f300=

(

x2

+

x)

f

￠(

x)

3

-(

x)dx￠(2

x

+

1)

f

(

x)dx=

-30003f

￠(

x)dx=

-(2

x

+

1)

f

￠(

x)

3

+

2f

￠(

x)dx30=

-[7

·(-2)

-

2]

+

20=

16

+

2

f

(

x)

3=

16

+

4

=

20五、關(guān)于變量置換技巧運(yùn)用的題類(lèi)【例1】02

2tf

(x

-t

)dt

,其中f

(x)連續(xù).計(jì)算dxdx【解】02-

t

)dt2tf

(

xx1202f

(

x2

-

t

2

)dt=xf

(

x2

-

t

2

)d

(

x2

-

t

2

)u

=

x2;

t

=

x

fi

u

=

0.120=

-x令x2

-t

2

=u,t

=

0

fi0xtf

(

x2

-

t

2

)dtf

(u)du

=1202=

-x0x2f

(u)du12故0xtf

(

x2

-

t

2

)dt=dxdf

(u)dux20dx

2d

12=

1

f

(

x2

)(2

x)

=

xf

(

x2

)【例2】若f

(x)為已知連續(xù)函數(shù)，I

=tstf

(tx)dx0其中t

>

0,

s

<

0,則I的值

(

)A.依賴(lài)于s

和tC.依賴(lài)于t

和x,不依賴(lài)于sB.依賴(lài)于s

,t

,xD.依賴(lài)于s

,不依賴(lài)于t【分析】先作變量代換,將被積函數(shù)中所含的參變量

t

作處理,而后再作考察.su

=

0;

x

=

t

fi

u

=

s于是【解】令

tx

=

u,

則

tdx

=

du

,

x

=

0

fisI

=0f

(u)du由此可見(jiàn),積分值依賴(lài)于s

,不依賴(lài)于t,故選D.【例3】設(shè)f

(

x)

=

ln

t

dt

,

(

x

>

0)

,

求f

(

x)

+

f

(

1

)

.x1

1

+

t

x【解】

f

(

x)

+

f

(

)

=

x

1

1

+

t1

x

ln

tdtdt

+1x11

+

tln

t1

+

t1xln

t1dt

====

uu2111

(-

)du11

+1x

ln

u令t

=uu(1

+

u)ln

u1=xdu

=1f

(

x)

+

f

(

x

)+=x]dt1

+

t

t(1

+

t

)ln

tln

t1[=xdttln

t1=xln

t

d

(ln

t

)12ln2

x2ln2

tx1==t(1

+

t

)ln

t1xdt【例1】若f

(x)連續(xù)，證明【證】ppp2xf

(sin

x)dx

=①積分區(qū)間的分割性質(zhì)②換元法③定積分與積分變量無(wú)關(guān)的特性六、關(guān)于定積分證明的題類(lèi)1.等式證明題，2.不等式證明題【總結(jié)】定積分的證明題,一般用到以下幾種方法：00f

(sin

x)dx令x=p

-t====0(p

-

t

)

f

(sin(p

-

t

))(-dt

)pp=

p0p-0tf

(sin

t

)dt

=pp20f

(sin

x)dx證完f

(sin

t

)dt再現(xiàn)【分析】f

(x)為抽象函數(shù),無(wú)法用具體計(jì)算的方法證明相等,④分部積分法⑤定積分性質(zhì)5,6,7p0xf

(sin

x)dx【練習(xí)】

教材P249—250

3、4、5、6、7、8、9、10【例2】設(shè)f

(x)在[0,1]上連續(xù),單調(diào)減少,證明:對(duì)q

?

[0,1]恒有0

0f

(

x)dx

?

qq

1f

(

x)dx【證明】令x=qt====0而當(dāng)q?[0，1]時(shí)，在[0，1]上，恒有qt

≤t

（f(x)單減）即有f

(qt

)

?

f

(t

)f

(

x)dx

=1q1

10qf

(qt

)dt

=

qf

(qt)dt【練習(xí)】證明不等式220￡￡

, (n

?

2)1

-

xn由定積分的比較性質(zhì)0f

(qt)dt

?

q01

1

dx

p61

10f

(t

)dt

=

qf

(

x)dxqf

(

x)dx0q0【分析】先換元，化為上、下限一致，再比較大小.的瑕點(diǎn)是x

=0,是無(wú)窮間斷點(diǎn)，七、關(guān)于反常積分的題類(lèi)定積分僅限于在有限區(qū)間[a,b]上討論有界函數(shù)f

(x)反常積分