一賭博的最優(yōu)策略模型文件編碼(TTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-0089)2介紹八個(gè)模型，并給出相介紹八個(gè)模型，并給出相應(yīng)的應(yīng)用與實(shí)踐題策略模型假設(shè)有數(shù)量為n的本錢，賭博規(guī)則為每次可以壓任意多的錢，賭博結(jié)果為以p的概率贏回同樣多的錢(輸了的話壓出去的錢就沒了)。如果賭博的目標(biāo)是本錢增長(zhǎng)到N或者破產(chǎn)(輸光所有的錢為止)。問什么樣的方式可以最大化成功(贏到N走人)的概率呢愿賭服輸，所以大多數(shù)賭博的結(jié)果基本上是不受自己控制的。但最優(yōu)化賭博成功的概率還是可以做到的。我們現(xiàn)在討論一個(gè)非常簡(jiǎn)單的游戲，假設(shè)有數(shù)量為的本錢，賭博規(guī)則為每次可以壓任意多的錢，賭博結(jié)果為以的概率贏回同樣多的錢(輸了的話壓出去的錢就沒了)。如果賭博的目標(biāo)是本錢增長(zhǎng)到或者破產(chǎn) (輸光所有的錢為止)。問什么樣的方式可以最大化成功(贏到走人人)的概率呢顯然對(duì)于的不同大小有三種可能性：：這時(shí)候沒什么取巧的可能性，隨便壓，成功地概率固定：這時(shí)候沒什么取巧的可能性，隨便壓，成功地概率固定的為：這種情況比較有趣。如果錢可以無限細(xì)分的話，成功的概率是可以趨近的，但現(xiàn)實(shí)中并不是這樣，另外還得考慮賭博的時(shí)間成本對(duì)不不。這時(shí)候每次壓上是一個(gè)比較快捷勝率又高的方法。：其實(shí)這種情況才是賭場(chǎng)里的大多數(shù)的情況(莊家贏的概率肯：其實(shí)這種情況才是賭場(chǎng)里的大多數(shù)的情況(莊家贏的概率肯定要大一些嘛，否則賭場(chǎng)怎么賺錢呢)。但注意與大多數(shù)想象的不同，在這史上一些搞陰謀成功的哪個(gè)不是亡命徒最后成功的概率為，本錢少時(shí)，概率下降得更快。所以高手賭錢，應(yīng)該是這樣的，先計(jì)算每次游戲的可能的勝率，當(dāng)比例的本錢。二、魚群的適度捕撈問題魚群是一種可再生的資源，若目前魚群的總數(shù)為x(單位：kg)，經(jīng)過一年的成長(zhǎng)與繁殖，第二年魚群的總數(shù)為y(單位：kg)。反映x與y之間相互關(guān)系的曲線稱為再生曲線，記為y=f(x)?，F(xiàn)設(shè)魚群的再生曲線為y=rx(1x)(其中r是魚群的自然生長(zhǎng)率，Nr>1，N是自然環(huán)境能夠負(fù)荷的最大魚群數(shù)量)。為使魚群的數(shù)量保持穩(wěn)定，在捕魚時(shí)必須注意適度捕獲。問魚群的數(shù)量控制在多大時(shí)，才能獲取最大的持續(xù)捕撈量解：首先我們對(duì)再生曲線y=rx(1x)的實(shí)際意義作簡(jiǎn)略解釋。N2由于r是自然增長(zhǎng)率，故一般可認(rèn)為y=rx，但是，由于自然環(huán)境的限制，當(dāng)魚群的數(shù)量過大時(shí)，其生長(zhǎng)環(huán)境就會(huì)惡化，導(dǎo)致魚群增長(zhǎng)率的降低。為此，我們乘上了一個(gè)修正因子(1x)，于是y=rx(1x)，這樣當(dāng)xNNN設(shè)每年的捕獲量為h(x)，則第二年的魚群總量為y=f(x)h(x)要限制魚群總量保持在某一個(gè)數(shù)值x，則x=f(x)h(x)h(x)=f(x)x=rx(1x)x=(r1)xrx2.NN由h(x)=(r1)2rx=0，得駐點(diǎn)x*=(r1)NN2r由于h(x)=2r0，所以，x*=(r1)N是h(x)的極大值點(diǎn)。N2r撈量。此時(shí)h(x*)=(r1)x*rx*2N=(r1)r1Nr(r1)2N22rN4r24r4r即最大持續(xù)捕撈量為(r1)2N,4r三、隨機(jī)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型實(shí)例在微分方程中，我們講過一些簡(jiǎn)單的的最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，如利潤(rùn)的最大化、平均成本的最小化、用料最省等問題，它們都是確定性的問題。實(shí)際上，很多情況下某一個(gè)量受到一些隨機(jī)因素的影響，這個(gè)量也就是隨機(jī)變量，它的最優(yōu)化就應(yīng)是其均值(期望)的最優(yōu)化，只要它的概率分布已知，就可以利用微積分的知識(shí)考慮它的最優(yōu)化問題。下面看兩個(gè)具體例例1假定在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變Xt需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問應(yīng)當(dāng)組織多少貨源才能使國(guó)家收益最大所以|0X>yX<y由式(14.3.2)得200020002000y=1例2報(bào)童訂購多少報(bào)紙才能獲得最大的收入。報(bào)童每天清晨從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a，退貨價(jià)為c，顯然應(yīng)當(dāng)有a>b>c，這的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣，會(huì)少賺錢；如果購進(jìn)太多，賣不完，將要賠錢。請(qǐng)你為報(bào)童籌劃一下，他應(yīng)如何確定每天購進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大的收我們知道，應(yīng)該根據(jù)需求量來確定購進(jìn)量，而需求量是隨機(jī)的，假定報(bào)童已經(jīng)通過自己的經(jīng)驗(yàn)或其他渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天報(bào)紙的需求量為r份的概念為f(r)(r=0,1,2…)，有了f(r)和a、b、c，就可以建立購進(jìn)量的優(yōu)化模型了。假設(shè)每天的購進(jìn)量為n份，需求量r是隨機(jī)的，因而報(bào)童的收入R(n)也考慮到需求量為r的概率是f(r)，所以R(n)的期望，即平均收入為r=0函數(shù)G(n)為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，問題就歸結(jié)為在f(r)、a、b、c已知時(shí)，求n使G(n)最大。通常需求量r的取值和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將r視為連續(xù)型隨機(jī)變量便于分析和計(jì)算，這時(shí)概率f(r)轉(zhuǎn)化為密度函數(shù)p(r)，于是式(14.5.1)變成0n求導(dǎo)數(shù)dn0n0nj+p(r)dr=bcj+p(r)dr=bcn0n0所以由式(14.5.3)，得jnp(r)dr=ab(14.5.4)0ac這就是說，使報(bào)童平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量n應(yīng)滿足式(14.5.3)或式()。在式(14.5.3)中P1=jn0p(r)dr是需求量不超過n的概率，即賣不完的概率：P2=jn0p(r)dr是需求量超過n的概率，即賣完的概率，所以，式()表明，購進(jìn)的份數(shù)應(yīng)當(dāng)使賣不完與賣完的概率恰好等于賣出一份賺的錢ab與退回一份賠的錢bc之比。顯然，當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢與賠錢之比越大時(shí)，報(bào)童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。常用經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)模型應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)，首先必須建立數(shù)學(xué)模型。本節(jié)將結(jié)合高等數(shù)學(xué)知識(shí)介紹一些常用的經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)和了解綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的過程和方法，達(dá)到運(yùn)用數(shù)學(xué)模型為現(xiàn)活服務(wù)的目的。四、優(yōu)秀研究成果評(píng)選的公平性模型設(shè)有N個(gè)評(píng)委組成的評(píng)選委員會(huì)，有M項(xiàng)研究成果，評(píng)委會(huì)要從中選出m(m<M)項(xiàng)優(yōu)秀成果，但有些評(píng)委是某些成果的完成者，問應(yīng)如何處理此問題才是公平的2.模型的構(gòu)成與求解方案1按得票多少順序，得票較多的前m項(xiàng)成果為優(yōu)秀成果。分析評(píng)價(jià)：這個(gè)方案對(duì)非評(píng)委的研究成果的完成者不夠公平。因?yàn)樵u(píng)委對(duì)自己完成的成果投贊成票的可能性最大。方案2對(duì)方案1做如下修改：評(píng)委不參加對(duì)自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率較大的前m項(xiàng)成果為優(yōu)秀成果.分析評(píng)價(jià)：下面來分析一下方案2是否公平。項(xiàng)成果的得票率為 (1 (1)r(x)=x1NC上述結(jié)果似乎可以接受。因?yàn)榈闷彪m然少了，但作為分母的總?cè)藬?shù)也少了，所以似乎是公平的。參與完成該項(xiàng)成果的C個(gè)評(píng)委仍不大滿意，他們認(rèn)為：若他們也參加投票，則投票率為r(x)=x+C2N通過比較r(x)與r(x)的大小可知上述兩個(gè)公式的差別。因?yàn)楫?dāng)x<NC122綜合上述討論，按照相對(duì)公平的原則，應(yīng)采取對(duì)r(x)和r(x)的折衷方12案，即度量得票多少的函數(shù)y(x)應(yīng)滿足以下三個(gè)條件： (1)y(x)是x的單調(diào)遞增函數(shù); (2) (3)12由上述三個(gè)條件還不能唯一確定函數(shù)y(x)，但可據(jù)此定出一個(gè)相對(duì)公平、且比較簡(jiǎn)單實(shí)用的度量函數(shù)y(x)。例如定義y(x)=r(x)r(x)=x(x+C)12N(NC)實(shí)踐與思考你能否構(gòu)造一個(gè)滿足上面三個(gè)條件的函數(shù)y(x)五、公平的席位分配模型某校有3個(gè)系共200名學(xué)生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，現(xiàn)在要選出20名學(xué)生代表組成學(xué)生會(huì)，公平的辦法是按學(xué)生人2.模型的構(gòu)建與求解過去的慣例是這樣分配的：先按比例分配，甲、乙、丙系分別應(yīng)假定學(xué)生會(huì)的席位增到21席，按照上述方法重新分配席位，結(jié)果如公平，因?yàn)榭傁辉黾佣档南环炊鴾p少了。結(jié)果大家對(duì)這種分法產(chǎn)生懷疑，要求重新討論分配方法。表按慣例的席位分配系人比20席的分21席的分 別數(shù)例配配按配按配甲3乙丙總和06473什么是公平的分法“絕對(duì)公平”的分法應(yīng)是每個(gè)席位代表的學(xué)生數(shù)相同，這在一般情況下是做不到的。所以，希望每個(gè)席位代表的學(xué)生數(shù)盡量mnn12mn=n+n++n。又假設(shè)學(xué)生會(huì)共設(shè)N個(gè)席位，于是平均每個(gè)席位代表學(xué)生12m數(shù)為 nN設(shè)各系分配的席位為N12mmiNi為了衡量一種分配方法的“公平”程度，我們可以提出不同的標(biāo)準(zhǔn)，也就是用各種不同的目標(biāo)函數(shù)來衡量“公平度”，例如：iii=1ai這里我們只研究標(biāo)準(zhǔn)1，我們假定滿足標(biāo)準(zhǔn)1的分配方法為為最優(yōu)分配。請(qǐng)看下面的例子。例1設(shè)某校有五個(gè)系，一、二、三、四、五系的學(xué)生分別為1105、生會(huì)、應(yīng)如何分配解如按比例分配席位，每100人分配1席，其結(jié)果如表。表按標(biāo)準(zhǔn)1的席位分配系別人數(shù)比例分判別實(shí)際分配席位數(shù)配席位一110510二6486三3624四2483五1372總和25002525是說，哪個(gè)系每席代表的學(xué)生數(shù)最多呢按比例分配，各系應(yīng)分配席位數(shù)為N=ni=Nni(i=1,2,,5)現(xiàn)取整數(shù)，第i系分到[N]席，iani每席代表學(xué)生 nNii因?yàn)閍與系別無關(guān)，所以N/[N]較大的系比較吃虧(這就是按慣例分配的ii問題所在，不應(yīng)比較“尾數(shù)”大小，應(yīng)比較“尾數(shù)”占總數(shù)比例)。我們稱N/[N]為判別數(shù)，因?yàn)榕袆e數(shù)越大的系越吃虧，所以首先應(yīng)給五系增加ii現(xiàn)在我們證明：最優(yōu)分配方案必定分給五系2席。若五系分1席，則Za=1.37，顯然不是最優(yōu)。若五系分3席(或更多)，則把五系多分5的席位分給最吃虧的系，又可使目標(biāo)函數(shù)Z減小，因而這種方案也不是最下：人數(shù)按比例分配席位判別數(shù)一二648三362211520由上面算法可以看出，最優(yōu)分配方案可能不是唯一的。這時(shí)我們采取照顧小系的方法，即優(yōu)先分配給人數(shù)少的系。若兩系人數(shù)相同，可規(guī)定分給序號(hào)在前的系，這就能保證求出唯一的方案。實(shí)踐與思考1.某大學(xué)共有2000名學(xué)生，其中文科類1030名、理工類340名、工科類630名。該校學(xué)生會(huì)有21名代表席位，問該如何公平地分配這些席位六、復(fù)利、貼現(xiàn)模型向銀行存款或貸款是最常見的金融活動(dòng)，貸款的報(bào)酬稱為利息。貸款有規(guī)定的計(jì)息期限(如以一年，一月或一日為一期等)，貸款的總額稱為本金。作為貸款的報(bào)酬，收回貸款時(shí)所收的額外的本金的一定百分比或千分比即利息，如何計(jì)算利息以及由此產(chǎn)生的時(shí)間價(jià)值是本節(jié)將討論的問2.模型的構(gòu)建PR款期限的長(zhǎng)短有關(guān)，按期限有年、月、日，分別稱為年利率、月利率和日利率。利率用百分率和千分率表示，習(xí)慣上分別稱為分或厘。如月息3厘表示一個(gè)月可獲本金3‰作為利息。年利率，月利率之間可以互相換算。例如2005年銀行的存款年利率為，活期%，三個(gè)月期%，一年期%，二年期%，三年期%，五年期%。經(jīng)換算可得3個(gè)月期的期利率為R=%/4=%，而三年期的期利率為最常用的計(jì)算利息的方法是復(fù)利計(jì)息。下面介紹復(fù)利計(jì)息的數(shù)學(xué)模型及其 (1)復(fù)利復(fù)利計(jì)息方法是在貸款一期之末結(jié)息一次，再將利息轉(zhuǎn)為本金，即和原來的本金一起作為下一期的本金而產(chǎn)生利息，這種計(jì)息方法稱為復(fù)利。我們稱本金和利息之總和為本利和，記為S，有Rn期末的本利和為1本利和為1nnn這兩個(gè)公式即為復(fù)利計(jì)算的基本公式。 (4)貨幣用來投資，隨著時(shí)間的推移會(huì)產(chǎn)生收益，從而使貨幣增加，這就是貨幣的時(shí)間價(jià)值。由于銀行利率是綜合經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各種因素確定的，因此人們通常用銀行利率來分析貨幣的時(shí)間價(jià)值。終值和現(xiàn)值是刻畫貨幣時(shí)間價(jià)值的兩個(gè)概念。例如在復(fù)利計(jì)算的情形下，設(shè)本金為P，每期利率為R，貸款期數(shù)為n，到n期末本利和就變?yōu)榉催^來，現(xiàn)在手中的多少錢存銀行n期就可以變成S元呢顯然可以按下算 S(5)其中Q稱為S的現(xiàn)值，即n期末的S元相當(dāng)于現(xiàn)在的Q元。3.模型的應(yīng)用例1如銀行存款年利率為%，每年結(jié)息一次。若3年后要得到本利和600元，應(yīng)存入銀行多少元呢解設(shè)存入本金為P。由(3)式可得P=S，所以，入元。例2若本金為700元，存一年期年利率為%，復(fù)利計(jì)息，為得本解在(3)式兩邊取常用對(duì)數(shù)得解得25.70(年)，和1240元需存年。例3一處房產(chǎn)價(jià)格為21萬元，據(jù)預(yù)測(cè)該房產(chǎn)三年后的價(jià)格將上漲為23萬元。某人欲向銀行貸款來進(jìn)行此項(xiàng)房產(chǎn)投資。設(shè)銀行貸款的年利潤(rùn)為5%，按復(fù)利計(jì)算，此項(xiàng)投資能否盈利3年后23萬元的現(xiàn)值為 S(萬元) S(萬元)解法221萬元三年后的終值為SPR=211.05324.31(萬元)，S>23萬元，即歸還銀行貸款的本利和超過3年后房屋的價(jià)值，不能贏實(shí)踐與思考1.有位初一學(xué)生的家長(zhǎng)欲將一萬元存銀行6年后供學(xué)生上大學(xué)用，設(shè)6年中利率不變，他應(yīng)采用何種方案存款使獲利最大2.有兩個(gè)投資項(xiàng)目可供選擇，第一個(gè)項(xiàng)目投資100萬元，每年末收益14萬元，可收益15年，第二個(gè)項(xiàng)目投資120萬元，每年末收益16萬元，可收益18年，哪一項(xiàng)目對(duì)投資者更有利3.某廠2005年生產(chǎn)產(chǎn)值是1995年的8倍(翻3番)，那么從1995年到2005年產(chǎn)值的年增長(zhǎng)率是多少若按這樣的增長(zhǎng)率發(fā)展，2015年的產(chǎn)值是1995年的幾倍七、運(yùn)輸車輛經(jīng)濟(jì)使用壽命模型車輛在使用過程中，由于零件磨損、老化等原因，汽車性能隨行使里地對(duì)汽車進(jìn)行維修，用很高的代價(jià)來維持車輛運(yùn)行，必然會(huì)2出現(xiàn)車況下降、小修頻率上升，致使維修費(fèi)用急劇增加，燃料消耗過多，最終使車輛的動(dòng)力性、經(jīng)濟(jì)性和安全性等大幅度下降。如何合理地確定汽車經(jīng)濟(jì)的使用壽命，下面將進(jìn)行專題研究。2.模型的建立汽車的整個(gè)使用過程完全是一個(gè)低劣化過程，從低劣化理論可知，在低劣化過程中，總是存在一個(gè)經(jīng)濟(jì)效益最佳點(diǎn)，以此來確定汽車的經(jīng)濟(jì)使低劣化值為每千千米以b的幅度增加，第L千千米時(shí)為bL，從而在0L千千米內(nèi)，平均低劣化值為bL。 b值可用維修費(fèi)用與行使里程L的關(guān)系，采用回歸分析的方法確定。維修費(fèi)用是汽車使用過程中各種維護(hù)費(fèi)用及日常小修費(fèi)用的總和，記為C，滿足其中a為維修費(fèi)用初始值(回歸分析的回歸初始值)，b為系數(shù)(回歸分析的回歸系數(shù))，L為累計(jì)行駛里程。綜合上述分析，可知車輛使用費(fèi)用包括 (1)每千千米車輛投資費(fèi)，其值隨行使里程的增加不斷減少，KC=0;K1L2 (2)車輛平均低劣化數(shù)值，其值隨行使里程而增加，1C=bL2.所以，車輛的使用費(fèi)用方程式為CCCCKbLC(6)120L20,0為各影響因素的費(fèi)用低劣化增長(zhǎng)強(qiáng)度。單位為元/千千米；C為固定費(fèi)0用，即與車輛行使無關(guān)的累計(jì)費(fèi)用值，單位為元。3.模型的求解確定汽車經(jīng)濟(jì)使用