1.1設3.14,3.1415,3.1416分別作為π的近似值時所具有的有效數(shù)字位數(shù)解近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的絕對誤差是－0.0015926…，有 .即n=3，故x=3.14有3位有效數(shù)字.x=3.14準確到小數(shù)點后第2位. 又近似值x=3.1416，它的絕對誤差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效數(shù)字. 而近似值x=3.1415，它的絕對誤差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效數(shù)字. 這就是說某數(shù)有s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字1.2 指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對誤差限和相對誤差限： 2.0004－0.00200 9000 9000.00解（1）∵2.0004＝0.20004×101,m=1絕對誤差限：m-n=-4,m=1則n=5,故x=2.0004有5位有效數(shù)字=2，相對誤差限（2）∵－0.00200=-0.2×10-2,m=-2m-n=-5,m=-2則n=3,故x=-0.00200有3位有效數(shù)字=2，相對誤差限=0.0025(3)∵9000=0.9000×104,m=4，m-n=0,m=4則n=4,故x=9000有4位有效數(shù)字＝0.000056(4)∵9000.00=0.900000×104,m=4，m-n=-2,m=4則n=6,故x=9000.00有6位有效數(shù)字相對誤差限為＝0.00000056 由(3)與(4)可以看到小數(shù)點之后的0，不是可有可無的，它是有實際意義的.1.3ln2=0.69314718…，精確到的近似值是多少？解精確到＝0.001，即絕對誤差限是＝0.0005,故至少要保留小數(shù)點后三位才可以.ln20.6932.1用二分法求方程在1,2的近似根，要求誤差不超過至少要二分多少？解：給定誤差限＝0.5×10－3，使用二分法時，誤差限為只要取k滿足即可，亦即 只要取n＝10.2.3證明方程1-x–sinx＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不超過0.5×10-4的根要二分多少次？證明令f(x)＝1－x－sinx，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又f(x)=-1－cosx<0(x[0.1]),故f(x)在[0，1]單調(diào)減少，所以f(x)在區(qū)間[0，1]內(nèi)有唯一實根. 給定誤差限＝0.5×10－4，使用二分法時，誤差限為只要取k滿足即可，亦即 只要取n＝14.2.4方程在x=1.5附近有根，把方程寫成四種不同的等價形式，并建立相應的迭代公式：（1），迭代公式（2），迭代公式（3），迭代公式（4），迭代公式試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂迭代公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。解：（1）令，則，由于，因而迭代收斂。（2）令，則，由于迭代收斂，且第二種迭代格式比第一種迭代格式收斂速度要快。（3）令，則，由于迭代發(fā)散。（4）令，則，由于迭代發(fā)散。具體計算時選第二種迭代格式，n=0,1,…計算結(jié)果如下：2.5對于迭代函數(shù)，試討論：當C取何值時，產(chǎn)生的序列收斂于；C取何值時收斂速度最快？解：（1），，由已知條件知，當，即時，迭代收斂。（2）當時迭代至少是二階收斂的，收斂最快。即，所以時收斂最快。2.7試用牛頓迭代法導出下列各式的迭代格式： (1)不使用除法運算；(2)不使用開方和除法運算.解：（1）令，取，則迭代格式為注：若令，取，則，顯然迭代格式不法不符合題意。（2）令，取，則迭代格式2.10設。寫出解的Newton迭代格式。證明此迭代格式是線性收斂的。解：因，故，由Newton迭代公式：得以下證明此格式是線性收斂的因迭代函數(shù)而又則故此迭代格式是線性收斂的。第三章解線性方程組的直接方法習題及解答（考試時二元）3.2用列主元素消去法解線性方程組解：第一步列選主元10，將第一和第二行交換，再消去，得第二步列選主元，將第二和第三行交換，再消去，得回代求解得3.3用高斯-約當法求逆矩陣列選主解：列選主消元消元列選主列選主消元消元消元消元則3.4用矩陣的直接三角分解解方程組解設系數(shù)矩陣A的杜利特爾分解為A=LU，即將右端兩矩陣相乘后比較兩端，可得再求解方程組LY=b,UX=Y,即：先由前一個方程組求得，代入后一個方程組，求得原方程的解為3.7證明對任意非奇異矩陣A、B有證：等式成立3.8證明對任意非奇異矩陣A有證：因為所以3.9設A、B∈為非奇異矩陣，證明Cond(A)≥1，Cond(A)=Cond(A-1)；Cond()=Cond(A)，；Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)。證：(1)(2)(3)3.10設線性方程組為試求系數(shù)矩陣A的條件數(shù)；若右端向量有擾動，試估計解的相對誤差。解：（1）（2）本題是討論方程組的右端項有擾動δb時對解的相對誤差的估計，由解向量的精度的估計式：第四章解線性方程組的迭代法習題及解答4.1用Jacobi迭代格式解方程組要求解Jacobi迭代格式為取初始迭代向量，迭代結(jié)果為：……由于所以滿足要求的解為4.2用高斯—塞德爾迭代法求解線性方程組要求解：建立高斯—塞德爾迭代格式：取初始迭代向量，迭代結(jié)果為：故方程組的近似解為4.4線性方程組的系數(shù)矩陣為A＝試求能使雅可比迭代法收斂的的取值范圍。解當時，雅可比迭代矩陣B＝得，故，由，得，即時，，雅可比迭代法收斂。4.6設線性方程組試求能使高斯－賽德爾迭代收斂的的取值范圍。解高斯－賽德爾迭代矩陣它的特征多項式為其特征值為當時，，高斯－賽德爾迭代收斂。第五章插值與曲線擬合習題與解答5.1已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為xk－2045yk51－31試構(gòu)造不超過三次的拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式，并驗證插值多項式的惟一性，再計算f(－1)的近似值.。解（1）建立拉格朗日插值多項式：構(gòu)造基函數(shù)所求三次多項式為 P3(x)=＝＋+＋ ＝（2）建立牛頓插值多項式：建立差商表為xf(x)一階差商二階差商三階差商-2501-24-3-11/651415/42牛頓插值多項式為(3)惟一性驗證：將拉格朗日插值多項式與牛頓插值多項式比較它們是完全一樣的，這一結(jié)論和插值多項式的惟一性一致。（4）計算f(－1)5.6設，試利用拉格朗日余項定理給出以-1，0，1，2為節(jié)點的三次插值多項式P(x)。解根據(jù)拉格朗日余項定理5.10若，求和。解，=05.13求滿足以下條件的Hermite插值多項式010112解令所求插值多項式為依所給插值條件有由此解出故有第六章數(shù)值積分與微分習題與解答6.1用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算積分，并估計各種方法的誤差（保留5位小數(shù)）解記a=0,b=1,,則則梯形公式其誤差為辛卜生公式其誤差為柯特斯公式其誤差為6.2試確定求積公式的代數(shù)精度.[依定義，對xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精確成立的k數(shù)值]解當f(x)取1,x,x2,…計算求積公式何時精確成立.(1)取f(x)=1,有左邊＝,右邊＝ (2)取f(x)=x,有左邊＝,右邊＝ (3)取f(x)=x2,有左邊=,右邊= (4)取f(x)=x3,有左邊=,右邊= (5)取f(x)=x4,有左邊=,右邊= 當k3求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)精度6.3用代數(shù)精度定義直接驗證辛卜生公式具有3次代數(shù)精度。解：設f(x)=1,公式左邊，公式右邊f(xié)(x)=x,公式左邊，公式右邊f(xié)(x)=x2,左邊，右邊f(xié)(x)=x3,左邊，右邊f(xié)(x)=x4,左邊所以辛卜生公式具有3次代數(shù)精度6.4設有近似公式試確定求積系數(shù)A,B,C使這個公式具有最高的代數(shù)精度解：分別取=1,x,使求積公式準確成立，即得如下方程組。解之得，所以得到求積公式為：此求積公式對于都準確成立，對于就不準確了，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。6.5如果用復化梯形公式計算定積分，要將積分區(qū)間0,1多少等份才能使誤差不超過0.5×10－4？若用復合辛卜生公式呢？解：取，則，又區(qū)間長度b-a=1,對復化梯形公式有余項即，n≥40.8，取n=41，即將區(qū)間0,141等份時，用復化梯形公式計算誤差不超過0.5×10－4。用復合辛卜生公式計算時要求即，n≥1.6233，取n=2，即將區(qū)間0,12等份時，用n=2的復化梯形公式計算可使誤差不超過0.5×10－4。6.6.試確定求積公式的待定參數(shù)，使求積公式的代數(shù)盡可能的高。解：設求積公式對準確成立，則得方程組解之得所求的求積公式為：將分別代入上式得：當時左端=右端，即當時左端≠右端，即所以求積公式具有3次代數(shù)精度。776.7若，證明用梯形公式計算積分所得結(jié)果比準確值大，并說明這個結(jié)果的幾何意義。證明：由梯形公式的誤差若，則，所以，即當時用梯形公式計算積分所得的結(jié)果比準確值大。其幾何意義如下圖所示：當時，曲線是下凹的，梯形abCD的面積大于曲邊梯形面積。6.8推導下列三種矩形求積公式：解：（1）將在x=a處Taylor展開得兩邊在a,b上積分，得：∴（2）將在x=b處Taylor展開得兩邊在a,b上積分，得：∴(3)將在處Taylor展開得兩邊在a,b上積分，得：∴第七章常微分方程數(shù)值解習題及解答7.1用歐拉法解初值問題，取步長h=0.2.計算過程保留6位小數(shù).解：h=0.2,f(x)=－y－xy2.首先建立歐拉迭代格式 當k=0，x1=0.2時，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8當k＝1，x2=0.4時，已知x1=0.2,y1=0.8，有y(0.4)y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144當k=2，x3=0.6時，已知x2=0.4,y2=0.6144，有y(0.6)y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.4613217.2推導初值問題后退（隱式）歐拉公式并估計其截斷誤差。解：將方程的兩端從到求積分用右矩形公式計算積分項設則得后退（隱式