2022年湖南省衡陽市耒陽市雅江中學高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定義域內任取一點x0，使f（x0）≤0的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型；一元二次不等式的解法．【專題】計算題．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0發(fā)生的x0的取值長度為3，再由x0總的可能取值，長度為定義域長度10，得事件f（x0）≤0發(fā)生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0?x2﹣x﹣2≤0?﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0?﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定義域內任取一點x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故選C【點評】本題考查了幾何概型的意義和求法，將此類概率轉化為長度、面積、體積等之比，是解決問題的關鍵2.用數(shù)學歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時，第一步證明中的起始值應?。?/p>

）A．2 B．3 C．5 D．6

參考答案：C3.下列說法正確的個數(shù)為(

)（1）橢圓x2+my2=1的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為4．（2）直線L：ax+y﹣a=0在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)，則a的值是﹣1（3）圓x2+y2=9的弦過點P（1，2），當弦長最短時，圓心到弦的距離為2．（4）等軸雙曲線的離心率為1．A．2 B．3 C．4 D．1參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質；雙曲線的簡單性質．【專題】轉化思想；數(shù)學模型法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）由題意可得：1=，解得m，即可判斷出；（2）當a=0時，y=0，不滿足題意；當a≠0時，直線方程化為x+=1，則a的值是﹣1，即可判斷出正誤；（3）當弦長AB最短時，AB⊥OP，圓心到弦的距離d=OP，利用兩點之間的距離個數(shù)即可得出．（4）等軸雙曲線的離心率為．【解答】解：（1）橢圓x2+my2=1即=1的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，1=，解得m=4，正確；（2）直線L：ax+y﹣a=0在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)，當a=0時，y=0，不滿足題意；當a≠0時，直線方程化為x+=1，則a的值是﹣1，正確；（3）圓x2+y2=9的弦過點P（1，2），當弦長AB最短時，AB⊥OP，圓心到弦的距離d==，因此不正確．（4）等軸雙曲線的離心率為，因此不正確．綜上可得：正確命題的個數(shù)為2．故選：A．【點評】本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4.曲線在點處的切線方程為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C5.已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0，a2=﹣，則{an}的前10項和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）參考答案：C【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由已知可知，數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列，結合已知可求a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：∵3an+1+an=0∴∴數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列∵∴a1=4由等比數(shù)列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故選C6.數(shù)列由，確定，則（）A．9902

B．9901 C．9900

D．9899參考答案：B7.已知雙曲線﹣=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（）A． B． C．3 D．5參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質；拋物線的簡單性質．【分析】確定拋物線y2=12x的焦點坐標，從而可得雙曲線的一條漸近線方程，利用點到直線的距離公式，即可求雙曲線的焦點到其漸近線的距離．【解答】解：拋物線y2=12x的焦點坐標為（3，0）∵雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合∴4+b2=9∴b2=5∴雙曲線的一條漸近線方程為，即∴雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于故選A．8.隨機變量服從二項分布，且，則p等于（）A. B. C.1 D.0參考答案：B因為,所以,解得.即等于.故選B.二、填空題9.分層抽樣適合的總體是(

)A．總體容量較多 B．樣本容量較多C．總體中個體有差異 D．任何總體參考答案：C【考點】分層抽樣方法．【專題】方案型；試驗法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)分層抽樣的適用范圍，可得答案．【解答】解：分層抽樣適合的總體是總體中個體存在差異的情況，故選：C【點評】本題考查的知識點是抽樣方法的適用范圍，熟練掌握三種抽樣方法的適用范圍，是解答的關鍵．10.在正方體ABCD-A1B1C1D中，兩條面對角線A1D與AC所成角的大小等于

（

）A．450

B．600

C．900

D．1200參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù),在上存在單調增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是___

__.參考答案：

12.計算（是虛數(shù)單位）

參考答案：略13.已知直線若與關于軸對稱，則的方程為__________;若與關于軸對稱，則的方程為_________;若與關于對稱，則的方程為___________;參考答案：

14.已知A，B，P是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）上的不同三點，且A，B兩點連線經(jīng)過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積kPA?kPB=，則該雙曲線的離心率e=．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由于A，B連線經(jīng)過坐標原點，所以A，B一定關于原點對稱，利用直線PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關系，從而可求離心率．【解答】解：A，B一定關于原點對稱，設A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y）則，，．故答案為15.兩等差數(shù)列{an}和{bn}，前n項和分別為Sn，Tn，且，則等于．參考答案：【考點】8F：等差數(shù)列的性質．【分析】利用==，即可得出結論．【解答】解：====．故答案為：．16.命題的否定是________________.參考答案：17.若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值為______。參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.討論直線與雙曲線的公共點的個數(shù)。參考答案：

解：解方程組

消去得

當，時

當時

由

得

由

得

由

得或

綜上知：時，直線與曲線有兩個交點，

時，直線與曲線切于一點，時，直線與曲線交于一點。

略19.如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，設AC與BD相交于點O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求證：FC∥平面EAD；（2）求直線AF與平面BCF所成角的余弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【專題】證明題；轉化思想；向量法；空間位置關系與距離；空間角．【分析】（1）由已知得AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，從而平面FBC∥平面EAD，由此能證明FC∥平面EAD．（2）連接FO、FD，由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出直線AF與平面BCF所成角的余弦值．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∴AD∥BC，DE∥BF．∵AD?平面FBC，DE?平面FBC，BC?平面FBC，BF?平面FBC，∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．解：（2）連接FO、FD，∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，∴△DBF為等邊三角形，∵O為BD中點，∴FO⊥BD，又∵O為AC中點，且FA=FC，∴AC⊥FO，又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz設AB=2，因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，OB=1，OA=OF=，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），F(xiàn)（0，0，），=（），=（），=（﹣，0，），設平面BCF的一個法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，﹣，﹣1），設直線AF與平面BCF所成角為θ，則sinθ===，∴cosθ==，∴直線AF與平面BCF所成角的余弦值為．【點評】本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．20.設函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若a=1，k為整數(shù)，且當x＞0時，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間，可先求出函數(shù)的導數(shù)，由于函數(shù)中含有字母a，故應按a的取值范圍進行分類討論研究函數(shù)的單調性，給出單調區(qū)間；（II）由題設條件結合（I），將不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0時成立轉化為k＜（x＞0）成立，由此問題轉化為求g（x）=在x＞0上的最小值問題，求導，確定出函數(shù)的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2的定義域是R，f′（x）=ex﹣a，若a≤0，則f′（x）=ex﹣a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上單調遞增．若a＞0，則當x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）=ex﹣a＜0；當x∈（lna，+∞）時，f′（x）=ex﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1故當x＞0時，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等價于k＜（x＞0）①令g（x）=，則g′（x）=由（I）知，當a=1時，函數(shù)h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上單調遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零點，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，設此零點為α，則有α∈（1，2）當x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等價于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2．【點評】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，解題的關鍵是第一小題應用分類的討論的方法，第二小題將問題轉化為求函數(shù)的最小值問題，本題考查了轉化的思想，分類討論的思想，考查計算能力及推理判斷的能力，綜合性強，是高考的重點題型，難度大，計算量也大，極易出錯．21.（14分）設數(shù)列{an}前n項和為Sn，且Sn+an=2．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=a1，bn=，n≥2求證{}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅲ）設cn=，求數(shù)列{cn}的前n和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）由數(shù)列遞推式可得Sn+1+an+1=2，與原數(shù)列遞推式作差可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式可求；（Ⅱ）由b1=a1求得b1，把bn=變形可得{}為等比數(shù)列，求其通項公式后可得數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅲ）把{an}，{bn}的通項公式代入cn=，利用錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n和Tn．【解答】（Ⅰ）解：由Sn+an=2，得Sn+1+an+1=2，兩式相減，得2an+1=an，∴（常數(shù)），∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，又n=1時，S1+a1=2，∴；（Ⅱ）證明：由b1=a1=1，且n≥2時，bn=，得bnbn﹣1+3bn=3bn﹣1，∴，∴{}是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，∴，故；（Ⅲ）解：cn==，，，以上兩式相減得，==．∴．【點評】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．22.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）當AB⊥x軸時，．（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．由已知，得