第七節(jié)

曲率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑四、小結(jié) 思考題一、弧微分MTRM0x0Mxx

+

Dx設(shè)函數(shù)f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).基點:M0

(x0

,y0

),M

(x,y)為任意一點,xyo【規(guī)定】(1)曲線的正向與x

增大的方向一致;(2)

M0

M

=s,當(dāng)M

0

M的方向與曲線正向一致時,s取正號,相反時,s取負(fù)號.s

=

s(

x).單調(diào)增函數(shù)如圖，以下求s(的x)導(dǎo)數(shù)或微分設(shè)M

(x

+Dx,y

+Dy),MMTRM00xxx

+

DxxyoDs

=

M⌒M=

Dx

Dx

Ds

2

MM

￠

=

M⌒M

￠2

M⌒M

￠22(Dx)MM

￠2(Dx)2(Dx)2

+

(Dy)2

MM

￠=

M⌒M

￠2)2

][1

+

(DxDy

MM

￠=

M⌒M

￠2dxds

=

lim

Ds

=

–

1

+

y￠2Dxfi

0

Dx弧微分公式又可寫為

ds

=

(dx)2

+

(dy)2要求熟記弧微分公式定積分應(yīng)用中用它求曲線的弧長；曲線積分中用來求對弧長的曲線積分.RMxx

+

DxxyoQdxdyds的長.【幾何意義】ds是以

dx、dy

為直角邊的直角三角形的斜邊MQ

=

ds

s

=s(x)為單調(diào)增函數(shù),故

ds

=

1

+

y￠2

dx.

弧微分公式二、曲率及其計算公式1、【曲率的定義】曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量．M3Da

222DSDS1M1MM1DSDS2NNDa弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大1DaM【結(jié)論】彎曲程度與切線轉(zhuǎn)角成正比；與曲線弧段的長成反比.Ds弧段MM

￠的平均曲率為

K

=

Da

.S)

aM

.DS

Daa

+

Da.MCM0yxo設(shè)曲線C是光滑的，M0

是基點.MM

=

Ds

,M

fi

M

切線轉(zhuǎn)角為Da

.【定義】Dsfi

0

DsK

=

lim

Da曲線C在點M處的曲率Dsfi

0

Dsds

ds在lim

Da

=

da

存在的條件下,

K

=

da

.定義公式【注意】兩個特例直線的曲率處處為零;（直線不彎曲）圓上各點處的曲率都等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.（自己推導(dǎo)）2、【曲率的計算公式】設(shè)y

=f

(x)二階可導(dǎo),

tana

=

y

,dx,1

+

y￠2y有a

=

arctan

y

,

da

=.y3(1

+

y￠2

)2\

k

=ds

=

1

+

y￠2

dx.曲率的計算公式：要求熟記二階可導(dǎo),設(shè)

x

=j

(t

),

y

=y

(t

),3[j

￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)]2\

k

=

j

(t

)y

(t

)

-

j

(t

)y

(t

)

.

dy

=

y

(t

)

,dx

j

￠(t

).j

￠3

(t

)d

2

y

j

(t

)y

(t

)

-

j

(t

)y

(t

)dx2=此公式不要求記住，但要求會推導(dǎo).【例1】拋物線y

=ax2

+bx

+c

上哪一點的曲率最大?【解】y

=

2ax

+

b,

y

=

2a,[1

+

(2ax

+

b)2

]22a\

k

=

3

.顯然,

當(dāng)x

=

-

b

時,

k最大.)為拋物線的頂點,2ab

b2

-

4ac4a又(-2a

,-\拋物線在頂點處的曲率最大.點擊圖片任意處播放\暫停到1

(R為圓弧軌道R的半徑).彎道之間接入一段緩沖段(如圖),使曲率連續(xù)地由零過渡【例2】鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎道時，若接頭處的曲率突然改變,容易發(fā)生事故，為了行駛平穩(wěn)，往往在直道和.1106RlRRA

的曲率近似為(l

<<1)時，在終端R為零,并且當(dāng)

l

很小緩沖段OA，其中l(wèi)

為OA

的長度，驗證緩沖段OA

在始端O

的曲率通常用三次拋物線

y

=

x3，x

?

[0,

x

]．作為xyRA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)lBxyoRA(

x0

,

y0

)C(

x0

,0)【驗證】

如圖x的負(fù)半軸表示直道，OA是緩沖段,AB是圓弧軌道.在緩沖段上,2Rl1y￠=x2

,

y￠=

1

x.Rl=0,故緩沖始點的曲率k0

=0.在x

=

0處,

y

=

0,

y實際要求l

?

x0

,lB012Rl=

x2?y￠x=

x0有l(wèi)

22Rl1l

,2R=0Rl=

1

xy￠x=

x0RlR?

1

l

=

1

,故在終端A的曲率為x=

x0Ay3(1

+

y￠2

)2k

=3)24R2l

2(1

+1R?l

<<

1,R1得kA

?R

.l

2略去二次項

,4R2xyoRA(

x0

,

y0

)C(

x0

,0)lBk作圓(如圖),稱此圓為曲線在點M

處的曲率圓.=1

=r.以D

為圓心,r

為半徑【定義】設(shè)曲線y

=f

(x)在點

M

(x,y)處的曲率為k(k?0).在點M

處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點D,使DM三、曲率圓與曲率半徑y(tǒng)

=

f

(

x)MD

1r

=

kD

---曲率中心,r

---曲率半徑.xyo在M處曲率圓與曲線：同切線、同曲率、同凹向曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).rk即r

=1

,k

=1

.【注意】曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).y

相同

k

相同y

相同(單位為米)俯沖飛行,在原點O

處速度為v=400米/秒,飛行員體重70千克.求俯沖到原點時,飛行員對座椅的壓力.x2飛機沿拋物線y

=4000【例3】xyoQP【解】

如圖,受力分析F

=

Q

-

P,.mv

2r視飛行員在點o作勻速圓周運動,\F

=O點處拋物線軌道的曲率半徑2000

x=0x=0=y￠x=

0,.20001x=0=y￠.20001x=

x0得曲率為

k

=曲率半徑為r

=2000

米.200070

·

4002\

F

==5600(牛)?571.4(千克),\Q

?70(千克力)+571.4(千克力),=641.5(千克力).即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.【例4】設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線，y

=0.4

x2現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面.問用直徑多大的砂輪才比較合適？xyoy

=

0.4

x21.25【分析】為了在磨削時不使砂輪與工件接觸處附近的部分磨去太多，砂輪半徑應(yīng)不大于拋物線上各點處曲率半徑中的最小值。拋物線在頂點處的曲率最大，從而在頂點曲率半徑最小，故只需求出頂點處的曲率半徑即可.【解】 （略）四、小結(jié)運用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支——微分幾何學(xué).基本概念:

弧微分,曲率,曲率圓.曲線彎曲程度的描述——曲率;曲線弧的近似代替曲率圓(弧).【思考題】橢圓上哪些點處曲率最大？x