試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)試卷第=page66頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練——圓與相似三角形綜合1．如圖，中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，以為半徑作圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與相交于．（1）求證：與相切；（2）若，求的長(zhǎng)度．2．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請(qǐng)研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使BC＝OB，點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，PE，PC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個(gè)確定的值．回答這個(gè)確定的值是多少？并對(duì)小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明．3．如圖，⊙O是ABC的外接圓，AB是圓的直徑，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E是BD的中點(diǎn)，連接CE.（1）求證：CE是圓O的切線；（2）如圖，CF⊥AB，垂足為F，若⊙O的半徑為3，BE=4,求CF的長(zhǎng).4．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，在BC上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD，作△ACD的外接圓⊙O，交AB于點(diǎn)E．張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答．（1）小明編制題目是：若AD＝BD，求證：AE＝BE．請(qǐng)你解答．（2）在小明添加條件的基礎(chǔ)上請(qǐng)你再添加一條線段的長(zhǎng)度，編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案．（根據(jù)編出的問題層次，給不同的得分）5．如圖，BC是以AB為直徑的⊙O的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)A和點(diǎn)C的連線與⊙O交于點(diǎn)D．（1）證明：△ABC∽△ADB；（2）若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連結(jié)EO并延長(zhǎng)EO交圓于點(diǎn)F，結(jié)DF交AB于點(diǎn)G，求△AGD的面積．6．如圖，是的外接圓，點(diǎn)在邊上，的平分線交于點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）求證：7．如圖，在圓O中，AB為直徑，EF為弦，連接AF，BE交于點(diǎn)P，且EF2＝PF?AF．（1）求證：F為弧BE的中點(diǎn)；（2）若tan∠BEF＝，求cos∠ABE的值．8．如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)B在⊙O上．AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點(diǎn)D，C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且CB平分∠ACE．（1）求證：AB是圓O的切線；（2）若BE=3，CE=4，求圓O的半徑．9．如圖，已知是的直徑．如果圓上的點(diǎn)恰好使．（1）求證：是的切線．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為________．10．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，CD平分∠ACB交于圓O，過點(diǎn)D作PQ∥AB分別交CA、CB延長(zhǎng)線于P、Q，連接BD．(1)求證：PQ是圓O的切線；

(2)連接AD，求證：11．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，圓是的外接圓．（1）求證：為圓的切線；（2）若，，求圓的半徑．12．如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E是AB上的點(diǎn)，⊙O是以BC為直徑的圓．（1）如圖1，若DE與⊙O相切于點(diǎn)F，求BE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若AO⊥DE，垂足為F，求EF的長(zhǎng)．13．如圖，AB為⊙O的直徑，P在BA的延長(zhǎng)線上，C為圓上一點(diǎn)，且∠PCA＝∠B．（1）求證：PC與⊙O相切；（2）若PA＝4，⊙O的半徑為6，求BC的長(zhǎng)．14．如圖，在矩形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂直為F．圓O經(jīng)過點(diǎn)C，D，F(xiàn)，且與AD相交于點(diǎn)G．(1)求證，△AFG∽△DFC；(2)若AB=3，BC=5，AE=1，求圓O的半徑．15．如圖，是四邊形的外接圓．、是四邊形的對(duì)角線，經(jīng)過圓心，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，平分．（1）求證：；（2）若，半徑為5，求的長(zhǎng)．16．如圖，是的外接圓，，，為的切線，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．17．如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，是的外接圓．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的半徑．18．如圖，在等腰中，，以為直徑的圓交點(diǎn)，過點(diǎn)作，與的切線交于點(diǎn)，連接．（1）求證；（2）求證；（3）設(shè)的面積為，的面積為，直徑的長(zhǎng)為，若，、滿足，試求的值．答案第=page2323頁(yè)，共=sectionpages2323頁(yè)答案第=page2222頁(yè)，共=sectionpages2323頁(yè)參考答案：1．（1）見解析；（2）【分析】（1）過O作OH⊥BC與H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OH＝OB，證得OH＝OA，于是得到結(jié)論；（2）解直角三角形得到BC＝AB＝3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：過作與，則，，，，，，，，，，，又∵，與相切；（2），，∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，又∵，，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，△OEF∽△OBC，，，，，∴DE，，，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．2．（1）見解析；（2），解析【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）連接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等邊三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可得∠CDB＝30°，從而可得∠ODC＝90°，所以O(shè)D⊥CD，所以CD是⊙O的切線；（2）連接OP，由已知條件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“兩組邊成比例，夾角相等”證明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到結(jié)論．【解析】解：（1）如答圖，連接OD，DB，∵點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等邊三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE為△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）這個(gè)確定的值是．證明：如答圖，連接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．3．（1）見解析

（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理由AB為⊙的直徑得∠ACB=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)結(jié)合等邊對(duì)等角，所以有∠1+∠2=∠3+∠4，證得OC⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得CE是⊙O的切線；（2）在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AD，再證明Rt△ABC∽R(shí)t△ADB，利用相似比計(jì)算出AC，然后證明△ACF∽△ADB，利用相似比可計(jì)算得出結(jié)論.【解析】（1）連接OC，∵AB為⊙O的直徑，且BD是⊙O的切線，∴∠ACB=∠BCD=∠ABD=90°，∵CE為斜邊BD上的中線，∴CE=BE=DE，∴∠2=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線；（2）∵BE=4，半徑為3，∴BD=2BE=8，AB=6，在Rt△ABD中，∴，∵∠ACB=∠ABD=90°，

∴Rt△ABC∽R(shí)t△ADB，∴，即，∴，∵CF⊥AB，∴∠AFC=∠ABD=90°，∴CF∥BD，∴△ACF∽△ADB，∴，即∴.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理和勾股定理．注意掌握輔助線的作法，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（1）見解析；（2）若CD=3，AC=4【分析】（1）連結(jié)DE，由題可推出DE⊥AB，再根據(jù)AD＝BD，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明；（2）此題答案不唯一，根據(jù)現(xiàn)有條件添加一條線段的長(zhǎng)度提出一個(gè)問題，解答即可．【解析】（1）證明：連結(jié)DE，∵∠C＝90°，∴AD為直徑，∴DE⊥AB，∵AD＝BD，∴AE＝BE；（2）若CD＝3，求AC的長(zhǎng)，設(shè)BD＝x，∵∠B＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，∴△ABC～△DBE，∴，∴，∴x＝5，∴AD＝BD＝5，∴AC＝＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（1）見解析；（2）【分析】（1）證明，結(jié)合即可證明；（2）由可求出，再求出GH的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可得解.【解析】（1）證明：∵是⊙的直徑，點(diǎn)是⊙上的點(diǎn)∴又∵是⊙的切線，是切點(diǎn)∴∴又∵，∴．（2）解：由（1）知，得，∵，∴過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)∵是的中點(diǎn)，是⊙的直徑∴又∵BC是⊙的切線，∴∴∴∴∴在中，∴又∵在中，∴∴∴∴＝【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．6．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠BAC為直角，再由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；（2）由PD與BC平行，得到一對(duì)同位角相等，再由同弧所對(duì)的圓周角相等及等量代換得到∠P=∠ACD，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證；【解析】（1）∵圓心O在BC上，∴BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°，連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD為圓O的半徑，∴PD是圓O的切線；（2）∵PD∥BC，∴∠P=∠ABC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，∴∠PBD=∠ACD，∴△PBD∽△DCA．（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）．．．【點(diǎn)評(píng)】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接AE，根據(jù)EF2＝PF?AF得出△AFE∽△EFP，從而得出∠EAF＝∠BEF，得證；（2）連接BF、OF，OF交BE于點(diǎn)Q，根據(jù)tan∠BEF＝，設(shè)BF＝3m，則AF＝4m，根據(jù)勾股定理AB＝5m，再根據(jù)得出OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m，再根據(jù)tan∠BEF＝算出BQ＝EQ＝m，從而求算．【解析】（1）證明：連接AE，∵EF2＝PF?AF，∴，∵∠AFE＝∠EFP，∴△AFE∽△EFP，∴∠EAF＝∠BEF，∴，∴F為弧BE的中點(diǎn)；（2）解：連接BF、OF，OF交BE于點(diǎn)Q，∵AB是直徑，∴∠AFB＝90°∵tan∠BEF＝，∴tan∠BAF＝，設(shè)BF＝3m，則AF＝4m，根據(jù)勾股定理AB＝5m，∴OB＝OF＝m，∵，∴OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m，∵tan∠BEF＝，∴，∴∴BQ＝EQ＝m，在Rt△BOQ中，cos∠ABE＝【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與相似、三角函數(shù)等綜合，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度是解題關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OB，易證∠ECB=∠OBC，從而得OB∥CE，結(jié)合切線的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）連接BD，由勾股定理得BC的值，再證，從而得，進(jìn)而即可求解．【解析】（1）連接OB，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB=∠ECB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ECB=∠OBC，∴OB∥CE，∵CE丄AB，∴OB丄AB，∴AB是⊙O的切線；（2）連接BD，∵CE丄AB，BE=3，CE=4，∴BC=5，∵CD是直徑，∴∠DBC=90°，∴∠DBC=∠E=90°，∵∠OCB=∠ECB，∴，∴，即：，∴CD=，∴OD=CD=×=，∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理的推論，切線的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)定理，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．9．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠B＝∠ADC，得到∠ODC＝90°，于是得到CD是⊙O的切線；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD＝3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和圓的基本性質(zhì)可得，然后根據(jù)垂徑定理的推論可得OD垂直平分AB，從而證出OD⊥PQ，然后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論；（2）連接AD、BD，由（1）的結(jié)論可得AD=BD，∠BDQ=∠ACD，然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DBQ=∠CAD，從而證出△DBQ∽△CAD，列出比例式即可證出結(jié)論．【解析】證明：（1）連接OD∵CD平分∠ACB交于圓O，∴∠ACD=∠BCD∴∴OD垂直平分AB∵PQ∥AB∴OD⊥PQ∴PQ是圓O的切線；（2）連接AD、BD由（1）知，PQ是圓O的切線∴AD=BD，∠BDQ=∠ACD∵四邊形ADBC為圓的內(nèi)接四邊形∴∠DBQ=∠CAD∴△DBQ∽△CAD∴∴【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是圓的綜合大題，掌握與圓相關(guān)的各個(gè)性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．11．（1）證明見解析；（2）圓的半徑為3.【分析】（1）連接，根據(jù)半徑所形成的等腰三角形和平分可以得到，從而證出，即可得證；（2）根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化，結(jié)合得到，可以證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可以得到，同時(shí)，利用角度相等則三角函數(shù)值相等可以得到，從而分別求出，即可求出半徑；【解析】（1）連接圓是的外接圓平分即為圓的切線（2）由（1）證得：在和中：，且，圓是的外接圓,且是圓的直徑圓的半徑為3【點(diǎn)評(píng)】本題主要借助平行線進(jìn)行圓切線的判定，同時(shí)考查了圓和三角形的相似，綜合度比較高，準(zhǔn)確的作出輔助線并找到相似三角形是求解本題的關(guān)鍵.12．（1）BE=2；（2）【分析】（1）設(shè)，則，先證明和都是的切線，則根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，然后理由勾股定理得到，從而解方程求出即可；（2）通過證明得到，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．．【解析】解：（1）設(shè)，則，是以為直徑的圓，，，和都是的切線，又與相切于點(diǎn)，，，在中，，，解得，即的長(zhǎng)為2；（2），，，而，，在和中，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓與相似的綜合，涉及了切線的性質(zhì)、相似三角形判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形性質(zhì)等；靈活應(yīng)用切線長(zhǎng)定理和勾股定理是解題關(guān)鍵．13．（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OC，如圖，利用圓周角定理得∠2+∠3＝90°，再證明∠1＝∠3，則∠1+∠2＝90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到PC與⊙O相切；（2）先利用勾股定理得到PC＝8，再證明△PAC∽△PCB，利用相似比得＝，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理得到BC2+BC2＝122，從而解BC的方程即可．【解析】（1）證明：連接OC，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠2+∠3＝90°，∵∠1＝∠B，∠3＝∠B，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC與⊙O相切；（2）解：在Rt△POC中，PC＝＝＝8，∵∠CPA＝∠BPC，∠1＝∠B，∴△PAC∽△PCB，∴＝＝＝，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC2+BC2＝122，∴BC＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．也考查了圓周角定理．14．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）欲證明△AFG∽△DFC，只要證明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；（2）首先證明CG是直徑且△EDA∽△ADF，結(jié)合△AFG∽△DFC，利用相似三角形的性質(zhì)求出AG，得到DG，再利用勾股定理求出CG即可解決問題．【解析】（1）證明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠DGF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如圖，連接CG．∵∠ADC=90°,∴CD為⊙O的直徑，∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴，即，∵△AFG∽△DFC，∴，∴，在矩形ABCD中，DA=BC=5，DC=AB=3∴∴DG=AD-AG=5-=,在Rt△CDG中，∵CG是⊙O的直徑，∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．15．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解析】（1）證明：平分，，，，，，；（2）解：，，設(shè)，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了角