屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（A）本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡和試卷指定位置上2．作答選擇題前，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：（本大題共8小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1．若曲線在點處的切線與直線垂直，則a的值為（）A． B． C． D．12．甲、乙兩所學校各有3名志愿者參加一次公益活動，活動結(jié)束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，若每排同一個學校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有（）A．36 B．72 C．144 D．2883．設，則（）A．84 B．56 C．36 D．284．某醫(yī)院對10名入院人員進行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗需檢驗10次；若采用10合一混管檢驗，檢驗結(jié)果為陰性則只要檢驗1次，如果檢驗結(jié)果為陽性，就要再全部進行單管檢驗．記10合一混管檢驗次數(shù)為ξ，當時，10名人員均為陰性的概率為（）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.25．某興趣小組研究光照時長和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（）A．相關(guān)系數(shù)r變小 B．決定系數(shù)變小C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預報變量y的相關(guān)性變強6．已知事件A，B滿足，，則（）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨立，則 D．若，則A與B不相互獨立7．某人在n次射擊中擊中目標的次數(shù)為X，，其中，擊中奇數(shù)次為事件A，則（）A．若，，則取最大值時B．當時，取得最小值C．當時，隨著n的增大而增大D．當時，隨著n的增大而減小8．已知函數(shù)，，若存在，使得成立，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：（本大題共4小題；每小題4分，共16分．每小題有多個選項符合題目求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分）9．“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌．為了解學生對“天宮課堂”的喜愛程度，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則（）喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂男生8020女生7030參考公式及數(shù)據(jù)：①，，②當時，．A．從這200名學生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為B．用樣本的頻率估計概率，從全校學生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)D．對抽取的喜歡天宮課堂的學生進行天文知識測試，男生的平均成績?yōu)?0，女生的平均成績?yōu)?0，則參加測試的學生成績的均值為8510．隨機變量ξ的分布列如表：其中，下列說法正確的是（）012PxA． B．C．有最大值 D．隨y的增大而減小11．設甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件“從乙袋中任取2球全是白球”，則（）A．事件A與事件B相互獨立 B．C． D．12．已知a，，，，則（）A．對于任意的實數(shù)a，存在b，使得f（x）與g（x）有互相平行的切線B．對于給定的實數(shù)，存在a，b，使得成立C．在上的最小值為0，則的最大值為D．存在a，b，使得對于任意恒成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．某學校門口現(xiàn)有2輛共享電動單車，8輛共享自行車．現(xiàn)從中一次性隨機租用3輛，則恰好有2輛共享自行車被租用的概率為______．14．若，則______．15．某校高二學生的一次數(shù)學診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個同學的數(shù)學成績X，記該同學的成績?yōu)槭录嗀，記該同學的成績?yōu)槭录﨎，則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率______．（結(jié)果用分數(shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：，；16．若，則實數(shù)m最大值為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某學校研究性學習小組在學習生物遺傳學的過程中，為驗證高爾頓提出的關(guān)于兒子成年后身高y（單位：cm）與父親身高x（單位：cm）之間的關(guān)系及存在的遺傳規(guī)律，隨機抽取了5對父子的身高數(shù)據(jù)，如下表：父親身高160170175185190兒子身高170174175180186（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子比父親矮的條件，由此可得到怎樣的遺傳規(guī)律?（2）記，，其中為預測值，為觀測值，為對應的殘差．求（1）中兒子身高的殘差的和、并探究這個結(jié)果是否對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量都成立?若成立加以證明：若不成立說明理由．參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，．18．（12分）已知函數(shù)，，其中．（1）討論方程實數(shù)解的個數(shù)；（2）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．19．（12分）已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．（1）現(xiàn)從甲箱中隨機抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱，再從乙箱中隨機抽取一件產(chǎn)品，求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率；（2）現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到能將次品全部找出時檢測結(jié)束，已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用15元，設X表示能找出甲箱中的所有次品時所需要的檢測費用（單位：元），求X的分布列與數(shù)學期望．20．（12分）已知函數(shù)有三個零點．（1）求a的取值范圍；（2）設函數(shù)的三個零點由小到大依次是，，．證明：．21．（12分）5G網(wǎng)絡是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一．已知某精密設備制造企業(yè)加工5G零件，根據(jù)長期檢測結(jié)果，得知該5G零件設備生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取100件，測得產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖．根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)．質(zhì)量指標值樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100．用樣本平均數(shù)作為μ的近似值，用樣本標準差s作為σ的估計值．已知質(zhì)量指標值不低于70的樣品數(shù)為25件．（1）求（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若質(zhì)量指標值在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；（3）已知該企業(yè)的5G生產(chǎn)線的質(zhì)量控制系統(tǒng)由個控制單元組成，每個控制單元正常工作的概率為，各個控制單元之間相互獨立，當至少一半以上控制單元正常工作時，該生產(chǎn)線正常運行生產(chǎn)．若再增加1個控制單元，試分析該生產(chǎn)線正常運行概率是否增加?并說明理由．附：，，．22．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若存在兩個極值點，，的取值范圍為，求的取值范圍．2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（A）參考答案及評分標準一、單項選擇題：（本大題共8小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）12345678ABACDBCA二、多項選擇題：（本大題共4小題；每小題4分，共16分．每小題有多個選項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分）9101112BCABCCDABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14．240 15． 16．3四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：（1）由題意得，，，，所以回歸直線方程為，令得，即時，兒子比父親高；令得，即時，兒子比父親矮，可得當父親身高較高時，兒子平均身高要矮于父親，即兒子身高有一個回歸，回歸到全種群平均高度的趨勢（意思對即可）（2），，，，，所以，又，所以，結(jié)論：對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，證明：．18．解：（1）由可得，，令，，令，可得，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，當，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時取得最小值，所以當時，方程無實數(shù)解，當時，方程有一個實數(shù)解，當時，方程有兩個實數(shù)解；（2）由題意可知，不等式可化為，，，即當時，恒成立，所以，即，令，，當時，函數(shù)與的圖象必有一個交點，設交點的橫坐標為，則有，即，①若，當時，函數(shù)的圖象在的上方，所以，在上單調(diào)遞增，所以，②若，當時，函數(shù)的圖象在的下方，，在上單調(diào)遞減，當，函數(shù)的圖象在的上方，，在上單調(diào)遞增，所以，要使當時，不等式恒成立，只需當時，，一方面，令，則在上單調(diào)遞減，又，所以時，，另一方面，由可得，，令，則在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以時，，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．19．解：（1）設“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品”，“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品為一件正品，一件次品”，“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品”，“從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品“，由全概率公式，得．（2）X的所有可能取值為30，45，60，75．則；；；．所以X的分布列為30456075X的數(shù)學期望（元）．20．【解析】（1）因為定義域為，又，（ⅰ）當，，單調(diào)遞減；（ⅱ）當，記，，當，；當，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，，所以①當，，單調(diào)遞減，至多一個零點，與題設矛盾；②當，，由（ⅱ）知，有兩個零點，記兩零點為m，n，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，令，，則，，所以，，∴，，且x趨近0，趨近，x趨近，趨近，所以函數(shù)有三零點，綜上所述，；（2），這等價于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，，，，所以，，所以，，則滿足，，要證，等價于證，易知，令，則，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證即證，，令，，，令，，，所以，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以原命題得證．21．解：（1）因為質(zhì)量指標值不低于70的樣品數(shù)為25件，所以，所以，因為，所以，由題意，估計從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取100件的平均數(shù)為：，（2）由題意知，樣本方差，故，所以產(chǎn)品質(zhì)量指標值，優(yōu)等品的概率（3）假設質(zhì)量控制系統(tǒng)有奇數(shù)個控制單元，設，記該生產(chǎn)線正常運行的概率為，若再增加1個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其正常運行概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有k個控制單元正常工作，新增1個控制單元正常工作，其正常運行概率為；所以增加一個原件正常運行的概率為，即，因為，所以，即增加1個控制單元設備正常工作的概率變小；假設質(zhì)量控制系統(tǒng)有偶數(shù)個控制單元．設，記該生產(chǎn)線正常運行的概率為，若增加1個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有上個元件正常工作，其正常運行概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個控制單元正常工作，新增1個控制單元正常工作，其正常運行概率為；所以增加一個原件正常運行的概率為