高中數(shù)學(xué)必修(2)§1.2.1平面的基本性質(zhì)(二）一、復(fù)習(xí)回顧●lA●lA點(diǎn)A在直線l上點(diǎn)A在直線l外●AA●點(diǎn)A在平面內(nèi)點(diǎn)A在平面外直線l在平面外直線l在平面內(nèi)lll公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．3、平面的基本性質(zhì)的三種語(yǔ)言描述：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).BA公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線．符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：1．點(diǎn)P在直線l上，而直線l在平面內(nèi)，用符號(hào)表示為（）A．B．C．D．2．下列推理，錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．3．下面是四個(gè)命題的敘述語(yǔ)（其中A，B表示點(diǎn)，a表示直線，表示平面）①②③④其中敘述方法和推理過(guò)程都正確的命題的序號(hào)是_______________．DC④二、建構(gòu)數(shù)學(xué)推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：推論1

經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.已知：點(diǎn)A

a.求證：過(guò)點(diǎn)A和直線a可以確定一個(gè)平面.證明：存在性.因?yàn)锳

a，在a上任取兩點(diǎn)B，C.所以過(guò)不共線的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面.（公理3）因?yàn)锽∈，C∈，所以a∈.（公理1）故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面.ABCa唯一性.如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a的平面還有一個(gè)平面，那么A∈，a

因?yàn)锽∈a，C∈a，所以B∈，C∈β.（公理1）故不共線的三點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)又在平面內(nèi).所以平面和平面重合.（公理3）所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a有且只有一個(gè)平面證明：同理：即直線AD、BD、CD共面．直線l與點(diǎn)D可以確定一個(gè)平面又又直線AD、BD、CD在同一個(gè)平面內(nèi)【例1】已知：求證：直線AD、BD、CD共面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.證明：在a上取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)A即：過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面．已知：直線a，b且求證：過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面.過(guò)直線b和點(diǎn)A只有一個(gè)平面即：過(guò)a，b只有一個(gè)平面平面的基本性質(zhì)例2、兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求證：直線AB，BC，AC共面.證法一：因?yàn)锳B∩AB=A所以直線AB，AC確定一個(gè)平面.（推論2）因?yàn)锽∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直線AB，BC，CA共面.平面的基本性質(zhì)ABC證法二：因?yàn)锳

直線BC上，所以過(guò)點(diǎn)A和直線BC確定平面.（推論1）因?yàn)锳∈，B∈BC，所以B∈.故AB

，同理AC

，所以AB，AC，BC共面.平面的基本性質(zhì)ABC證法三：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)可以確定平面.（公理3）因?yàn)锳∈，B∈，所以AB

.（公理1）同理BC

，AC

，所以AB，BC，CA三直線共面.要證各線共面，先確定一個(gè)平面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)。推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行的直線有且只有一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行的直線有且只有一個(gè)平面.證明：由平行線的定義知a，b在同一平面內(nèi)已知：直線a，b且求證：過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面．設(shè)點(diǎn)A為直線a上任一點(diǎn)則點(diǎn)A在直線b外點(diǎn)A和直線b在過(guò)a，b的平面內(nèi)

又由推論1，過(guò)點(diǎn)A和直線b的平面只有一個(gè)過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面．【例3】已知空間四點(diǎn)A、B、C、D不在同一平面內(nèi)，求證：AB、CD既不平行也不相交．證明：假設(shè)AB和CD平行或相交，則AB，CD可確定一個(gè)平面與A、B、C、D不共面矛盾AB和CD既不平行也不相交．

有二位同學(xué)證明如下，請(qǐng)判斷正誤：?jiǎn)栴}研討已知：求證：a，b，c共面．正方體中，試畫出過(guò)其中三條棱的中點(diǎn)P,Q,R的平面截得正方體的截面形狀．思考課堂練習(xí)1、判斷下列命題是否正確(1)如果一條直線與兩條直線都相交,那么這三條直 線確定一個(gè)平面．()(2)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面．()(3)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面．()(4)平面和平面交于不共線的三點(diǎn)A、B、C.()(5)矩形是平面圖形.()×√××√2．空間四點(diǎn)A、B、C、D共面但不共線，則下列結(jié)論成立的是（）A．四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線．B．四點(diǎn)中必有三點(diǎn)不共線．C．AB、BC、CD、DA四條直線中總有兩條平行．D．直線AB與CD必相交．3．下列命題中，①有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；②梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；③三條互相平行的直線必共面；④兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確命題個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．34．空間五個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有三點(diǎn)共線，但有四點(diǎn)共面，這樣的五個(gè)點(diǎn)可以確定平面數(shù)最多為（）A．3B．5C．6D．75．直線l1//l2，在l1上取三點(diǎn)，在l2上取兩點(diǎn)，由這五個(gè)點(diǎn)能確_____個(gè)平面．課堂練習(xí)BD1B課堂練習(xí)6、空間四個(gè)平面兩兩相交，其交線條數(shù)為

.7、空間四個(gè)平面把空間最多分為

部分．8、命題“平面可用符號(hào)語(yǔ)言表述為

.相交于經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線a”9、梯形ABCD中，AB∥CD，直線AB、BC、CD、DA交于點(diǎn)E、G、F、H，那么一定有分別與平面G

直線EF，H

直線EF