高等代數(shù)實(shí)踐課不變子空間第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六引入：回憶：1.子空間：令w是數(shù)域F上向量空間的一個(gè)非空子集。如果W對于V的加法以及標(biāo)量與向量的乘法都封閉，那么稱W是V的一個(gè)子空間。*這一節(jié)課我們將學(xué)習(xí)不變子空間，大家想一下不變子空間與子空間有什么樣的聯(lián)系呢？下面我們比較著學(xué)習(xí)。第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六不變子空間課程要求：1.了解不變子空間的定義

2.哪些是不變子空間，舉例說明

3.“限制”以及它的應(yīng)用

4.不變子空間的求法

5.不變子空間與一個(gè)線性變換的矩陣的關(guān)系第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六定義V的一個(gè)子空間W說是在線性變換σ之下不變（或穩(wěn)定），如果σ(w)?w.簡單的說，如果子空間在σ之下不變，那么w就叫做σ的一個(gè)不變子空間第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六下面，我們來看一下不變子空間的例子例1：V本身和零空間{0}顯然在任意線性變換之下不變。所以V本身和零空間{0}都是不變子空間。再看幾個(gè)例子：例2：令σ是V的一個(gè)線性變換，那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不變，所以σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都是不變子空間。解析：事實(shí)上，對于任意ξ∈Ker(σ)，都有σ（ξ）=0∈Ker(σ)，所以Ker(σ)在σ之下不變。即：Ker(σ)={σ（ξ）=0}至于Im(σ)在σ之下不變，是顯然的。即：Im(σ)=σ（v）第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六例3：V的任意子空間在任意位似變換之下不變

解析：首先請大家回憶一下“位似”的概念位似：令V是數(shù)域Ｆ上一個(gè)向量空間。取定Ｆ的一個(gè)數(shù)k.對于任意ξ?V,定義σ(ξ)=kξ.容易驗(yàn)證,σ是V到自身的一個(gè)線性映射。這樣的一個(gè)線性映射叫做V的一個(gè)位似。位似變換：ξ?kξ第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六例4：令σ是V?中以某一過原點(diǎn)的直線L為軸，旋轉(zhuǎn)一個(gè)角?的旋轉(zhuǎn)。那么旋轉(zhuǎn)軸L是σ的一個(gè)一維不變子空間，而過原點(diǎn)與L垂直的平面H是σ的一個(gè)二維不變子空間。第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六例5：

令f[x]是數(shù)域F上一切一元多項(xiàng)式所成的向量空間，σ：f(x)→f‘(x)是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算。對于每一自然數(shù)n，令Fn[x]表示一切次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所成的子空間。那么Fn[x]在σ之下不變。第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六限制設(shè)w是線性變換σ的一個(gè)不變子空間。只考慮σ在w上的作用，就得到子空間w本身的一個(gè)線性變換，稱σ在w上的限制，并且記作σ｜w.這樣，對于任意ξ∈W,σ｜w(ξ)=σ(ξ).然而，如果ξ?W，那么σ｜w(ξ)沒有意義。第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六現(xiàn)在我們來看一下：不變子空間和簡化線性變換的矩陣的關(guān)系設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維向量空間,σ是V的一個(gè)線性變換。假設(shè)σ有一個(gè)非平凡不變子空間W，那么取W的一個(gè)基α?,α?,…,αγ,再補(bǔ)充成為V的一個(gè)基α?,α?…，αγ,αγ+?,…,αn.由于W在σ之下不變,所以σ(α?),σ(α?),…,σ(αγ)仍在W內(nèi),因而可以有W的基α?,α?,…,αγ線性表示.有：

σ(α?)=a??α?+a??α?+…+aγ?αγ，……………

σ(αγ)=a?γα?+a?γα?+…+aγγαγ，

σ(αγ+?)=a?,γ+?α?+…+aγ,γ+?αγ+aγ+1，γ+1αγ+1+…+an,γ+?

αn

σ(αn)=a?nα?+…+aγnαγ+aγ+1,nαγ+1+…+annαn.第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六因此,σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形A=()，這里有A1=()A1A3OA2a11...a1γ..........aγ1…aγγ第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六是σ|w關(guān)于W的基α?,α?,…,αγ的矩陣,而A中左下方的O表示一個(gè)（n-r）*r零矩陣。即：若線性變換σ有一個(gè)非平凡不變子空間,那么只要適當(dāng)取定V的基,就可以使與σ對應(yīng)的矩陣中有一些元素是零.特別,如果V可以寫成兩個(gè)非平凡子空間W1與W2的直和:V=W1⊕W2,那么選取W1的一個(gè)基α?,α?,…,αγ,和W2的一個(gè)基αγ+?,…,αn，湊成V的一個(gè)基α?,α?,…,αn.當(dāng)W1和W2都在σ之下不變時(shí)，容易看出,σ關(guān)于這樣取定的基的矩陣是A=(),這里A1是r階矩陣，它是σ|w1關(guān)于基α?,α?,…,αγ的矩陣，而A2是一個(gè)n-r階矩陣，它是σ|w2關(guān)于基αγ+?,…,αn的矩陣。A1OOA2第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六例6：令σ是例4所給出的V3的線性變換，顯然V3是一位子空間L與二維子空間H的直和，而L和H都在σ之下不變。取L的一個(gè)非零向量α?，取H的兩個(gè)彼此正交的單位長度向量α?,α3,那么α?,α?,α3是V3的一個(gè)基，而σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣是

()

1

0

00cos?-sin?0Sin?

cos?第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六一般地，如果向量空間V可以寫成s個(gè)子空間W1，W2,...,WS的直和，并且每一個(gè)子空間都在線性變換σ之下不變，那么在每一個(gè)空間中取一個(gè)基，湊成V的一個(gè)基,σ關(guān)于這個(gè)急的矩陣就有形狀(),這里Ai是σ|wi關(guān)于所取的wi的基的矩陣。A10A1?0AS第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期六因此，給了n維向量空間V的一個(gè)線性變換，只要能夠?qū)分解成一些在σ之下不變的子空間的直和，那么就可以適當(dāng)?shù)?/p>