第五章

連分?jǐn)?shù)基本內(nèi)容

連分?jǐn)?shù)的定義和性質(zhì)：理解連分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念，會(huì)證明每一個(gè)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)都是一個(gè)實(shí)數(shù)。

實(shí)數(shù)表示為連分?jǐn)?shù)：會(huì)證明任一無理數(shù)都可表為無限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，了解有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法。

循環(huán)連分?jǐn)?shù)：了解二次代數(shù)數(shù)都是循環(huán)連分?jǐn)?shù)，會(huì)求二次方根的連分?jǐn)?shù)。最佳漸近分?jǐn)?shù)：

5.1連分?jǐn)?shù)的定義及性質(zhì)例

即5.2實(shí)數(shù)表示為連分?jǐn)?shù)任一個(gè)有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)表示一個(gè)有理數(shù)。反之，任意一個(gè)有理數(shù)可以有恰好2種方式表示成一個(gè)有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，其中一個(gè)含有奇數(shù)個(gè)項(xiàng)，另一個(gè)含偶數(shù)個(gè)項(xiàng)。任一個(gè)無限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)表示一個(gè)無理數(shù)。反之，任意一個(gè)無理數(shù)可以唯一的表示成一個(gè)無限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)。若一個(gè)實(shí)無理數(shù)是一個(gè)整系數(shù)一元二次方程的根，則稱為二次無理數(shù)。任意二次無理數(shù)與循環(huán)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)一一對(duì)應(yīng)。要把一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成連分?jǐn)?shù)，只要不斷地把分子分母同時(shí)除以分子，將分子化為1。如37/99﹦？當(dāng)然，連分?jǐn)?shù)也可寫成分?jǐn)?shù)，如實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示算法由來：

早在公元前三世紀(jì)，歐幾里德就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)較優(yōu)的求連分?jǐn)?shù)算法——輾轉(zhuǎn)相除法，實(shí)際上就是求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。我們先來回顧一下輾轉(zhuǎn)相除法，不過這次不用短除式，而嘗試用等式來描述這個(gè)算法。

既然上邊的式子成立，那么下面左式也會(huì)成立。

例1用輾轉(zhuǎn)相除法求942和1350的最大公約數(shù)。于是，有例3斐波那契數(shù)列前項(xiàng)與后項(xiàng)之比的極限（黃金比）為如此反復(fù)，最后得例4例5例6例75.3最佳漸近分?jǐn)?shù)三個(gè)問題：一個(gè)分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式是否可能永遠(yuǎn)寫不完？（否）即便能寫完，是否一定要把它寫完？如果沒有把它寫完就截?cái)?，所得的分?jǐn)?shù)與原來的分?jǐn)?shù)有何關(guān)系？首先，任何一個(gè)有理數(shù)一定可以寫成有限連分?jǐn)?shù)；任何一個(gè)無理數(shù)一定可以唯一地寫成無限連分?jǐn)?shù)；其次，利用分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式的逐次截?cái)嘀担矗瑵u近分?jǐn)?shù)）可以求出該分?jǐn)?shù)的近似值。