課時(shí)作業(yè)(二)余弦定理一、選擇題1．在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(13)，b＝3，A＝60°，則c＝()A．1 B．2C．4 D．62．邊長(zhǎng)為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是()A．90° B．120°C．135° D．150°3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面積S＝eq\f(3,2)eq\r(3)，那么a等于()A．eq\r(7) B．7C．eq\r(17) D．174．(多選)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，對(duì)于△ABC，有如下命題，其中正確的有()A．sin(B＋C)＝sinAB．cos(B＋C)＝cosAC．若a2＋b2＝c2，則△ABC為直角三角形D．若a2＋b2<c2，則△ABC為銳角三角形二、填空題5．在△ABC中，若a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，則∠B的值為________．6．在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，則eq\f(c,sinC)＝________．7．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB，則B＝________.三、解答題8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(b－c,b－a).(1)求角A；(2)若a＝eq\r(6)，△ABC的面積為eq\r(3)，求△ABC的周長(zhǎng)．9．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，試判斷△ABC的形狀．[尖子生題庫(kù)]10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且eq\f(asinA＋bsinB－csinC,sinBsinC)－eq\f(2\r(3),3)a＝0.(1)求角C；(2)若△ABC的中線CE的長(zhǎng)為1，求△ABC的面積的最大值．課時(shí)作業(yè)(二)余弦定理1．解析：a2＝c2＋b2－2cbcosA?13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故選C.答案：C2．解析：設(shè)中間角為θ，則θ為銳角，由余弦定理得cosθ＝eq\f(52＋82－72,2×5×8)＝eq\f(1,2)，θ＝60°，180°－60°＝120°，所以三角形最大角與最小角的和是120°.答案：B3．解析：因?yàn)镾＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3)c,4)＝eq\f(3\r(3),2)，所以c＝2；又因?yàn)閏osA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以eq\f(1,2)＝eq\f(9＋4－a2,12)，所以a＝eq\r(7)，故選A.答案：A4．解析：依題意，△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，A正確；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA，B不正確；因a2＋b2＝c2，則由余弦定理得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，而0<C<π，即有C＝eq\f(π,2)，△ABC為直角三角形，C正確；因a2＋b2<c2，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，而0<C<π，即有eq\f(π,2)<C<π，△ABC為鈍角三角形，D不正確．答案：AC5．解析：根據(jù)余弦定理，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3)ac,2ac)＝eq\f(\r(3),2)，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)6．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝3，所以b＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2.答案：27．解析：由正弦定理得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝eq\f(\r(2),2).又因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B＝45°.答案：45°8．解析：(1)因?yàn)閑q\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(b－c,b－a)，所以eq\f(a＋b,c)＝eq\f(b－c,b－a)，化簡(jiǎn)得c2＋b2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為eq\r(3)，所以eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc＝eq\r(3)，得bc＝4.因?yàn)锳＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(6)，所以b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝6，整理得(b＋c)2＝3bc＋6＝18，解得b＋c＝3eq\r(2).故△ABC的周長(zhǎng)為eq\r(6)＋3eq\r(2).答案：(1)A＝eq\f(π,3)(2)eq\r(6)＋3eq\r(2)9．解析：方法一(利用邊的關(guān)系判斷)由正弦定理，得eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(c,b).∵2cosAsinB＝sinC，∴cosA＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b).∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(c,2b)，∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab.∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC為等邊三角形．方法二(利用角的關(guān)系判斷)∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B).∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.∵0°<A<180°，0°<B<180°，∴－180°<A－B<180°，∴A－B＝0°，即A＝B.∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∴C＝60°，∴△ABC為等邊三角形．10．解析：(1)由eq\f(asinA＋bsinB－csinC,sinBsinC)－eq\f(2\r(3),3)a＝0，得eq\f(a·a＋b·b－c·c,b·sinC)＝eq\f(2\r(3),3)a，即eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),3)sinC，由余弦定理得cosC＝eq\f(\r(3),3)sinC，所以tanC＝eq\r(3)，因?yàn)镃∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，所以C＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理b2＝1＋eq\f(c2,4)－2×1×eq\f(c,2)·cos∠CEA①，a2＝1＋eq\f(c2,4)－2×1×eq\f(c,2)·cos∠CEB②，①＋②得，b2＋a2＝2＋eq\f(c2,2)，即2(b2＋a2)＝4＋c2，因?yàn)閏2＝