一、格林(Green)公式二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、曲線積分基本定理四、小結(jié)第四節(jié) 格林公式區(qū)域連通性復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.DD設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有LD?x

?y?Q

?P-

)dxdy

=(Pdx

+

Qdy

(1)其中L是D的取正向的邊界曲線,公式(1)叫做格林公式.一、格林公式定理1L由L1與L2連成

L由L1與L2組成邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左側(cè).L1DL2L1DL2證明(1)若區(qū)域D

既是X

-型又是Y

-型,即平行于坐標(biāo)軸的直線和L至多交于兩點(diǎn).D

=

{(

x,

y)j1

(

x)

￡

y

￡

j

2

(

x),a

￡

x

￡

b}D

=

{(

x,

y)y

1

(

y)

￡

x

￡y

2

(

y),c

￡

y

￡

d

}yo

ab

xDcdABCy

=

j1

(

x)E

y

=

j

2

(

x)2x

=y

(

y)x

=y

1

(

y)dxdydcD?x?Qdxdy=?Q?x2y

(

y

)y

1

(

y

)=dcdc12Q(y

(

y),

y)dyQ(y

(

y),

y)dy

-=

CBE

Q(

x,

y)dy

-

CAE

Q(

x,

y)dy=

CBE

Q(

x,

y)dy

+

EAC

Q(

x,

y)dyL=

Q(

x,

y)dy同理可證-LDdxdy

=?P?yP(

x,

y)dxoydx

=y

2

(

y)xDcCEx

=y

1

(

y)證明(2)若區(qū)域D

既不是X

-型又不是Y

-型，如圖,LL1L2L3DD1D2D3兩式相加得LDPdx

+

Qdy?Q

-

?P?x

?y)dxdy

=(將D

分成三個(gè)既是X

-型又是Y

-型的區(qū)域D1,D2,D3.1

2

3D

+D

+DD(?Q

-

?P

)dxdy?x

?y?x

?y

(?Q

-

?P

)dxdy

=321DDD?x

?y

?x

?y

?x

?y

(?Q

-

?P

)dxdy

+

(?Q

-

?P

)dxdy

+

(?Q

-

?P

)dxdy=321LLLPdx

+

QdyPdx

+

Qdy

+Pdx

+

Qdy

+L=

Pdx

+

QdyD1D3LL1D2

L2L3(L1,L2

,L3對D來說為正方向)格林公式的實(shí)質(zhì):

溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系.格林公式成立的條件:L閉且取正向,P,Q

?

C(1)(D)簡單應(yīng)用1.簡化曲線積分例1：設(shè)C:(x-2)2

+(y-4)2

=9的正向一周,求2ex22xexdxyC

(x

+

y2

)dy

-3L2例2：求(2xyππy上由點(diǎn)(0,0)到(,1)的一段弧。2-

y2

cos

x)dx

+

(1

-

2y

sin

x

+

3x2y2

)dyL為拋物線2x

=OABL2?x?Q?y?P解：

=

6xy

-

2ycosx

=DOB+BA-L\

Pdx

+

Qdy

=

0dxdy

=

0原式=OB

Pdx

+Qdy

+BA

Pdx

+Qdy22

210p

p2[1

-

2y

sin=4p2+

3(

)

y

]dy

=例3

計(jì)算

e-y2

dxdy

,其中D

是D以O(shè)(0,0),A(1,1),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.解

令P

=

0,2Q

=

xe-

y

,2.簡化二重積分xyoA11BD則?Q

-?P

=e

-y2

,?x

?y應(yīng)用格林公式,有D

xe

-

y2

dyOA+

AB

+BO

e-

y2

dxdy

=1022xe

dx=

xe dy

=-

xOA-

y2=

1

(1

-

e-1

).格林公式:LDPdx

+

Qdy?x

?y?Q

?P-

)dxdy

=(取P

=

-

y,

Q

=

x,

得

2

dxdy

=

L

xdy

-

ydxD閉區(qū)域D

的面積取P

=

0,

Q

=

x,

得取P

=

-

y,

Q

=

0,

得A

=

L

xdyA

=

L

-

ydx3.計(jì)算平面面積Lxdy

-

ydxA

=12例4：計(jì)算Lx2

+

y2xdy

-ydx

,其中L為一條分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.22則當(dāng)x

+

y

?

0時(shí),

有

=

=?x

(

x

2

+

y2

)2

?y?Q

y2

-

x

2

?P

.記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈

,解,

Q=x2

+

y2

x2

+

y2-

y

x令P

=,4.

注意格林公式的條件L(1)當(dāng)(0,0)ˇ

D時(shí),D1rlxyoLD由格林公式知Lxdy

-

ydx=

0x2

+

y2(2)

當(dāng)(0,0)?

D時(shí),作位于D

內(nèi)圓周

l

:

x2

+

y2

=

r

2

,記D1

由L和l

所圍成,應(yīng)用格林公式,得yxolLxdy

-

ydx

=x2

+

y2x2

+

y2xyoD1lrLlLx2

+

y2xdy

-

ydxxdy

-

ydx

=

0x2

+

y2xdy

-

ydx

-(其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針方向)=

2p

.dqr

2=2pr

2

cos2

q

+

r

2

sin2

q0的正向邊界.例:計(jì)算x2

+

y2xdy

-ydx

,其中C為橢圓域D

:2

x2

+y2

￡

1c(2p

)Gxo二、平面定向曲線積分與路徑無關(guān)的條件L12LPdx

+

QdyPdx

+

QdyL1BL2A1、曲線積分與路徑無關(guān)的定義y如果在區(qū)域G內(nèi)有=則稱曲線積分L

Pdx

+Qdy

在G

內(nèi)與路徑無關(guān),否則與路徑有關(guān).2、定理2：四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件在單連通開區(qū)域D

上

P

(

x,

y

),

Q(

x,

y

)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題成立.等價(jià)命題C

Pdx

+

Qdy

=

0,任意閉曲線C

D在D內(nèi)L

Pdx

+Qdy與路徑無關(guān)在D內(nèi)存在u(x,y)使du

=Pdx

+Qdy在D內(nèi),?P

=?Q?y

?x證明

(1)

(2)21L

LPdx

+

Qd

y

-

Pdx

+

Qd

y-=21L

+LPdx

+

Qd

yBL12L=

L

Pdx

+

Qd

y2設(shè)L1

,L2

為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則A(根據(jù)條件(1))?

x

DxDxfi

0Dxfi

0\

?u

=

lim

D

xu

=

lim

P(

x

+q

Dx,

y)

=

P(

x

,

y)=則D

xu

=u(x

+Dx,y)-u(x,y)(

x+Dx

,

y

)(

x

,

y

)

Pd

x

+

Qd

y

=(

x+Dx

,

y

)(

x

,

y

)Pd

x=

P(

x

+q

Dx,

y)Dx?

y同理可證?u

=Q(x

,y),因此有d

u

=P

dx

+Q

d

y和任一點(diǎn)B(x,y

),因曲線積分B(x,

y

)C(x

+

Dx,

y

)A(x0

,

y0

)證明

(2)

(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)與路徑無關(guān),有函數(shù)證明

(3)

(4)設(shè)存在函數(shù)u

(x,y

)使得d

u

=

P

dx

+

Q

d

y則

?u

=

P(

x,

y),

?u

=

Q(

x,

y)?x

?yP,Q

在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有?P

=

?Q?y

?xD?P

”

?Q?y

?x利用格林公式,得L?x

?x(

?Q

-

?Q

)dxd

y

P

d

x

+

Q

d

y

=

D￠DDL證明

(4)

(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,所圍區(qū)域?yàn)镈(如圖),因此在D

上=

0證畢yx?y

?x說明:

根據(jù)定理2

,

若在某區(qū)域內(nèi)

?P

=

?Q

,

則(

x

,

y

)(

x0

,

y0

)P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)d

yu(

x,

y)

==xx00或yy0u(

x,

y)

=00yx0P(

x,

y

)dx

+yy0Q(

x,

y)d

yQ(

x

,

y)d

y

+xx0P(

x,

y)dx計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算, 若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;可用積分法求du

=Pdx

+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):取定點(diǎn)(x0

,y0

)?

D及動點(diǎn)(x

,y

)?

D

,則原函數(shù)為ABCL例

1

計(jì)算

(

x2

+

2

xy)dx

+

(

x2

+

y4

)dy

.

其中2L

為由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(1,1)的曲線弧y

=sin

px

.?P=

?

(

x

2

+

2

xy)

=

2

x?y

?y?Q

=

?

(

x

2

+

y4

)

=

2

x?x

?x解?P

=

?Q

，?y

?x原積分與路徑無關(guān)

故原式=01

1042(1

+

y

)dyx dx

+1523=

.是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求例2: 驗(yàn)證出這個(gè)函數(shù).?x證:

設(shè)P

=

x

y2

,

Q

=

x2

y,

則

?P

=

2

x

y

=

?Q?y由定理2

可知,存在函數(shù)u

(x,y)使du

=

x

y2

dx

+

x2

yd

y。(0,0)。(x,

y)(x,0)=x0yx y

d

y02=yx y

d

y02x

0

dx

+例3:設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場作用下沿曲線L:)2p由A(0,移動到k則有2

2r

4=?y?P

k(x2

-y2

)

?Q=

(

x

+

y

?

0

)?x可見,在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).LA求力場所作的功WyoB

xd

s

=

L

r

2

(

ydx

-

x

d

y)解:

W

=

L

F令A(yù)B

r

2W

=

k

(

y

dx

-

x

d

y)2

2

2k2p=取圓弧

AB

:

x=

p

cosq,

y

=

p

sinq

(q

:

p

fi

0

)LAyoB

x總結(jié):第二類曲線積分計(jì)算I

=

L

Pdx

+

Qdy?P

=

?Q

?P

?

?QI

=

L

Pdx

+

Qdy

=00

0(x,y)(x

,y

)I

=Pdx

+

Qdy閉合非閉閉合D?x

?yI

=

(?Q

-

?P

)dxdy?y

?x

?y

?x

非閉補(bǔ)充曲線再用格林公式或化為定積分yA

xoL其中L

為上半從O(0,0)到A(4,0).DAO,它與L

所圍Ddxdy=

4+

3y)

dx

+

(y2

-

x)

dy+

3y)

dx

+

(y2

-

x)

dy原式=

(x2L

+AO+

OA

(x2420x

dx+例4:計(jì)算圓周解:為了使用格林公式,添加輔助線段區(qū)域?yàn)镈,則643=

8π

+解:由圖知-

y

d

x

+

x

d

y=

(=

2D

d

x

d

y

+=

2p

-

2+

)(-y

d

x

+

x

d

y)3-1y

=

2

+

4-3

(x

-1)AB的方程F

=(-y

,x),故所求功為例5:質(zhì)點(diǎn)M

沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動到點(diǎn)B(3,4),在此過程中受力F

作用,F

的大小等于點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離,其方向垂直于OM,且與y

軸正向夾角為銳角,求變力F

對質(zhì)點(diǎn)M

所作的功.(考研)W

=

AB

F

d

s

=

FAyBDM

(x,

y)xo例

設(shè)曲線積分

xy2dx

+

yj(

x)dy

與路徑無關(guān),計(jì)算L其中j具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),

且j(0)

=

0,(1,1)(0,0)2xy dx

+

yj(

x)dy.積分與路徑無關(guān)=?y

?x?P

?Q，解?P

=

?

(

xy2

)

=

2

xy,?y

?y?Q

=

?

[

yj(

x)]

=

yj￠(

x),?x

?xP(

x,

y)

=

xy2

,Q(

x,

y)

=

yj(

x),由j(0)=0，知c

=0

j(

x)

=

x2

.故(1,1)(

0,0)2+

yj(

x)dyxy

dx由

yj

(

x)

=

2

xy

j(

x)

=

x2

+

c

=1010ydy0dx

+.12=（1）定義:?Q

=

?P?x

?y若有全微分方程3、二元函數(shù)的全微分方程求解則P(x,y)dx

+Q(x,y)dy

=0u(x,y)=C是微分方程的通解例如xdx

+ydy

=0,是全微分方程.求方程(x3

-3

xy2

)dx

+(y3

-3

x2

y)dy

=0的通解.解?P

=-6

xy

=?Q

,是全微分方程,xyy dy

+003(

x3

-

3

xy2

)dx?y

?xu(

x,

y)

=32

2y4

x44

+

4

-

2

x

y

=

C

.原方程的通解為32

2y4

x4=

4

+

4

-

2