專項(xiàng)培優(yōu)5章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一互斥事件、對(duì)立事件與相互獨(dú)立事件1．互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況．2．若事件A，B滿足P(A∩B)＝P(A)P(B)，則事件A，B相互獨(dú)立，且當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)，A與B，A與B，A3．通過(guò)對(duì)互斥事件和對(duì)立事件的概率公式、相互獨(dú)立事件的判斷方法及應(yīng)用的考查，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例1(1)[2021·新高考Ⅰ卷]有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立(2)[2022·福建廈門高一期末]拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，則()A．甲乙互斥B．乙丙互為對(duì)立C．甲乙相互獨(dú)立D．甲丙相互獨(dú)立考點(diǎn)二古典概型1．古典概型是一種最基本的概率模型，是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝mn時(shí)，關(guān)鍵在于正確理解試驗(yàn)的發(fā)生過(guò)程，求出試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)n和事件A的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m2．通過(guò)對(duì)古典概型的概率公式及其應(yīng)用的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．例2(1)[2022·全國(guó)甲卷]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A．15B．13C．25(2)[2022·新高考Ⅰ卷]從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A．16B．13C．12(3)[2022·河北石家莊高一期末]全國(guó)文明城市，簡(jiǎn)稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會(huì)中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市．全國(guó)文明城市稱號(hào)是反映中國(guó)大陸城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號(hào)．為普及相關(guān)知識(shí)，爭(zhēng)創(chuàng)全國(guó)文明城市，某市組織了文明城市知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)單位各5名職工的成績(jī)(單位：分)如下表：甲單位8788919193乙單位8688919293①根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個(gè)單位5名職工的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較哪個(gè)單位的職工對(duì)文明城市知識(shí)掌握得更好；②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績(jī)差的絕對(duì)值不小于4的概率．考點(diǎn)三相互獨(dú)立事件的概率1．相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問(wèn)題具有一個(gè)明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解．2．通過(guò)對(duì)相互獨(dú)立事件的概率的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．例3(1)[2020·新高考Ⅰ卷]某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%(2)[2022·全國(guó)乙卷]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則()A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大(3)在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為45和34①甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率；②至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率．專項(xiàng)培優(yōu)5章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)聚集·分類突破例1解析：(1)P(甲)＝16，P(乙)＝16，P(丙)＝536，P(丁)＝636P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝136＝P(甲)P(丁)P(乙丙)＝136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故選(2)由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的所有可能情況為36種，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”包含的基本事件有：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，則P1＝636＝1乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”包含的基本事件有：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，則P2＝436＝1丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”包含的基本事件有：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，則P3＝636＝1對(duì)于A，甲乙有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，除了乙丙以外還有其他事件發(fā)生，不是對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲乙同時(shí)發(fā)生的概率為P4＝136≠P1P2，C對(duì)于D，甲丙同時(shí)發(fā)生的概率為P5＝136＝P1P3，D正確．故選答案：(1)B(2)D例2解析：(1)從6張卡片中任取2張的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種不同取法，其中2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種，所以所求概率p＝615＝25.(2)方法一從2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)有21(種)結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的結(jié)果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14種，所以所求概率為1421＝23.方法二從2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)有21(種)結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的結(jié)果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種，所以所求概率為21-721＝2(3)①x甲＝87+88+91+91+935＝x乙＝86+88+91+92+935＝s甲2＝15[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]s乙2＝15[(86－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]顯然x甲＝x乙②從乙單位5名職工中隨機(jī)抽取2名，他們的成績(jī)組成的所有基本事件(用數(shù)對(duì)表示)為(86，88)，(86，91)，(86，92)，(86，93)，(88，91)，(88，92)，(88，93)，(91，92)，(91，93)，(92，93)，共10個(gè)．記“抽取的2名職工的成績(jī)差的絕對(duì)值不小于4”為事件A，則事件A包含的基本事件為，(86，91)，(86，92)，(86，93)，(88，92)，(88，93)，共5個(gè)．由古典概型計(jì)算公式可知P(A)＝510＝1答案：(1)C(2)D(3)見(jiàn)解析例3解析：(1)記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A＋B，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A·B，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46.所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選C.(2)設(shè)第二盤與甲比賽，則p甲＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3]＝2p1(p2＋p3－2p2p3)．設(shè)第二盤與乙比賽，則p乙＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3]＝2p2(p1＋p3－2p1p3)．設(shè)第二盤與丙比賽，則p丙＝2[p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3]＝2p3(p1＋p2－2p1p2)．p甲－p乙＝2p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝2p2(p1－