7．1.1角的推廣【課程標準】1.了解任意角的概念．2．掌握象限角的概念．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點知識點一角的概念(1)角的形成：角可以看成是________繞著它的________從一個位置________到另一個位置所成的圖形．(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：①正角：按照______________而成的角；②負角：按照______________而成的角；③零角：當(dāng)射線______________時，我們也把它看成一個角，稱為零角．知識點二利用轉(zhuǎn)角給出角的加減法運算的幾何意義(1)射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB所成的角，記作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始邊，__________叫做∠AOB的________．(2)引入正角、負角的概念以后，角的加法運算可以轉(zhuǎn)化為角的終邊繞始邊逆時針旋轉(zhuǎn)，減法運算可以轉(zhuǎn)化為角的終邊繞始邊順時針旋轉(zhuǎn)．知識點三象限角角的頂點與坐標原點重合，角的始邊落在x軸的正半軸上，那么，角的終邊在第幾象限，就把這個角稱為________________．如果終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．狀元隨筆零角是終邊和始邊重合的角，但終邊和始邊重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的終邊和始邊也重合．知識點四終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與__________的和．基礎(chǔ)自測1．鐘表的分針在一個半小時內(nèi)轉(zhuǎn)了()A．180° B．－180°C．540° D．－540°2．(多選)下列各角中，與330°角的終邊相同的角是()A．510° B．1050°C．－150° D．－390°3．已知角α是第一象限角，則α＋180°是第________象限角．課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1任意角的概念例1(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是()A．A＝B＝C B．A?CC．A∩C＝B D．B(2)將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角的度數(shù)為________，將35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角的度數(shù)為________.方法歸納利用角的概念進行判斷判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧：①關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．②技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列關(guān)于角的敘述，正確的是()A．終邊相同的角一定相等B．鐘表的時針旋轉(zhuǎn)而成的角是負角C．終邊相同的角之間相差180°的整數(shù)倍D．大于90°的角都是鈍角(2)喜羊羊步行從家里到草原學(xué)校去上學(xué)，一般需要10分鐘，則10分鐘內(nèi)，鐘表的分針走過的角度是()A．30° B．－30°C．60° D．－60°題型2終邊相同的角的概念例2(1)寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來；狀元隨筆(1)對終邊相同的角的說明所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在運用時，需注意以下三點：①k是整數(shù)，這個條件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°與α之間用“＋”號連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．(2)在0°到360°范圍內(nèi)找出與直線y＝x終邊相同的角，再推廣到任意角．(3)終邊相同的角的取值是由k的取值決定的．(2)終邊與坐標軸重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}狀元隨筆終邊在坐標軸上的角的集合表示角α的終邊位置角α的集合表示在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐標軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}方法歸納在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法：①一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．②如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負角時，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達到要求為止．跟蹤訓(xùn)練2(1)下面與－850°12′終邊相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′(2)終邊在x軸上的角的集合是()A．{α│α=k·180°，k∈Z}B．{α│α=90°+k·360°，k∈Z}C．{α│α=－90°+k·360°，k∈Z}D．{α│α=k·360°+180°，k∈Z}題型3象限角與區(qū)域角的表示及αk(k∈N*所在象限的判定方法【思考探究】1.象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}2.由α所在象限如何求αk(k∈N*)[提示](1)代數(shù)推導(dǎo)法：先表示出角α所在的象限范圍，再求出αk所在的范圍，進一步由k值確定．如：當(dāng)角α在第二象限時，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，則30°＋k·120°<α3<60°＋k·120°，k∈Z，所以(2)等分象限法：將各象限k等分，從x軸正半軸開始逆時針方向依次標注1，2，3，4，循環(huán)下去，直到填滿為止，則當(dāng)α在第n象限時，αk就在n號區(qū)域．例如：當(dāng)角α在第二象限時，α2在圖k＝2時的2號區(qū)域，α3在圖k＝3時的2號區(qū)域．但此規(guī)律有局限性，如在已知角α的范圍求角例3(1)如圖，終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合是()A．{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°，k∈Z}C．{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}D．{α|k·360°＋30°<α<k·180°＋45°，k∈Z}(2)已知角β的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)，試指出角β的取值范圍；(3)已知α為第二象限角，則2α，α2狀元隨筆(2)可由α范圍寫出2α，α2的范圍后，直接求得2α的范圍，然后分k為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況確定α方法歸納1．表示區(qū)間角的三個步驟：第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：扇形區(qū)域起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上k·360°，即得區(qū)間角集合．對頂區(qū)域，始邊、終邊再加上k·180°即得區(qū)間角集合．(k∈Z)．2．解決αk所在象限的問題，要先確定α的范圍，進一步確定出nα或αn的范圍，再根據(jù)k與跟蹤訓(xùn)練3(1)寫出圖中陰影部分(不含邊界)表示的角的集合；(2)已知α為第二象限角，試判斷α3題型4關(guān)于角的對稱問題[邏輯推理]例4若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α狀元隨筆因為α為第一象限角，所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，結(jié)合不等式判斷題中各選項中的角所在象限．方法歸納角的終邊的對稱問題若角α與β的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y＝x對稱，則角α與β分別具有怎樣的關(guān)系？[提示](1)關(guān)于y軸對稱：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(2)關(guān)于x軸對稱：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(3)關(guān)于原點對稱：若角α與β的終邊關(guān)于原點對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)關(guān)于直線y＝x對稱：若角α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.跟蹤訓(xùn)練4(1)若α是第四象限角，則90°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)若α是第四象限角，則180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角第七章三角函數(shù)7．1任意角的概念與弧度制7．1.1角的推廣新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點]知識點一(1)一條射線端點旋轉(zhuǎn)(2)逆時針方向旋轉(zhuǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)沒有旋轉(zhuǎn)知識點二(1)OAOB終邊知識點三第幾象限角知識點四{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}整數(shù)個周角[基礎(chǔ)自測]1．解析：鐘表的分針是順時針轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)過－360°，當(dāng)分針轉(zhuǎn)過一個半小時時，它轉(zhuǎn)了－540°.答案：D2．解析：與330°終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，當(dāng)k＝－2時，β＝330°－720°＝－390°，當(dāng)k＝2時，β＝1050°，故選BD.答案：BD3．解析：∵角α是第一象限角，α＋180°是將α的終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到，∴α＋180°的終邊在第三象限，∴α＋180°是第三象限角．故答案為三．答案：三課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)第一象限角可表示為k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；銳角可表示為0°<β<90°；小于90°的角可表示為γ<90°；由三者之間的關(guān)系可知，選D.(2)把35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得35°－60°＝－25°；把35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后得35°＋360°＝395°.【答案】(1)D(2)－25°395°跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)終邊相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A錯；鐘表的時針是順時針旋轉(zhuǎn)，故是負角，所以B對；終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍，C錯；200°>90°，但200°不是鈍角，D錯．(2)利用定義，分針是順時針走的，形成的角度是負角，又周角為360°，所以有360°60×10＝60°答案：(1)B(2)D例2【解析】(1)直線y＝x與x軸的夾角是45°，在0°到360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個：45°，225°.因此，終邊在直線y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k所以S中適合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.(2)終邊在坐標軸上的角為90°角或90°的整數(shù)倍角，所以終邊與坐標軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}．【答案】(1)見解析(2)D跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝3時，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.(2)終邊在x軸正半軸上的角的集合為{α|α＝k·360°，k∈Z}，終邊在x軸負半軸上的角的集合為{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以，終邊在x軸上的角的集合為{α|α＝k·360°，k∈Z}∪?{α|α＝(2k＋1)·180°＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，故選A.答案：(1)B(2)A例3【解析】(1)在0°～360°內(nèi)落在陰影部分角的范圍為大于150°而小于225°，所以終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合為{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}．(2)陰影在x軸上方部分的角的集合為A＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}．陰影在x軸下方部分的角的集合為B＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}．所以陰影部分內(nèi)角β的取值范圍是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β<k·其中B可以化為：{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°，k∈Z}．即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．集合A可以化為{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}．故A∪B可化為{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}(3)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，∴2α是第三或第四象限角，或是終邊落在y軸的非正半軸上的角．同理45°＋k2·360°<α2<90°＋當(dāng)k為偶數(shù)時，不妨令k＝2n，n∈Z，則45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°，此時，α當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1，n∈Z，則225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°，此時，α∴α2【答案】(1)C(2)見解析(3)見解析跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)在－180°～180°內(nèi)落在陰影部分角的集合為大于－45°小于45°，所以終邊落在陰影部分(不含邊界)的角的集合為{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z