第6章線性空間

§6.1定義及性質(zhì)

1.線性空間的定義

令「是一個(gè)非空集合，尸是一個(gè)數(shù)域。在集合憶的元素之間定義一種叫做加法的代數(shù)運(yùn)算，使得對于「中任意兩個(gè)向

量a與/,在憶中都有唯一確定的一個(gè)元素/與它們對應(yīng),稱為a與尸的和,記為y=a+/；在數(shù)域P與集合P的元素

之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法，這就是說，對于數(shù)域P中任一個(gè)數(shù)左與廠中任一個(gè)元素a,在廠中都有唯一的一

個(gè)元素b與它們對應(yīng)，稱為左與a的數(shù)量乘積，記為6=%a。如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P上的

線性空間。

加法滿足下面四條規(guī)則：

(1)a+P=fi+a；(2)(a+/)+y=a+(〃+y)；

(3)在P中有一個(gè)元素0,使得對Vae%,都有a+O=a(具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為廠的零元素)；

(4)VaGK,存在使得a+￡=0(6稱為a的負(fù)元素).

數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：

(5)la=a；(6)k(la)=(kl)a；

數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：

(7)^k+l^a=ka+la(8)左(a+￡)=攵a+4￡

在以上規(guī)則中，左，/表示數(shù)域尸中任意數(shù)；a,表示「中任意元素。線性空間中的元素也稱為向量。

2.線性空間的性質(zhì)

(1)(-l)a=-a；(2)0a=0,左0=0；(3)ka=0ok=0或a=0。

3.數(shù)域尸上的線性空間憶中向量的線性相關(guān)、無關(guān)、極大線性無關(guān)組、秩等定義與性質(zhì)與P"中的相同。

4.例子

(1)用定義證明是線性空間

例1.(遼大2012年，七；北大教材P269,3.8))全體正實(shí)數(shù)R+對于下面定義的數(shù)量乘法和加法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線

性空間：aSb=ab,k0a=ak,a,beR+,左eR。

證明：首先：Va/eR',VkeR,。十6="bGR'且唯一，=且唯一。其次：

①a^b=ab=ba=b十a(chǎn)；②(a十b)十c=(ab)十c=(ab)c=a(bc)=a十9十c)；

③找零元：設(shè)e是零元，那么eeR+,且對Wae區(qū)+4十。=ea=ane=1,于是存在1eR,,使得對

VaeR+,1十a(chǎn)=la="，知1是零元；

④對每個(gè)元素找負(fù)元：VasR\設(shè)"為其負(fù)元，則有且。十a(chǎn)'=aa'=l=a'=L,因此對VaeRZ存在

a

—GRi,使得a十L=QX'=I,知'是a的負(fù)元；

aaaa

(5)l°a-a'-a,VaeR+；⑥k°(l°a)=k°a'=(a')=a"=(kl)。a；

⑦(左+/)°a=a*"=/，=(左。a)十(7°a),\/k,leR,VaeR+；

⑧左。(a十b)=左。(ab)=(a6)*=akbk=(A。a)十(左。b),VA:eR,Va,fteR+?

綜上可知原命題成立。

(2)用子空間來證明是線性空間

例2.(北師大2015年，4題前一部分)設(shè)少={/eR"*"卜(/)=0,/,=/},證明少按著矩陣的加法和數(shù)量乘法構(gòu)

成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。

分析：只需說明少是R上的線性空間R"x"的子空間即可。要證明集合匕是數(shù)域夕上的線性空間/的一個(gè)子空間，首先需

說明匕是P的非空子集，其次說明對Va,尸wK，V左wP,有a+夕€匕?。€匕，或?qū)a,夕e%,V幺/cP有

ka+lJ3eV}o

證明：首先R"X"是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，其次，因〃階零方陣€少，因此力是R"*"的非空子集，又任取

任取忙/eR,有M+ABeR"*",tr(A)=Q,AT=A,tr(B')=0,BT=B,進(jìn)而有：

"(以+/5)="(ZN)+0(/6)=左次(4)+〃r(6)=Z0+/0=0+0=0

[kA+IB)，=(kA)r+(IB)T=kAr+lBr=A+B

因此以+/6w%,故力是實(shí)數(shù)域R上的線性空間R"*〃的子空間，知命題成立。

’22-2、

例3.(中科院2011,5,(3)前一部分)設(shè)/=25-4,P={5e1^*3=5/},證明憶是R上一線性空

「2~45)

間(按矩陣的加法與數(shù)量乘法)。

證明：首先R3*3是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，其次，因3階零方陣。33€U，因此「是R"3的非空子集，又任取

任取左,/eR,有0B+/CeR3x3,AB^BA,AC=CA,進(jìn)而有：

A(kB+lC)=A(kB)+A(lC)=k(AB)+l[AC)=k(BA)+l(<CA)=(kB)A+(<lC)A=(kB+lC)A

因此"+/Ce%,故憶是實(shí)數(shù)域R上的線性空間Rs、?的子空間，知命題成立。

例4.北大教材第四版P268,3.1).設(shè)〃是一個(gè)正整數(shù)，K={/(x)eR[x]W(/(x))=〃},證明「按多項(xiàng)式的加法和

數(shù)與多項(xiàng)式的乘法不構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。

證明：因x",—x"w『，但x"+(—x")=0eP,因此命題成立。

例5.R按數(shù)的加法和乘法不做成C上的線性空間。

證明：因ieC,leR,但i1=igR,因此命題成立。

§6.2基、維數(shù)、坐標(biāo)

1.基、維數(shù)、坐標(biāo)的定義：數(shù)域P上線性空間修中的向量區(qū),見，…,見線性無關(guān)，憶中任意一個(gè)向量。都可由劣,%，…，%

線性表出：a=kiai+k2a2+--+knan,則a”％,…,％稱為%的一組基（或基底），并稱P為〃維線性空間,此時(shí)表是有

限維的。如果在線性空間廠中可以找到任意多個(gè)線性無關(guān)的向量，則稱「是無限維線性空間；如果k只含有零向量，則稱

V為零空間。有限維非零線性空間的維數(shù)就是它的任意一組基所含向量的個(gè)數(shù)，零空間的維數(shù)為零。線性空間V的維數(shù)記

為dim/或dim（P）。（占，左2,…,左”）稱為向量a在基%下的坐標(biāo)。

例1.⑴P"4“）舊€尸（，=1,2「-,〃）}是數(shù)域。上的線性空間，求尸”的一組基和維數(shù)。

解:取P"中的單位向量構(gòu)成的向量組與=（1,0「-,0）,￡2=（0,1「一,0）「-,%=（0,0「：1），則￡”￡2J.，￡“線性無關(guān)，

且V?,g,…,a"）cP',有（41,電,…,〃“）=fa?，所以￡”￡2,…,％是尸"的一組基，此基也稱為P"的自然基，

/=1

dimPn=n°

⑵P"*"={/=（旬）,Ja小產(chǎn)（i=1,…，見J=1,…,〃）}是數(shù)域尸上的線性空間，求Pmxn的一組基和維數(shù)。

解：取尸心"中的向量組：

0

Ey=0???010…0i（/'==1,2,-??,/?）

0

\、oy>mxn

j

那么對v，=（傳有/=（羯3內(nèi)，由此可知心,…,號烏，…昌，…,紇”…，紇“線性無關(guān),

/=1j=l

因此勺,…，％，…，紇“，…，紇，"是P"X"的一組基，dimP"、"=/H〃。

（3）設(shè)〃為正整數(shù)，那么P[x]“={ao+/x+…+4_產(chǎn)"[《eP（i=0,l,2,…，〃一1）}是數(shù)域P上的線性空間，求尸[x]“的

一組基和維數(shù)。

fl-1

解：取尸[x]“中的向量組尸[x]“，則對V/Xxbao+qxH■…+e尸[乩，有/（x）=1%）+qxd■…+a?_1x,

由此還可得知l,x,…,x"T線性無關(guān)，因此l,x,…,x"T是尸[可“的一組基，dimP[x]=〃。

例2.（北師大2015年，4題后部分）設(shè)少={/eRg，M/）=0,/T=/},（1）證明少按著矩陣的加法和數(shù)量乘法

構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間；（2）求印的一組基和維數(shù)。

分析：要求線性空間V的一組基和維數(shù)只需這樣做：找到V中一組線性無關(guān)的向量，說明V中每個(gè)向量可由這組線性

無關(guān)向量線性表出。

(〃)

《2…a\n

i=2

解：任取有力=a\2a22…a2n。用E,.表示第i行第/列元素為1,其余元素皆為零的〃階方陣。

、a\na2n???ann)

在力中令%.=1,其它元素等于零,得一片1+旦"％(，=2/：〃)；在“中令%.=1,其它元素等于零，得

Etj+EJtj<n).那么:

(〃

i=2

a

A=a\2a22a..(-Eu+￡..)+Zij(4,+E

\<i<j<n

aa

\n,m)

知田中任一向量可由它中的向量組—%+E“(i=2,…,〃)，Ejj+Eji(1?i<./W〃)線性表出，且若:

a

Z%(一月1+與)+ZiJ(4+號)=。

/=2

就會有:

(〃、

力-%.

a\?

1=2

a\2O=ajt=0(/=2,/=0(1<z</<?

aaa

\n2nnnJ

知一與+紇(i=2,…,〃)，E..+E..(l<z</?〃)線性無關(guān),所以—好+紇(，=2,…⑼,Eij+EjC〈ivjWn)為W

?(?-1)(也『，于是力的維數(shù)為

的一組基，該基含向量的個(gè)數(shù)為(〃-1)+(1+2+…+(〃-1))=-------+I/2

21

2

100、

例3.求尸/3中所有與“020可交換的矩陣組成的的子空間C(z4)的維數(shù)與一組基。

00V

解：設(shè)5=(得)3*3是「“3中任一與A可交換的矩陣,則有:

00)色bn4“23(\00、

02。b2\。22%。22。23020

，82犯共00

,00V32也13

匹“2a3b】i2bI?3如、

即:2e2b13—^212b223g

3b3%3、、既2b323b3”

所以有均?=/4.,推出(，一/)4=0,i,J=l,2,3,于是當(dāng)i。/時(shí),btj二0,因此:

仙00>

C(J)=0b220|Z>,7eP,z=1,2,3>

00

00、'000、'000、

所以E“=o00，石22=010’/=000是C(Z)的一組基，C(N)的維數(shù)為3。

I。01J

00,<000>、0

「22-2、

例4.(中科院2011,5,(3)后一部分)設(shè)/=25-4V=[B&R3、3=BA\,證明憶是R上一線性空

、-2-45，

間(按矩陣的加法與數(shù)量乘法)，并確定/的維數(shù)。

'22-2、

分析：因/=25-4是3階實(shí)對稱矩陣,因此存在3階正交矩陣U,使得:

；-2

「4\、

U'AU=ir'AU=4n/=U4「

其中4,是4的全部特征值。又任取則有=進(jìn)而有:

44、、、

U4UB=BUA■=>UBU=UBUA

474/4)4/

解：先求/的特征值:

2-2-222-2-22A-2-22

|花-止-2Z—54-2A.—54=(/l-l)-2A—54

242-502-1A—1011

2-2-42

22

=(2-1)-22-94(2-l)(A-ll/l+10)=(2-l)(2-10)

001

、

1f1

得”的特征值為Li,io。于是存在3階正交矩陣u,使得uNu=tr，u=1n4=U1u~\

io)、

電

。12%

卜面求t/TSU,設(shè)。一如〃=b

2ib22怎，則有:

也1°32°33>

4%加r]p如io九、(如42%

bbb1h

2\2223=1。221時(shí)232\怎，23

110既

10&21043

也|b3210,、%1°b33>

=>10%—，]3,1°，23—33,41=1。卜3]也2=10%=仇3=%=既=^32=。

配bl20)優(yōu)I%0)

得：U'BU=既b220,于是：B=Uh2ih220U-',\/bt],b]2,b2],b22,b.>33eR。

0°“33/°°，33/

令(好也也,依次取(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1),得修中5個(gè)向量:

’100)僅10、'000、'000、’000、

tz000U\U000U-',U100u\u010u-',u000U-'

、000J1000>、000,1000；、00"

%^21E22七33

而

pi.420、

l

B=U%J0U-'=buUEnU-'+bl2UEi2U-'+b2iUE2iU-+h22UE22U-'+b33UEi3U

,00

由此可得?！陓|￡/工。自231迎21。7，〃弓2。，。￡33右1線性無關(guān)，因此UE"t/T,〃62〃一1,。上21/1,準(zhǔn)22少’,班33〃7

是「的一組基，dim/=5。

例5.(北大教材第四版，P269,8.4))求下列線性空間的維數(shù)和一組基。4)實(shí)數(shù)域上由矩陣

1、

A=co,a)=-1丁的全體多項(xiàng)式做出的空間。

2

a)

解：設(shè)給定的線性空間為H，貝I」：

V={/(/)=。0E3+。/+…+?！?"卜是任一非負(fù)整數(shù)，V%,a,,--?,??GR|。

又勿=士巫?是f+x+l的根，因此是》3_1

(X-1)(X2+X+1)的根,因此蘇=1=>療"=1,G弘+1=①,。3/+2_4。

2

于是有：

、

13

A=(DararA=1

①)

推出：

A3k=E,A3k+l=A,A3k+2=A2

2

于是「={/(4)=a0E,+a}A+a2^|Va0,a”與《R}，知憶中每個(gè)向量可由它中的向量組E3,A,Z?線性表出，下面說明

4彳線性無關(guān)。為此設(shè)左。%+左M+&/2=。，即:

)f°、

22

1cok0+klco+k2co=0

k0+k^Gr+k2coJ10,

k+k+k=0

n}211111\

知：〈左0+K(y+左2療=0，而因1，⑦，02互不相同，所以1co(/y*=14co”a)r270,于是得勺=%=怎=0,因

k°+k1(o~+左,0=01療

此生，4/2線性無關(guān)，得七3,4/2是憶的一組基，dimK=3o

例6.(陜西師大2015年，6,20分)設(shè)馬，4,…，邑是數(shù)域P上的〃維線性空間修的一組基，此是產(chǎn)的非平凡子空

間，名,是田的一組基，證明：可以在el，與…，％中找到〃一八個(gè)向量q,邑，…，使得

4,…，”，是修的一組基。

證明：(此題要用到北大教材P104頁第9題)因沙是憶的非平凡子空間，所以0<dim%=r<〃?？紤]向量組

4,￡2,…，%，因￡|,￡2,…，%是％的一組基，所以四。2,…，巴與，？，…，%可由與，？，…，%線性表出，又

￡”￡2,…,生可由四,。2,…,1八與，￡2,…，%線性表出，因此這兩個(gè)向量組等價(jià)，于是它們有相同的秩，而因巧,￡2,…,%是

%的一組基，所以馬,々,…,%線性無關(guān)，得其秩為〃，因此名,小與，…，邑的秩為〃，推出

ava2,-,ar,￡^e2,-,￡n的任一極大線性無關(guān)組含〃個(gè)向量，又叫,,是%的一組基，所以a”里,…,小是

%,4,…,％,￡|,￡2,…,%中廠個(gè)線性無關(guān)的向量，因此它可擴(kuò)充為q。2,…，巴，鳥，與，…，￡"的一個(gè)極大線性無關(guān)組，即

可以在￡1,￡2,…,％中找到〃一廠個(gè)向量先，，使得四，。2,…，％，/，與，，…，?，是4,%，…，％/，々，…，%的一

個(gè)極大線性無關(guān)組，而dim%=〃，知風(fēng),a,,與石，…,￡,?是修的一組基。

I，'*1*2*n-r

2.過渡矩陣

(1)過渡矩陣的定義：設(shè)四,。2,…，%與自，尸2,…，垢是〃維線性空間P的兩組基，用,四,…，氏由四,％，…,％線性

表出為：

一=%,+%%+…+%%,

A=4|2囚+出2%+3+42%，

■=^na,+a2na2+-+annall.

a\\a\2a\n

則〃級矩陣?■"?稱為由基四,4,…,％到四,A，…，亂的過渡矩陣，它是可逆的，并記

4a”2,1?a,.?,

。2,…'Bn}=(a、,%,…,a”)A°

(2)過渡矩陣的性質(zhì)

_|

①過渡矩陣/是可逆矩陣；②(^],^2,---,^?)=(al,a2,---,a?)^=>(al,a2,---,a?)=(/7l,^2,---,/7?)/4o

(3)過渡矩陣的求法

①用過渡矩陣的定義：

②在尸"中，由(瓦四a,a"尸(無昆，…,萬”)，此時(shí)可用初等變換求得過

渡矩陣N：

(q,%,???,%1(綜夕2,…，￡")=，

(%%,???,%廠(如%，???，%)=￡“

(因,％,…,%I緣％…,a)初等行變換->(紇IA)

③在修中選一簡單的基6,02,…,e”，求46,使得:

(廣"耳，…=(勺烏,…,e“)4(多,4,…,%)=(el/，…，6)5

于是:

(瓦巴…，夕”)=(，，02,=3,a2…,

例7.(北大教材第四版，P269,8.4))求尸4的基因=(1,2,-1,0),&2=(1,-1,1,1),%=(一1，2,1,1),?1=(-1,-1,0』)到

基佚=(2,1,0,1),⑸=(0,1,2,2)次=(-2,1,1,2),上4=(1,3,1,2)的過渡矩陣C。

l

解：方法1：(jS1,j32,j33,j34)=(al,a2,ai,a4)C=>C=(al,a2,a3,a4y'(jSl,^2,^,j34)=A~B

方法2：取尸4的基勺=(1,0,0,0),02=(0,1,0,0),03=(0,0,L0),04=(°，°，°」)，則有:

11-1-1、

2-12-1

(a,,a2,a3,a4)=(e,,e2,e3,e4)

-1110

011L

20-21、

1113

(61>Pl,>。3，24)=()^(et,e2,e3,e4)B

0211

1222,

于是：（幾戶20，24）=（。1"2，%，。4）力“6。

1-1-120-21'10001001、

2-12-1111301001101

->(E|才9)

-1110021100100111

11112220010010

,07、。

,1001\

101

所以/,%%%到幾尾血血的過渡矩陣為力一%=

0111

<00107

3.坐標(biāo)變換公式

設(shè)數(shù)域尸上的〃維線性空間憶中的向量a在憶的一組基%下的坐標(biāo)是（x”W，…，X"），在P的另一組基

四，四，…，以，下的坐標(biāo)是（如外，…，匕,），，是由基,,。2,…，%到基4,2，…，夕的過渡矩陣，則:

例&（沈師2010年，七，15分）若四,。2,…,a,,是〃維線性空間修的一組基，證明向量組

a{,ax+a2,--,a}+a2+??-+??仍是憶的一組基，又若a在前者下的坐標(biāo)為…,2,1），求a在后者下的坐標(biāo)。

'111?.1、勺11--P

011--1011--1

,因

解：（?,,?,+a2,--,a,+4+???+[“）=（，，%???,%）001--1,令r=001--1|T|=1,

、000--b、000-,b

-1+12,

所以7可逆，-f>[a],a2,---,an)=(a],ai+a2,--,a}+a2+---+a?)T,知四，4…，％+a?+…+a”與

%,火,…,a”等價(jià)，于是它們的秩相同，而名,％，。〃是“維線性空間修的一組基，因此?！钡闹葹椤ǎ?/p>

四,1+%，…,/+。2+…+。”的秩為〃，知。1，%+%，…，風(fēng)+。2+…線性無關(guān)，又dim憶=〃，因此

?1，?,

+a2,???,?,+a2+???+??仍是P的一組基。

設(shè)X0=（〃,〃一1,…,2,1）,因?yàn)?

a=％）引必+%+…+a.）廣X

所以a在即,+。2,4+%+…%下的坐標(biāo)為廠*。

’111…1〃、‘io?！璷r

011???1H-1010???01

第1行減去第2行，第2行減去第3行…、

（T|X0）=0011；第〃T行減去第〃行‘0010；=（EIT-'X'^

:::：2

、000…11,、000-??11,

得a在叫0+a2,---,al+a2+---+ail下的坐標(biāo)為LX；=（LL…,1）'。

例9.（遼大2011年，四）設(shè)a=（41,1）'.=（1,/1,1）',4=（1,1,九）'為尸3的一組基，求夕=（"在該基

下的坐標(biāo)，并求坐標(biāo)乘積的最大值。

解：設(shè)/?=（四,%，%）X2，那么X2=（囚,。

<X3>\Xi>

211

由|,,。2，%|=1之1=（4一1）2（幾+2）工0=>；1工1且,又：

112

23

|^,a2,a3|=2（2-l）,|al,/J,a3|=-2（2-l）=\a^a,,/3\

由克拉默法則知：

._?3|z,&,夕0|-2.|a,,a2,yg|-2

"|a19a2,a3|2+2，/丸+2'"|aj,a2,a3|4+2

于是尸=(4-2,-1,-1)'在基4,%,%下的坐標(biāo)為：2-2-21

1+2,7+2，I+2j

2-2-242

____x_____x____—_______

丸+24+24+2（4+2丫

而lim-4人J=+oo,所以尸的坐標(biāo)乘積無最大值。

2（入+2）

例10.（沈師2015年，二，3）在實(shí)數(shù)域R上的所有二階方陣構(gòu)成的線性空間R2*2中:

、、、、

10、'0-1’-12、'01」001'00

1）求基4=到基與

-1",107、0,137、°o700707

<00、

的過渡矩陣。

0U

解：由題設(shè)知:

(100、10or1

0-121021

(?,%,%04)=(￡|，￡2，￡3，%)（與,邑，53，%）=（。1，%,。3，04）

-1101-110

1013J1013J

10-10、

0-12；,那么R2*2的基因,4,%，。4到基與用由應(yīng)的過渡矩陣為“

因此若設(shè)Z（自己求出）。

10

1013,

(-58

2）求向量做分別在基馬后石血和基四,%,%，%下的坐標(biāo)。

1327

-5

-58、8-58、

解：因M(￡1,,因此A/在基馬,？,？，%和基

32>332,

27

四,%,%，。4下的坐標(biāo)分別為（自己求出）。

§6.3子空間

1.子空間的定義：令少是數(shù)域尸上線性空間憶的一個(gè)非空子集。如果少對憶的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域尸上的線性空間，那

么就稱火是M的一個(gè)線性子空間（簡稱子空間）。如果火是廠的子空間，且匹￥%，就稱爪是p的真子空間。

注：若印是有限維線性空間廠的子空間，則dim少Wdim%。

2.子空間的判別方法

（1）子空間的判別定理：設(shè)％是數(shù)域。上的線性空間憶的一個(gè)非空子集，那么下列條件等價(jià):

①少是憶的子空間;

②\/a,PeW,\fkeP,有a+kaeW■,

③Ya,。eW,\fk,lwP,有ka+10wW。

（2）設(shè)%是數(shù)域P上的線性空間廠的一個(gè)非空子集，要證明少不是憶的子空間，只需說明存在但

a0+PQ^W或存在/e尸,％w小但aoaQgW。

注：①如果少是一個(gè)給定的集合，那么要證明少是廠的子空間首先應(yīng)該說明力是憶的非空子集，接著驗(yàn)證印對廠的兩

種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間或（1）中的②或③成立，如果％不是「的非空子集，那么少一定不是P的子空間。

②由（1）易知在線性空間修中，由單個(gè)零向量所組成的集合是修的一個(gè)子空間，廠本身也是修的一個(gè)子空間，這兩個(gè)子

空間叫做憶的平凡子空間，而其它子空間（如果存在）都叫做「的非平凡子空間。

3.生成子空間：設(shè)多,…,%是數(shù)域尸上的線性空間廠中的一組向量，那么：

/.（a,,---,a,）=+k2a2+---+kra,.\ky,k2,---,kr&P]

是修的子空間，該子空間叫做由火生成的子空間，名,…,％叫做這個(gè)子空間的一組生成元。的秩就是

“名,的維數(shù)，且如果,，…,火的秩等于零，那么￡（四,是憶的零子空間，如果囚,…,a,.的秩大于零，那

么a”…,見的任一極大線性無關(guān)組都是“%％）的一組基。

4.子空間相等的判別：設(shè)匕,匕是數(shù)域尸上的線性空間修的兩個(gè)子空間。

（1）%的生成子空間與￡（笈,…,乩）相等當(dāng)且僅當(dāng)向量組四,…,％，與川,…,4等價(jià)。

（2）如果匕并且右=匕，則匕=匕。

（3）如果匕,修是修兩個(gè)有限維子空間，匕=匕，并且dimK=dim匕，則匕=匕。

例L（沈師2017年，二、2（1））設(shè)N=?,…是數(shù)域。上的〃x加矩陣，設(shè)火（/）={ZX|XGP"},證明：⑴

R（N）是P"的子空間；（2）dim（&（4））=1欣（4）.

證明：（1）因N=（?,是數(shù)域。上的矩陣，所以對VxeP",因此有NxeP",因此火（N）是P"的非空

子集。任取力,%€尺（/），存在7，%eP"',使得%=/7,72=/%，于是任取左,/e。，有kt][+1%wPM，進(jìn)而有:

N（S+仞2）=左（，7）+/（/?。?31+/eR（/）

推出R（N）是P"的子空間。

a￡1

（2）取的由單位向量如三,￡，“構(gòu)成的基，Vx=（a,,a2,■??,??,）&P'",有x=。向+4￡2+…-^,?m推出

Ax=a{Ae}+a2As2+???+amAem,=avAe2=a2,--,Aem=am,知：

,eR（N）＞Ax=a}a]+a2a2+