-2023學(xué)年廣西百色市高一下學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四2．已知，，若，則（

）A．2 B．3 C．5 D．123．為落實(shí)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校高二年級體育組教師在高二年級隨機(jī)抽取100名男生，測試了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)195cm及以上成績?yōu)楹细瘢?55cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)全校1000名男生中立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目合格的男生有（

）A．660名 B．940名 C．970名 D．800名4．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則5．若，且，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形6．在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．7．甲、乙兩人進(jìn)行了羽毛球比賽，雙方約定：先勝2局者獲得比賽的勝利．若某局比賽甲先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是；若某局比賽乙先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是．已知每局比賽都分出勝負(fù)，且各局比賽結(jié)果互不影響，若第一局是甲先發(fā)球，從第二局開始，每局由上一局的獲勝者發(fā)球，則這次羽毛球比賽甲獲勝的概率是（

）A． B． C． D．8．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體，如圖，某金剛石的表面積為，現(xiàn)將它雕刻成一個(gè)球形裝飾物，則可雕刻成的最大球體積是（

）A． B． C． D．二、多選題9．某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則（

）A．在每一種型號(hào)的轎車中可采用抽簽法抽取B．抽樣比為C．三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D．這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的10．已知為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說法中正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)的虛部為C．，為純虛數(shù)的充要條件是D．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線11．袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則（

）A．“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球”是互斥事件B．“都是白球”與“都是黑球”是互斥事件C．“至少有一個(gè)白球”與“都是黑球”是對立事件D．“第一次摸到的是白球”與“第二次摸到的是黑球”相互獨(dú)立12．在如圖所示的三棱錐中，，，，兩兩互相垂直，下列結(jié)論正確的為（

）A．直線與平面所成的角為B．二面角的正切值為C．到面的距離為D．作平面，垂足為，則為的重心三、填空題13．已知向量，，若，則________．14．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20，體積是，則圓臺(tái)的母線長為______.15．已知一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，則的方差為______________．16．如圖，某建筑物的高度，一架無人機(jī)上的儀器觀測到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無人機(jī)距離地面的高度為________四、解答題17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量與向量的夾角．18．牯藏節(jié)是苗族的傳統(tǒng)節(jié)日，西江苗寨為了豐富居民的業(yè)余生活，舉辦了關(guān)于牯藏節(jié)的知識(shí)競賽，比賽共分為兩輪.在第一輪比賽中，每一位選手均需要參加兩關(guān)比賽，若在兩關(guān)比賽均達(dá)標(biāo)，則進(jìn)入第二輪比賽.已知在第一輪比賽中，選手、第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別為，；第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，，、在第一輪的每關(guān)比賽中是否達(dá)標(biāo)互不影響.(1)分別求出、進(jìn)入第二輪比賽的概率；(2)若、兩人均參加第一輪比賽，求兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率.19．已知在某次招考測試中，甲?乙?丙3人各自通過測試的概率分別為．求：(1)至少有1人通過測試的概率；(2)恰有2人通過測試的概率．20．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面.21．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請說明理由．22．從某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組頻數(shù)62638228(1)根據(jù)上表補(bǔ)全所示的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)、方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）及中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？21.從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若（1）求角В的大??；（2）若△ABC為銳角三角形，с=1，求a的取值范圍注：若選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=3.（1）若點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PDC；（2）若，則線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PBC，若存在，請確定點(diǎn)F的位置，并求三棱錐FPBC的體積.答案解析1．D【分析】由題，計(jì)算出復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷答案.【詳解】因?yàn)?，，所以?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限.故選：D2．C【分析】先利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再利用平面向量線性運(yùn)算與模的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，得，則，所以，故.故選：C.3．B【分析】在頻率分布直方圖中，根據(jù)頻率之和為1求出a，然后直接計(jì)算合格率即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，所以實(shí)數(shù)，所以可估計(jì)全校1000名男生中立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目合格的男生有名.故選：B.4．B【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對于A，若，，，，，則，故錯(cuò)誤；對于B，，，則，正確；對于C，，，則或，故錯(cuò)誤；對于D，若，，，則或異面，故錯(cuò)誤.故選：B5．D【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系得到判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，即，所以，故是等邊三角形，故選：D.6．D【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由，得出，由得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故選：D.7．C【分析】先分析出甲獲勝的情況：①甲先連勝兩局，②甲第一局和第三局勝利，③甲第二局和第三局勝利，再由互斥事件概率公式求解.【詳解】這次羽毛球比賽甲獲勝的情況有三種：①甲連續(xù)獲得2局比賽的勝利，其概率；②甲第一局和第三局比賽獲勝，乙第二局比賽獲勝，其概率；③乙第一局比賽獲勝，甲第二局和第三局比賽獲勝，其概率．故所求概率．故選：C.8．D【分析】先利用條件求出正多形的邊長，再將求最大球的體積轉(zhuǎn)化成求金剛石的內(nèi)切球體積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求截面內(nèi)切圓的半徑，從而求出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，，中點(diǎn)分別為，，連接，，，，，,設(shè)金剛石的邊長為，則由題知，，所以，在等邊中，邊上的高，在中，，由題可知，最大球即為金剛石的內(nèi)切球，由對稱性易知球心在點(diǎn)，與面的切點(diǎn)在線段上，球的半徑即為截面內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由等面積法可知：，解得，所以內(nèi)切球的半徑為則內(nèi)切球體積為故選：D.9．BCD【分析】根據(jù)三種隨機(jī)抽樣方法的特點(diǎn)可判斷ABD；然后根據(jù)分層抽樣計(jì)算可判斷C.【詳解】因每一種型號(hào)的轎車數(shù)量較多，不適合用抽簽法，故A錯(cuò)誤；在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，抽樣比為，故B正確；在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，三種型號(hào)的轎車應(yīng)依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每一輛被抽到的概率是相等的，故D正確．故選：BCD10．AD【分析】根據(jù)i的周期性可判斷A，根據(jù)虛部概念判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算及純虛數(shù)概念判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可得到點(diǎn)的軌跡判斷D.【詳解】對選項(xiàng)A：，正確；對選項(xiàng)B：復(fù)數(shù)的虛部為2，而不是，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：，則，若為純虛數(shù)，則，所以，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：設(shè)，由可得，，所以，平方化簡得：，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線，正確.故選：AD11．BC【分析】根據(jù)互斥，對立事件與相互獨(dú)立事件的定義逐個(gè)判斷即可【詳解】對A，“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球”均包含“一個(gè)白球一個(gè)黑球”的情況，故A錯(cuò)誤；對B，“都是白球”與“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，且不是對立事件，故為互斥事件，故B正確；對C，“至少有一個(gè)白球”與“都是黑球”是對立事件，故C正確；對D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件“第二次摸到的是黑球”的概率，又，因?yàn)?，故“第一次摸到的是白球”與“第二次摸到的是黑球”不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．BD【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面，可得為直線與平面所成的角，即可判斷A項(xiàng)；利用線面垂直的判定定理可得平面，即得為二面角的平面角，即可判斷B項(xiàng)；利用等體積法求點(diǎn)面距離即可判斷C項(xiàng)；利用線面垂直得判定定理結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可判斷D項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)?，，兩兩互相垂直，，平面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角為，故A錯(cuò)誤；取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，，，兩兩互相垂直，所以，因?yàn)?，所以平面，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，設(shè)到面的距離為，則，解得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，故為等邊三角形，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影，又，即點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，故為的重心，故D項(xiàng)正確.故選：BD.13．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示列方程求.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，所?故答案為：.14．20【分析】結(jié)合圖形，利用圓臺(tái)的體積公式以及勾股定理進(jìn)行求解.【詳解】如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20，所以，設(shè)圓臺(tái)上底面面積為，下底面面積為,高為，母線長為，所以，，根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，解得，在中，由勾股定理有：，解得.則圓臺(tái)的母線長為20.故答案為：20.【點(diǎn)睛】15．1【分析】根據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，得到，，從而求出的平均數(shù)和方差.【詳解】由題意得：，解得：，，且，解得：，故的平均數(shù)為，故方差為.故答案為：116．200【分析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值．【詳解】根據(jù)題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m．故答案為200【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，考查正弦定理，三角形內(nèi)角和問題，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是基礎(chǔ)題．17．(1)；(2).【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)表示，再借助坐標(biāo)計(jì)算向量的模作答.（2）由向量的模，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算律轉(zhuǎn)化求出向量的數(shù)量積，再求出夾角作答.【詳解】（1）向量，，則，所以.（2）由，，得，解得，由，得，于是，而，則有，所以向量與向量的夾角.18．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)對立事件的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由選手、第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別為，；第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，，記“、進(jìn)入第二輪比賽”分別為事件和事件，則，.所以、進(jìn)入第二輪比賽的概率分別為和.（2）記“兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽”為事件，則.所以兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率為.19．(1)(2)【分析】（1）設(shè)事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測試”，事件與相互獨(dú)立，至少有1人通過測試的對立事件為1人也沒用過，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.（2）設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測試”，則，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.（1）設(shè)事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測試”，事件與相互獨(dú)立，由題意有：．設(shè)事件“甲?乙?丙3人中至少有1人通過測試”，則的對立事件（2）設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測試”，則，由于事件均相互獨(dú)立，并且事件兩兩互斥，因此20．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.【詳解】（1）如圖，連接，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴直線平面.（2）連接SD，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.21．(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析．【分析】（1）利用三角形中位線證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）結(jié)合面面平行判定定理來確定動(dòng)點(diǎn)位置，并證明面面平行.【詳解】（