學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 課時(shí)數(shù)：課題 勾股定理及兩點(diǎn)距離公式理解用面積割補(bǔ)法證明勾股定理的思路和勾股定理的推導(dǎo)方法；教學(xué)目的2.初步掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理及其逆定理解決基本的有關(guān)證明的問題;3.掌握兩點(diǎn)間距離公式.教學(xué)內(nèi)容【知識梳理】直角三角形中，斜邊大于直角邊，勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方兩點(diǎn)的距離公式：如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)A(x,y)，B(x,y)，那么、兩點(diǎn)的距離為：1 1 2 2AB=寸(氣-x2)2+(約-y2)2【典型例題講解】題型一：【例1】已知在Rt△ABC中，匕C=90°.若a=3,b=4，貝c-.a=40,b=9，貝Jc=.a=6,c=10，則b=.c=25,b=15，則a=.【答案】(105；(2)41；(3)8；(4)20.【方法總結(jié)】解決此類問題，需弄清三條邊哪條是斜邊，哪條是直角邊【例2】直角三角形的兩邊長為3、4,則第三邊長為，面積為.?— 3二【答案】5或以；6或-v7【方法總結(jié)】分兩種情況討論：3、4均為直角邊的長度；3是直角邊的長度，4是斜邊的長度.講解時(shí)可以幫學(xué)生證明直角三角形中斜邊最長.【例3】直角三角形的兩邊長為5和12，求第三邊的長及斜邊上的高.【答案】13或119；60或-5<119JL。JL」【方法總結(jié)】先根據(jù)勾股定理求出第三邊，然后利用等積法求出斜邊上的高【說明】目前已知直角三角形的兩邊，必然能求出第三邊和斜邊上的高。實(shí)際上等學(xué)完相似的內(nèi)容后，以上四個(gè)量只要知道兩個(gè)量，就能求出另外兩個(gè)量【注意】提醒學(xué)生看清題已知條件，不要看到5和12就想13?！纠?】在下列長度的各組線段中，能組成直角三角形的是（ ）A.5,6,7B.32,42,52C.5,11,12D.5,12,13【答案】D【方法總結(jié)】根據(jù)直角三角形斜邊最長，只要算出各組最大數(shù)字的平方，看是否和其他兩個(gè)量的平方的和是否相等即可.【借題發(fā)揮】三角形三邊長a、b、c滿足條件（a+b）2-c2=2ab，則此三角形是（）A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、等邊三角形【答案】B某直角三角形兩直角邊長的比為2:1，斜邊長10cm，則該直角三角形的面積為 cm2【答案】40直角三角形中，一條直角邊比斜邊上的中線長1厘米,如果斜邊長是10厘米，則兩直角邊長是 .【答案】8厘米題型二【例5】已知：△ABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm.（1） 求高ad的長；（2） 求三角形的面積S△ABC?！痉治觥孔鞯走吷系母?，從而將等腰三角形分割成兩個(gè)直角三角形.此法也是等腰三角形中常用的添加輔助線的方法.【答案】4cm,12cm2【例6】頂角為30。的等腰三角形，若腰長為4,則腰上的高,面積是 .【答案】2；4【提示】【例7】在直角三角形中，已知一條直角邊的長為6,斜邊上的中線長為5,則另一條直角邊的長為 【答案】8【說明】在此處主要是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的直角三角形的性質(zhì)【例8】三角形三個(gè)角的度數(shù)之比為1：2：3,它的最大邊長等于16cm，則最小邊長是cm.【答案】8【方法總結(jié)】在含有30°的直角三角形中，最短邊是30°所對的直角邊，最長邊是直角三角形的斜邊.因此本題不需要求出兩條直角邊，直接利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可.【借題發(fā)揮】1.已知在Rt△ABC中，匕C=90，AB=10°.若匕A=30°，則BC=,AC=.若匕A=45°，則BC=,AC=.【答案】(1)5,5顯；(2)9x3cm22.已知等邊△ABC的邊長是6厘米.求高AD的長；求^ABC的面積S△ABC-【答案】3v'3cm;9、3cm23.已知直角三角形的兩邊長分別是8cm和6cm，求它的面積.【答案】24cm2；6\：7cm2題型三：【例9】如下圖，字母B所代表的正方形的面積是 ；【答案】144【例10】如圖，在一塊用邊長為20cm的正方形的地磚鋪設(shè)的廣場上，一只飛來的鴿子落在A點(diǎn)處，，鴿子吃完小朋友灑在B、c處的鳥食，最少需要走多遠(yuǎn)?【答案】360厘米【例11】欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子?【答案】13米KBf\其ci\ _【例12】如圖，有一個(gè)高是1.5米、半徑是1米的圓柱形油桶，在上地面靠邊的地方有一小孔，從孔中插入一根鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分最短是0.5米，這根鐵棒有多長？

.【例13】中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。你能結(jié)合這幅“勾股圓方圖”證明勾股定理嗎？ .【答案】在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：$踏患泗丑=『=（茂一也￥十4芙了布【借題發(fā)揮】飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩的頭頂正上方4000米處，5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？【答案】540千米

如圖，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積和周長。求ZADC的度數(shù)。6.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.這個(gè)水池的深度和這個(gè)蘆葦?shù)拈L度各為多少？技匚田界\好21 29【答案】-尺新尺題型四：兩點(diǎn)間距離公式【例14】求下列兩點(diǎn)間的距離：(1)A(—2,8)和B(3,—4)(4)(5)(6(4)(5)(6)M(/5,一2)和E(1,2)和F(3,—2)G(5,—4)和H(5,—9)【答案】略【方法總結(jié)】利用公式【例15】已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷三角形的形狀.A(—1,—1)、B(3,-1)、C(3,2)A(-2,1)、B(-2,-3)、C(4,—1)A(—3,1)、B(—3,—3)、CG(3—3,—1)A(2,5)、B(-5,1)、C(—2,—1)A(-1,3)、B(1,—2)、C(4,5)A(—1,—2)、B(2,-1)、C(—2,1)【答案】略【隨堂練習(xí)】填空題：在直角三角形ABC中，a=3,b=4，則c=.直角邊分別為8cm和15cm的直角三角形的斜邊上的中線cm.等腰三角形的腰長為13，底邊長為10，則它的面積等于 .已知代數(shù)式X-24+J乙-25與代數(shù)式y(tǒng)2—14y+49的值互為相反數(shù)，則以三角形，5.如圖，在圓O中，AB是弦，直徑CD垂直平分AB于M，CD=15cm，為.x,y,z為三邊的三角形的形狀為OM:OC=3:5，則弦AB的長【答案】1.5或異；2.8.5；3.60；4.直角三角形；5.12.解答題:在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A(—6,2)，點(diǎn)B(2,一4),在x軸上有一點(diǎn)P，且PA=PB.求點(diǎn)P的坐標(biāo).已知：在△ABC中，AB=26cm,AC=24cm,BC=10cm，D是AB中點(diǎn).求線段CD的長.以A(—1,1),B(0,3),C(3,—1)三點(diǎn)為頂點(diǎn)，能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，請判斷這個(gè)三角形的形狀；若不能，請說明原因，菱形的周長為20cm，它的一個(gè)銳角等于60°，求它的面積.【答案】1.[—5,0]；2.13cm；3.直角三角形；4.與后cm2；V4J 2【課堂總結(jié)】【課后作業(yè)】一、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練填空題：如果等腰直角三角形有一條邊長2厘米，那么它的另兩條邊長分別長 厘米.如圖所示，在Rt△ABC中，/BCA=90°，CD±AB于D，E為AB的中點(diǎn)，AC=3,BC=343，則匕DCE的度數(shù)為.3?點(diǎn)A(2,-1)和點(diǎn)B(—3,2)之間的距離AB為.如果邊長為3厘米的小正方形的面積之和等于一個(gè)大正方形的面積，那么大正方形的邊長為 厘米.如果點(diǎn)M(4,8)和點(diǎn)N(a,5)之間的距離等于5,那么a的值為.【答案】1.2控或如2；2.30°；3.<34；4.3@cm；5.8或0；選擇題：以下列各組數(shù)為三邊長的三角形中，不能組成三角形的是（）A.V3+1八由,2偵'2；b.3.5,4.5,5；C.4,7.5,8.5；d.m—1,2n,1+m（n>1）.在直角三角形中，若斜邊上的中線是奇數(shù)，一條直角邊是偶數(shù)，則另一條直角邊一定是（ ）A.偶數(shù)；B.奇數(shù)；C.自然數(shù)；D.以上結(jié)論都不對.在下列命題中，真命題有（ ）有一個(gè)角等于另外兩個(gè)角的差的三角熊是直角三角形；有一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；三條邊長分別為偵'布,<20,寸免的三角形是直角三角形；三個(gè)外角的度數(shù)之比為3:4:5的三角形是直角三角形.A.4個(gè)； B.3個(gè)； C.2個(gè)； D.1個(gè).三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為3:2:1，那么它的三條邊的長度之比為（ ）A.3:2:1；b.J3:J2:1； C.2:3:1；D.9:4:1.已知直角三角形有一條直角邊長11厘米，另外兩條邊的長度都是自然數(shù)，那么這個(gè)三角形的周長為（ ）A.120厘米； B.132厘米； C.144厘米；D.156厘米.【答案】BDACB解答題：1.已知：在△ABC中，AB=AC，D是底邊BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AD.求證：AB2-AD2=BD-DC.2.如圖所示，在△ABC中，匕B=90°，AB=BC=2a，AD是BC邊上的中線，把點(diǎn)A翻折與點(diǎn)D重合，到折