熱點06三角函數與解三角形

【命題形式】

新高考環(huán)境下，三角函數與解三角形依然會作為一個熱點參與到高考試題中，其中對應的題目的分布

特點與命題規(guī)律分析可以看出，三角試題每年都考。

1、題目分布："一大一小"，或"三小"，或"二小"（"小"指選擇題或填空題，"大"指解答題），解答題以簡單

題或中檔題為主，選擇題或填空題比較靈活，有簡單題，有中檔題，也有對學生能力和素養(yǎng)要求較高的題。

2、考察的知識內容：（1）三角函數的概念；（2）同角三角函數基本關系式與誘導公式及其綜合應

用；（3）三角函數的圖像和性質及綜合應用；（4）三角恒等變換及其綜合應用；（5）利用正、余弦定

理求解三角形；（6）與三角形面積有關的問題；（7）判斷三角形的形狀；（8）正余弦定理的應用。

3、新題型的考察：（2）以數學文化和實際為背景的題型；（2）多選題的題型；（3）多條件的解答

題題型。

4、與其它知識交匯的考察：（1）與函數、導數的結合；（2）與平面向量的結合；（3）與不等式的

結合；（4）與幾何的結合。

【滿分技巧】

1、夯實基礎，全面系統(tǒng)復習，深刻理解知識本質

從三角函數的定義出發(fā)，利用同角三角函數關系式、誘導公式進行簡單的三角函數化簡、

求值，結合三角函數的圖像，準確掌握三角函數的單調性、奇偶性、周期性、最值、對稱性等性質，并能

正確地描述三角函數圖像的變換規(guī)律。要重視對三角函數圖像和性質的深入研究，三角函數，是高考考

查知識的重要載體，是三角函數的基礎。

"五點法"畫正弦函數圖像是求解三角函數中的參數及正確理解圖像變換的關鍵，因此復習時應精選典

型例題（選擇題、填空題、解答題）加以訓練和鞏固，把解決問題的方法技巧進行歸納、整理，達到舉一反

三、觸類旁通。

2、切實掌握兩角差的余弦公式的推導及其相應公式的變換規(guī)律

以兩角差的余弦公式為基礎，掌握兩角和與兩角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特別是用

一種三角函數表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、變形應用，迅速正確應用這些公式進行化筒、

求值與證明，即以兩角差的余弦公式為基礎.推出三角恒等變換的相應公式，掌握公式的來龍去脈0

3、回歸課本，掌握正余弦定理與三角形中的邊角關系及應用

從正余弦定理的公式出發(fā)，結合三角形的面積公式，精選課本中的例、習題進行解答推廣并加以應

用，靈活求解三角形中的邊角問題以及三角形中邊角互化，得出面積公式的不同表達式，判斷三角形的形

狀等間題，同時注意三角形中隱含條件的挖掘利用.

4、注意在三角函數和解三角形中滲透思想方法的應用復習

三角函數是特殊的函數，其思想方法多種多樣，復習時要重視思想方法的滲透。數形結合思想在三角

函數中有著廣泛的應用，如三角函數在閉區(qū)間上的最值問題可以利用三角函數的圖像和性質，三角函數的

零點問題、對稱中心、對稱軸以及三角函數的平移變換、伸縮變換等都滲透數形結合思想。在三角函數求

值中，把所求的量作為未知數，其余的量通過三角函數轉化為未知數的表達式，列出方程，就能把問題轉

化為含有未知數的方程問題加以解決。

【?？贾R】三角函數概念、公式、圖像、性質；正、余弦定理；與函數、導數、平面向量、不等式、幾

何等知識結合。

【限時檢測】（建議用時：90分鐘）

一、單選題

1.（2020年全國新課標I試卷（理科））已知ae（0,無），且3cos2a_8cosa=5,則sina=（）

V521V5

A.3B.3c.3D.9

2.（2021屆?安徽高三其他模擬（文））已知角a的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在

直線5x+2y=°上，則1+cos2a（）

33202033

A.20B.33C.33D.20

3.（2021屆?廣西高三其他模擬（理））在口/3。中，角，，B,°的對邊為。，b,c著a=4,

sin24

6=5,c=6,貝ijsinC（）

123

A.2B.3C.4D.1

sin（e+C]sin^+sinf^+―|=1

）當16）=）時，1.

4.（2021屆?廣西高三其他模擬（文）

1也2也

A.2B.3C.3D.2

5.（2021屆?福建莆田?高三其他模擬）將函數/（x）=sin（x+°）圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

《3>1）（乃乃、

，且函數8（"）在[6'21上

（縱坐標不變），得函數g（x）的圖象.若>

CO

具有單調性，則。的值為（）

A.2B.3C.5D.7

6.（2021屆?四川遂寧?高三零模（理））秦九韶，字道古，漢族，魯郡（今河南范縣）人，南宋著名

數學家，精研星象、音律、算術、詩詞、弓、僉h營造之學.1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸

淳四年（1268）二月，在梅州辭世.與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數學四大家.他在著作《數書九

章》中創(chuàng)用了“三斜求積術”，即是已知三角形的三條邊長兄”。，求三角形面積的方法.其求法是：

“以小斜塞并大斜累減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜累乘大斜累減上，余四約之，為實.一為從

<[22

S--ac-------------

\42）

隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為VL'」，若口/3。滿

3

cos5=—

足c-sin”=2sinC,5,且且“&,則用“三斜求積”公式求得口力3。的面積為（）

345

A.5B.5C.1D.4

7.（2021屆?安徽高三其他模擬（理））已知函數/（x）=c°s2xsin2x,若存在實數/，對任意

X/wR都有|/（髭）一/（“2）|4"成立,則收的最小值為（）

3百出3732百

A.8B.2c.4D.3

皿…）

8.（2021屆?渝中?重慶巴蜀中學高三其他模擬）設函數sinx'。則下列說法正確的是

（）.

A./（X）是奇函數B./（X）是周期函數

但，。

C./（“）的圖象關于點①J1對稱D.L"

二、多選題

9.（2021屆?廣東湛江?高三其他模擬）已知函數，f9=2sin尸acosx的圖象的一條對稱軸為

7C

X=——

6,則（）

J兀）

A.點43,o）是函數，f（*）的一個對稱中心B.函數/1（x）在區(qū)間2上無最值

（_￡當

C.函數/1（x）的最大值一定是4D.函數/'（X）在區(qū)間66上單調遞增

f（x）=sin（CDX+co>0,|^|<—

10.（2021屆?海南高三一模）已知函數.12J的最小正周期為2兀.將該函數

71

的圖象向左平移了7個單位長度后，得到的圖象對應的函數為奇函數，則（

)

無B.I%'J是/（"）的圖象的對稱中心

A.6

在國［上單調通增L1；

c/（X）D./G）在1°'句上的值域為L5'-

三、填空題

11.（2020年江蘇省高考數學試卷）將函數尸3sin（2x+目的圖象向右平移Z個單位長度，則平移后的圖

46

象中與y軸最近的對稱軸的方程是.

cos2a

tana=—cos

12.（2021屆?海南高三一模）已知2,則

13.（2020年新高考山東試題）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓

孔及輪廓圓弧46所在圓的圓心，4是圓弧46與直線4c的切點，8是圓弧4?與直線形的切點，四邊形

3

龍爾為矩形，BCLDG,垂足為C,tan/如e5,BH//DG,止重cm,DE=^cm,｛到直線應和跖的距離

均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為co%

14.（2021屆?福建莆田?高三其他模擬）在中，三邊a,b,c所對應的角分別是4B,C,已知

n

—Sm'=巫(aya?=2|cos-/75|s.

a,b,c成等比數歹U.若sin/sinC3,數列滿足2,前〃項和為外,“”

四、解答題

15.(2020年全國高考新課標H理科試卷)口/3(7中，sin2J—sin25—sin2f/=sin2?sinC.

(1)求口

(2)若加三3,求口/臺。周長的最大值.

16.(2020年江蘇省高考數學試卷)在△49C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

a=3,c=0,8=45。

(1)求sinC的值；

4

cosNADC=——

(2)在邊比上取一點〃，使得5,求tan/D4c的值.

17.（2020年新高考山東試題）在①加=百，②csin/=3,③,=J0這三個條件中任選一個，補充在

下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值：若問題中的三角形不存在，說明理由.

C=￡

問題：是否存在口/8C,它的內角4SC的對邊分別為a,b,c,且sin/—/3sin6,6,?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（2020年北京市高考試卷）在口力36中，。+b=11,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作

為己知，求:

（I）a的值：

（II）sinC和口/臺。的面積.

c=7r,cosA,=——1

條件①：