河南省開封市邸閣中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形面積為（

）A．

B．

C．2

D．4參考答案：D直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，故直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積．故選．

2.已知集合A＝{x|≤1），B＝{x|x≤0），則A∪B＝（

）A.（－∞，1] B.[－1，＋∞） C.[－1，0] D.[0，1]參考答案：A【分析】利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，由并集的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以由并集的定義可得，故選A.【點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合或?qū)儆诩系脑氐募?3.盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4只，那么為（

）Ａ．恰有1只壞的概率

Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率

Ｄ．至多2只壞的概率參考答案：D略4.用數(shù)學(xué)歸納法證明=，則當(dāng)時(shí)左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（

）A．B．C．D．參考答案：D5.設(shè)x1，x2?R，常數(shù)a>0，定義運(yùn)算“”x1x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，)的軌跡是

A.圓B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分

參考答案：D6.已知兩個(gè)命題：p：“若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1﹣z2＞0，則z1＞z2．”；q：“存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”其真假情況是（）A．p真q假 B．p假q假 C．p假q真 D．p真q真參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】p：復(fù)數(shù)若不完全是實(shí)數(shù)，不能比較大小，即可判斷出真假；q：利用復(fù)數(shù)相等的定義即可判斷出真假．【解答】解：p：取z1=2+i，z2=1+i，雖然滿足：z1﹣z2＞0，但是z1＞z2不成立，由于復(fù)數(shù)若不完全是實(shí)數(shù)，不能比較大小，因此是假命題；q：“存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”，利用復(fù)數(shù)相等的定義可知：是真命題．其真假情況是p假q真．故選；C．7.如圖在正方體AC1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)等于1，建立空間直角坐標(biāo)系，得出D、B、C1、A1各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出=（1，﹣1，﹣1）是平面A1BD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式算出cos＜，＞的值，即得直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值．【解答】解：分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)等于1，可得D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）設(shè)=（x，y，z）是平面A1BD的一個(gè)法向量，則，取x=1，得y=z=﹣1∴平面A1BD的一個(gè)法向量為=（1，﹣1，﹣1）設(shè)直線BC1與平面A1BD所成角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|==∴cosθ==，即直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題給出正方體模型，求直線與平面所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．8.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若，則(

)A．

B.

C.

D.

參考答案：A略9.已知點(diǎn)P為橢圓+=1上一點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I為△PF1F2的內(nèi)心，若△PIF1和△PIF2的面積和為1，則△IF1F2的面積為(

)A． B． C．1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為r，則S1=mr，S2=nr，S3=?2cr，求得橢圓的a，b，c，由題可得r==，即可得到所求面積．【解答】解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為r，設(shè)△PIF1和△PIF2及△IF1F2的面積分別為S1，S2，S3，則S1=mr，S2=nr，S3=?2cr，橢圓+=1的a=2，b=，c==1，由橢圓定義可得m+n=2a=4，由△PIF1和△PIF2的面積和為1，即有S1+S2=1，即r==，即有S3=?2cr=cr=r=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．10.已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)，

則的值為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點(diǎn)F1F2，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積為．參考答案：9【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的定義．【分析】根據(jù)橢圓的定義，PF1+PF2=2a=10∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25﹣9）=64

整體求出PF1×PF2，面積可求．【解答】解：根據(jù)橢圓的定義，PF1+PF2=2a=10

①∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25﹣9）=64

②①2﹣②得2PF1×PF2=100﹣64=36∴s△F1PF2=PF1×PF2=×18=9故答案為：9．12.平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是________．參考答案：＝13.已知正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，則這個(gè)四面體的主視圖的面積為________.參考答案：略14.若命題“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[，+∞）【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題；2I：特稱命題．【分析】根據(jù)特稱命題為假命題，轉(zhuǎn)化為“?x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性額最值進(jìn)行求解即可．【解答】解：若命題“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命題，則命題“?x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立，即ax≥lnx，即a≥，設(shè)f（x）=，則f′（x）=，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，則0＜x＜e，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，則x＞e，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值，此時(shí)f（e）==，故a≥，故答案為：[，+∞）15.由曲線與直線所圍成的平面圖形(下圖中的陰影部分)的面積是____________;

參考答案：略16.若橢圓+=1的離心率為，則m的值為

．參考答案：或18【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】分當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上或焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行討論，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程算出a、b、c值，由離心率為建立關(guān)于m的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)m之值．【解答】解：∵橢圓方程為+=1，∴①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2=16，b2=m，可得c==，離心率e=，化簡(jiǎn)得1﹣=，解得m=②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2=m，b2=16，可得c==離心率e=，化簡(jiǎn)得1﹣=，解得m=18．綜上所述m=或m=18故答案為：或1817.在直角坐標(biāo)系中任給一條直線，它與拋物線交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為________________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）若等比數(shù)列滿足求數(shù)列的前n項(xiàng)和。參考答案：19.已知函數(shù)f（x）=4cos2x﹣4sinxcosx﹣2（x∈R）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，且c=3，f（C）=﹣4，若向量=（1，sinA）與向量=（1，2sinB）共線，求a、b的值．參考答案：解：（1）

…………3分令解得……………5分∴的遞增區(qū)間為……6分（2）由，而,所以，∴，得……………8分∵向量與向量共線，∴，由正弦定理得:①……………9分由余弦定理得:，即②………………11分由①②解得，…………12分略20.在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，三個(gè)內(nèi)角滿足.（1）若頂點(diǎn)的軌跡為，求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線交圓于不同的兩點(diǎn)（其中在的右側(cè)），求四邊形面積的最大值.參考答案：解：（1）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由正弦定理.∵，∴.∵

∴

即.由橢圓定義知，B點(diǎn)軌跡是以C，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，半焦距為，短半軸長(zhǎng)為，中心在原點(diǎn)的橢圓（除去左、右頂點(diǎn)）.∴B點(diǎn)的軌跡方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)，，，即，因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，，由，，，，.而，，易知，，，時(shí)取到，.21.年級(jí)組長(zhǎng)徐老師為教育同學(xué)們合理使用手機(jī)，在本年級(jí)內(nèi)隨機(jī)抽取了30名同學(xué)做問卷調(diào)查．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在這30名同學(xué)中長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)的同學(xué)恰占總?cè)藬?shù)的，長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)且年級(jí)名次200名以內(nèi)的同學(xué)有4人，短時(shí)間用手機(jī)而年級(jí)名次在200名以外的同學(xué)有2人．（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表；

長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)短時(shí)間用手機(jī)總計(jì)名次200以內(nèi)

名次200以外

總計(jì)

（Ⅱ）判斷我們是否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)時(shí)間有關(guān)”【附表及公式】P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828參考答案：【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表即可；（Ⅱ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表如下；

長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)短時(shí)間用手機(jī)總計(jì)名次200以內(nèi)4812名次200以外16218總計(jì)201030（Ⅱ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，對(duì)照臨界值P（K2≥6.635）=0.01，所以，有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)時(shí)間有關(guān)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．22.（本題滿分10分）如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；二面角的平面角的做法.【答案解析】（1）見解析（2）解析：解：（1）證明：連結(jié)OC,因AC=BC,O是AB的中點(diǎn)，故.又因平面ABC平面ABEF,故平面，

…………2分于是．又，所以平面，

所以，

…………4分又因，故平面，所以．

…………6分（2）解法一：由（1），得．不妨設(shè)，．

…………7分因?yàn)橹本€FC與平面ABC所成的角，故=，所以FC=EC=2，為等邊三角形，…………9分設(shè)則O,B分別為PF,PE的中點(diǎn)，也是等邊三角形.取EC的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,MP,則所以為二面角的平面角.…………12分在中，…………13分故cos即二面角的余弦值為．

…………14分解法二：取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，，則，，，，

…………8分從而，.

設(shè)平面的法向量為，由，得，可?。?/p>